Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

$ax^{2}+bx+c=0$ , dengan $a,b,c\in \mathbb{R},a\neq 0$

Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Dengan Cara Melengkapkan Kudrat Sempurna

Inti dari melengkapkan kuadrat sempurna adalah mengubah persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ menjadi $\left ( x+p \right )^{2}+q=0$

Untuk membentuk $ax^{2}+bx+c=0$ menjadi kuadrat sempurna maka koefesien dari $x^{2}$ harus 1 sehingga diperoleh $x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

Untuk mencari nilai p dan q ikuti langkah berikut

$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\left ( x+p \right )^{2}+q$

$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^{2}+2px+p^{2}+q$

Dari langkah diatas diperoleh

$\frac{b}{a}=2p$

$p=\frac{b}{2a}$

dan

$\frac{c}{a}=p^{2}+q$

$q=\frac{c}{a}-p^{2}$

$q=\frac{c}{a}-\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}$

Contoh 1

Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna tentukan akar dari persamaan kuadrat berikut.

a. $x^{2}+8x+12=0$

b. $2x^{2}+6x+3=0$

Alternatif penyelesaian

a. $x^{2}+8x+12=0$

$x^{2}+8x=-12$

Bagilah koefesien x dengan 2 sehingga diperoleh $\frac{8}{2}=4$

$x^{2}+8x+4^{2}=-12+4^{2}$

$\left ( x+4 \right )^{2}=-12+16$

$\left ( x+4 \right )^{2}=2$

$\left ( x+4 \right )=\pm \sqrt{2}$

$x=-4 \pm \sqrt{2}$

Jadi akar dari $x^{2}+8x+12=0$ adalah $x_{1}=-4+\sqrt{2}$ atau $x_{2}=-4-\sqrt{2}$

b. $2x^{2}+6x+3=0$

$\frac{2}{2}x^{2}+\frac{6}{2}+\frac{3}{2}=0$

$x^{2}+3x+\frac{3}{2}=0$

$x^{2}+3x=-\frac{3}{2}$

$x^{2}+3x+\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}=-\frac{3}{2}+\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}$

$\left ( x+\frac{3}{2} \right )^{2}=-\frac{3}{2}+\frac{9}{4}$

$\left ( x+\frac{3}{2} \right )^{2}=-\frac{6}{4}+\frac{9}{4}$

$\left ( x+\frac{3}{2} \right )^{2}=\frac{3}{4}$

$x+\frac{3}{2}=\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

$x+\frac{3}{2}=\pm \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$x=-\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{3}$

Jadi akar dari $2x^{2}+6x+3=0$ adalah $x_{1}=-\frac{3}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{3}$ atau $x_{2}=-\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{3}$

Contoh 2

Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna tentukan akar dari persamaan kuadrat $x^{2}+5x+6=0$

Alternatif Penyelesaian

Perhatikan koefesien x adalah 5 dan harus dibagi 2 menjadi $\frac{5}{2}$ , maka persamaan kuadrat diatas menjadi

$x^{2}+5x=-6$

$x^{2}+5x+\left ( \frac{5}{2} \right )^{2}=-6+\left ( \frac{5}{2} \right )^{2}$

$\left (x+ \frac{5}{2} \right )^{2}=-6+\frac{25}{4}$

$\left (x+ \frac{5}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}$

$x+ \frac{5}{2}=\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

$x=- \frac{5}{2}\pm \frac{1}{2}$

Jadi akar dari persamaan kuadrat $x^{2}+5x+6=0$ adalah $x_{1}=- \frac{5}{2}+\frac{1}{2}=-\frac{4}{2}=-2$

atau

$x_{1}=- \frac{5}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{6}{2}=-3$

Contoh 3

Tentukan akar dari persamaan kuadrat $x^{2}+x-6=0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

Alternatif penyelesaian

Perhatikan koefesien dari x adalah 1, jika dibagi 2 menjadi $\frac{1}{2}$ maka persamaan kuadrat tersebut menjadi

$x^{2}+x-6=0$

$x^{2}+x=6$

$x^{2}+x+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=6+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}$

$\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}=6+\frac{1}{4}$

$\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}=\frac{25}{4}$

$x+\frac{1}{2}=\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

$x+\frac{1}{2}=\pm \frac{5}{2}$

$x=-\frac{1}{2}\pm \frac{5}{2}$

Jadi akar dari persamaan kuadrat $x^{2}+x-6=0$ adalah

$x_{1}=-\frac{1}{2}+ \frac{5}{2}=\frac{4}{2}=2$

atau

$x_{1}=-\frac{1}{2}- \frac{5}{2}=-\frac{6}{2}=-3$

Untuk mempelajari menentukan akar persamaan kuadrat menggunakan rumus ABC bisa dipelajari di LINK INI

Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna | Matematika SMP/MTs Kelas 9

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna | Matematika SMP/MTs Kelas 9

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form