Pembahasan Materi dan Soal Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Dengan Pemfaktoran | Matematika SMP/MTs kelas 9

Nurman Karim August 09, 2021 0

Memfaktorkan bentuk persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0,a=1$

Tahap inti dari cara ini adalah memfaktorkan bentuk menjadi $x^{2}+bx+c=0$ menjadi $\left ( x+p \right )\left ( x+q \right )$ yang dapat dituliskan menjadi :

$x^{2}+bx+c=\left ( x+p \right )\left ( x+q \right )$

$x^{2}+bx+c=x^{2}+\left ( p+q \right )x+\left ( p.q \right )$

Artinya untuk memfaktorkan bentuk ini harus mencari bilangan p dan q sedemikian hingga b = p+q dan c = p.q

Contoh 1

Dengan cara memfaktorkan, tentukan akar dari persamaan kuadrat berikut

a. $x^{2}+6x+8=0$

b. $x^{2}-7x+10=0$

c. $x^{2}+2x-15=0$

Alternatif Penyelesaian

a. $x^{2}+6x+8=0$

Cari dua bilangan yang hasil kalinya 8 dan hasil penjumlahannya 6

1 x 8 = 8 1 + 8 = 9 (Tidak memenuhi)

(-1) x (-8) = 8 -1-8 = -9 ( Tidak memenuhi)

2 x 4 = 8 2 + 4 = 6 (memenuhi)

(-2) x (-4) = 8 -2-4 = -6 (tidak memenuhi)

Yang memenuhi adalah bilangan 2 dan 4 maka :

$x^{2}+6x+8=0$

$\left ( x+2 \right )\left ( x+4 \right )=0$

$\left ( x+2 \right )=0$ atau $\left ( x+4 \right )=0$

$x=-2$ $x=-4$

Jadi akar dari persamaan kuadrat $x^{2}+6x+8=0$ adalah x = -2 atau x = -4 atau ditulis juga dengan bentuk {-2,-4}

b. $x^{2}-7x+10=0$

Cari dua bilangan yang hadil kalinya 10 dan jumlahnya -7

2 x 5 = 10 2 + 5 = 7 (tidak memenuhi)

(-2) x (-5) = 10 -2 -5 = -7 (memenuhi)

maka

$x^{2}-7x+10=0$

$\left ( x-2 \right )\left ( x-5 \right )=0$

$\left ( x-2 \right )=0$ atau $\left ( x-5 \right )=0$

$x = 2$ $x = 5$

Jadi akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-7x+10=0$ adalah {2,5}

c. $x^{2}+2x-15=0$

Cari dua bilangan yang hasil kalinya -15 dan jumlahnya 2

(-1) x 15 = -15 -1 + 15 = 14 (tidak memenuhi)

1 x (-15) = -15 1 - 15 = -14 (tidak memenuhi)

(-3) x 5 = -15 -3 + 5 = 2 (memenuhi)

maka

$x^{2}+2x-15=0$

$\left ( x-3 \right )\left ( x+5 \right )=0$

$\left ( x-3 \right )=0$ atau $\left ( x+5 \right )=0$

$x=3$ $x=-5$

Jadi akar dari persamaan kuadrat $x^{2}+2x-15=0$ adalah {3,-5}

Memfaktorkan bentuk persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0,a\neq 1$

Langkah-langah memfaktorkan

Kalikan a dan c
Cari dua bilangan yang hasil kalinya ac dan jumlahnya b

Contoh 2

Dengan cara memfaktorkan, tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut

a. $3x^{2}+5x-2=0$

b. $2x^{2}-x-10=0$

c. $3x^{2}-25x+42=0$

Alternatif penyelesaian

a. $3x^{2}+5x-2=0$

Kalikan 3 dan -2

3 x (-2) = -6

Cari dua bilangan yang hasil kalinya -6 dan jumlahnya 5

1 x (-6) = -6 1 - 6 = -5 (tidak memenuhi)

(-1) x 6 = -6 -1 + 6 = 5 (memenuhi)

2 x (-3) = -6 2 - 3 = -1 (tidak memenuhi)

(-2) x 3 = -6 -2 + 3 = 1 (tidak memenuhi)

maka

(Perhatikan langkah alternatif 1 menggunakan 5x =-x + 6x berikut)

$3x^{2}+5x-2=0$

$3x^{2}-x+6x-2=0$ (perhatikan 5x diubah menjadi -x + 6x)

$\left ( 3x^{2}-x \right )+\left (6x-2 \right )=0$ (perhatikan penggabungan)

$x\left ( 3x-1 \right )+2\left ( 3x-1 \right )=0$ (perhatikan pemfaktoran)

$\left ( x+2 \right )\left ( 3x-1 \right )=0$

$\left ( x+2 \right )=0$ atau $\left ( 3x-1 \right )=0$

$x=-2$ $3x=1$

$x=\frac{1}{3}$

(Perhatikan langkah alternatif 2 menggunakan 5x =6x - x berikut)

$3x^{2}+5x-2=0$

$3x^{2}+6x-x-2=0$

$\left ( 3x^{2}+6x \right )-\left ( x+2 \right )=0$ (Perhatikan perubahan tanda)

$3x\left ( x+2 \right )-\left ( x+2 \right )=0$

$\left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right )=0$

$\left ( 3x-1 \right )=0$ atau $\left ( x+2 \right )=0$

$3x=1$ $x=-2$

$x=\frac{1}{3}$

Jadi akar dari persamaan kuadrat $3x^{2}+5x-2=0$ adalah $\left \{ \frac{1}{3},-2 \right \}$

b. $2x^{2}-x-10=0$

Kalikan 2 dan -10

2 x (-10) = -20

Cari dua bilangan yang hasil kalinya -20 dan jumlahnya -1

(-4) x 5 = -20 -4 + 5 = 1 (tidak memenuhi)

4 x (-5) = -20 4 - 5 = -1 (memenuhi)

Maka

$2x^{2}-x-10=0$

$2x^{2}+4x-5x-10=0$

$\left ( 2x^{2}+4x \right )-\left ( 5x+10 \right )=0$

$2x\left ( x+2 \right )-5\left ( x+2 \right )=0$

$\left ( 2x-5 \right )\left ( x+2 \right )=0$

$\left ( 2x-5 \right )=0$ atau $\left ( x+2 \right )=0$

$2x=5$ $x=-2$

$x=\frac{5}{2}$

Jadi akar dari persamaan kuadrat $2x^{2}-x-10=0$ adalah $\left \{ -2,\frac{5}{2} \right \}$

c. $3x^{2}-25x+42=0$

$3x^{2}-18x-7x+42=0$

$\left ( 3x^{2}-18x \right )-\left ( 7x-42 \right )=0$

$3x\left ( x-6 \right )-7\left ( x-6 \right )=0$

$\left ( 3x-7 \right )\left ( x-6 \right )=0$

$\left ( 3x-7 \right )=0$ atau $\left ( x-6 \right )=0$

$3x=7$ $x=6$

$x=\frac{7}{3}$

Jadi akar dari persamaan $3x^{2}-25x+42=0$ adalah $\left \{ \frac{7}{3},6 \right \}$

Post a Comment

Terimakasih untuk anda telah berkomentar di postingan ini