Jarak Garis Ke Garis Pada Bangun Ruang | Pembahasan Materi dan Soal

Definisi Jarak Garis Ke Garis

1. Jarak dua garis yang saling sejajar

Jarak dua garis sejajar 𝑔 dan ℎ adalah panjang ruas

garis 𝑃𝑄 dengan 𝑃 di 𝑔,dan 𝑄 di ℎ, 𝑃𝑄⊥𝑔, dan 𝑃𝑄⊥ℎ

2. Jarak dua garis yang saling bersilangan tegaklurus

Jarak dua garis bersilangan tegak lurus 𝑔 dan ℎ adalah panjang ruas

garis 𝑃𝑄 dengan 𝑃 di 𝑔,dan 𝑄 di ℎ, 𝑃𝑄⊥𝑔, dan 𝑃𝑄⊥ℎ

3. Jarak dua garis yang saling bersilangan sembarang

Jarak dua garis bersilangan sembarang 𝑔 dan ℎ adalah panjang ruas garis 𝑃𝑄 dengan 𝑃 di 𝑔,dan 𝑄 di ℎ, 𝑃𝑄⊥𝑔, dan 𝑃𝑄⊥ℎ

Contoh soal 1

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH berikut.

a. Tentukan jarak garis AB ke garis GH

b. Tentukan jarak garis AH ke BG

Alternatif Penyelesaian

a. Jarak garis AB ke garis GH adalah panjang ruas garis AH atau BG. Dimana garis AH dan BG adalah diagonal bidang kubus, maka $AH=BG=8\sqrt{2}$

Jadi jarak garis AB ke garis GH adalah $8\sqrt{2}$ cm

b. Jarak gariis AH ke BG adalah panjang ruas garis AB atau ruas garis HG.

Jadi jarak garis AB ke garis GH adalah 8 cm

Contoh Soal 2

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, jika titik P, titik Q, titik R, dan titik S secara berturut-turut berada di tengah-tengah rusuk AB, BC, EH dan HG.

(a) Hitunglah jarak garis PQ ke garis EG dan

(b) hitunglah jarak garis PQ ke garis RS!

Aternatif penyelesaian

Gambar dari kubus pada soal diatas sebagai berikut.

(a) Jarak garis PQ ke garis EG

Jarak garis PQ ke garis EG adalah panjang ruas garis YX

Dari soal dan gambar diketahui

$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}8=4$

Perhatikan segitiga PBQ

Karena titik P dan titik Q masing-masing secara berturut-turut terletak di tengah-tengah rusuk AB dan BC, maka

BP = BQ = 4

Sehingga bisa dicari panjang PQ

$PQ=\sqrt{PB^{2}+BQ^{2}}$

$=\sqrt{4^{2}+4^{2}}$

$=\sqrt{2.4^{2}}$

$=4\sqrt{2}$

Karena segitiga ABC sebangun dengan segitiga PBQ maka

$PX=\frac{1}{2}PQ=\frac{1}{2}4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

Perhatikan segitiga PBX

$BX=\sqrt{PB^{2}-PX^{2}}$

$=\sqrt{4^{2}-\left ( \sqrt{2\sqrt{2}} \right )^{2}}$

$=\sqrt{16-8}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$OX=BO-BX=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

Perhatikan segitga XOY

$XY=\sqrt{OX^{2}+OY^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 2\sqrt{2} \right )^{2}+8^{2}}$

$=\sqrt{8+64}$

$=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$

Jadi jarak garis PQ ke garis EG adalah $6\sqrt{2}$ cm

(b) Jarak garis PQ ke garis RS

Gambar kubus dari kasus ini adalah

Dari soal (a) diperoleh

$BX=2\sqrt{2}$

Sementara BX = DO (Mengapa demikian? Silahkan untuk berdiskusi tentang ini melalui kolom komentar)

Sehingga

BD = DO + OX + BX

OX = BD – (DO + BX)

$OX=8\sqrt{2}-\left ( 2\sqrt{2}+2\sqrt{2} \right )=4\sqrt{2}$

Perhatikan segitiga XOY

$XY=\sqrt{OX^{2}+OY^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 4\sqrt{2} \right )^{2}+8^{2}}$

$=\sqrt{32+64}$

$=\sqrt{94}=4\sqrt{6}$

Jadi jarak garis PQ ke garis RS adalah $4\sqrt{6}$ cm

Contoh Soal 3

Diberikan limas tegak 𝑇. 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan 𝐴𝐵𝐶𝐷 persegi, 𝐴𝐵 = 2, dan tinggi limas 2 seperti gambar berikut. Hitunglah jarak antara garis 𝐴𝐷 ke garis 𝐵𝑇.

Alternatif Penyelesaian

Untuk memudahkan perhitungan gambar diatas dilengkapi dengan garis-garis bantu yang diperlukan seperti gambar berikut.

Dari gambar perhatikan segitiga TGK, akan dicari panjang TG atau TK

$TK=\sqrt{TP^{2}+PK^{2}}$

$=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$

Dengan menggunakan kesamaan luas segitiga diperoleh

$GJ=\frac{GK.TP}{TK}$

$=\frac{2.2}{\sqrt{5}}=\frac{4}{5}\sqrt{5}$

Jadi jarak garis AD ke garis BT adalah $\frac{4}{5}\sqrt{5}$

Contoh Soal 4

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, hitunglah jarak garis AF ke garis CD

Pembahasan

Gambar kubus dari soal diatas adalah

Jarak garis AF ke garis CD adalah panjang ruas garis AD.

Jadi jarak garis AF ke garis CD adalah 4 cm.

Jarak titik ke titik pada bangun ruang

Menghitung jarak titik ke garis pada bangun ruang dengan cara kesamaan luas segitiga

Menghitung jarak titik ke garis pada bangun ruang menggunakan aturan cosinus

Menghitung jarak titik ke bidang pada bangun ruang

Soal dan pembahasan jarak titik ke titik pada bangun ruang

Pembahasan soal jarak titik ke garis pada bangun ruang

Pembahasan soal jarak titik ke bidang pada bangun ruang

Jarak garis ke bidang pada bangun ruang

Cara menghitung jarak bidang ke bidang pada bangun ruang

Contoh Soal 5

Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Hitunglah jarak garis AG ke garis CD.

Pembahasan

Gambar kubus dari soal diatas adalah

Jarak garis AG ke garis CD adalah panjang ruas garis IJ dimana IJ tegaklurs AG dan IJ tegaklurus CD

Perhatikan segitiga CJG

CJ = 1/2 CD = 1/2 . 4 = 2

CG = 4, sehingga

$JG=\sqrt{CJ^{2}+CG^{2}}$

$=\sqrt{2^{2}+4^{2}}$

$=\sqrt{4+16}$

$=\sqrt{20}$

$=2\sqrt{5}$

Panjang CG = Panjang AJ

Perhatikan segitiga AGJ

Dengan menggunakan aturan cosinus diperoleh

$GJ^{2}=AJ^{2}+AG^{2}-2.AJ.AG.cosA$

$\left ( 2\sqrt{5} \right )^{2}=\left ( 2\sqrt{5} \right )^{2}+\left ( 4\sqrt{3} \right )^{2}-2.2\sqrt{5}.4\sqrt{3}.cosA$

$20=20+48-16\sqrt{15}.cosA$

$48=16\sqrt{15}.cosA$

$cosA=\frac{48}{16\sqrt{15}}$

$cosA=\frac{3}{\sqrt{15}}$

$cosA=\frac{3}{15}\sqrt{15}$

$cosA=\frac{1}{5}\sqrt{15}$

Dari identitas trigonometri diperoleh

$sin^{2}A+cos^{2}A=1$

$sin^{2}A+\left ( \frac{\sqrt{15}}{5} \right )^{2}=1$

$sin^{2}A+\frac{15}{25}=1$

$sin^{2}A=1-\frac{15}{25}$

$sin^{2}A=\frac{10}{25}$

$sinA=\sqrt{\frac{10}{25}}$

$sinA=\frac{\sqrt{10}}{5}$

Perhatikan AIJ

$sinA=\frac{IJ}{AJ}$

$\frac{\sqrt{10}}{5}=\frac{IJ}{2\sqrt{5}}$

$IJ=\frac{2\sqrt{5.}\sqrt{10}}{5}$

$IJ=\frac{2\sqrt{50}}{5}$

$IJ=\frac{2.5\sqrt{2}}{5}$

$IJ=2\sqrt{2}$

Jadi jarak garis AG ke garis CD adalah $2\sqrt{2}$ cm

Untuk perhitungan di aplikasi Geogebra dapat dilihat melalui link https://www.sambimatika.my.id/2022/09/menghitung-jarak-garis-ke-garis-menggunakan-aplikasi-geogebra.html

Jarak Garis Ke Garis Pada Bangun Ruang | Pembahasan Materi dan Soal

Definisi Jarak Garis Ke Garis

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Jarak Garis Ke Garis Pada Bangun Ruang | Pembahasan Materi dan Soal

Definisi Jarak Garis Ke Garis

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form