Pembahasan Soal Jarak Titik Ke Bidang Pada Bangun Ruang

SOAL 1 JARAK TITIK KE BIDANG

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak titik A ke bidang BDHF.

Alternatif Penyelesaian

Gambar kubus dari soal diatas sebagai berikut.

Proyeksi titik A ke bidang BDHF diwakili oleh proyeksi titik B ke garis BD yaitu titik P sehingga AP tegak lurus BD dan juga tegaklurus bidang BDHF. Maka jarak titik A ke bidang BDHF adalah panjang garis AP.

Diketahui

AB = 10 cm

$AC=10\sqrt{2}$ cm

Karena jarak titik A ke bidang BDHF adalah panjang garis AP, maka diperoleh :

$AP=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}10\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

Jadi jarak titik A ke bidang BDHF adalah $5\sqrt{2}$ cm

SOAL 2 JARAK TITIK KE BIDANG

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak titik A ke bidang DHF.

Alternatif Penyelesaian

Gambar kubus dari soal diatas sebagai berikut

Bidang BHF terletak pada bidang yang berpotongan dengan kubus ABCD.EFGH yaitu bidang BDHF.

Proyeksi titik A ke bidang BDHF diwakili oleh proyeksi titik B ke garis BD yaitu titik P sehingga AP tegak lurus BD dan juga tegaklurus bidang DHF. Maka jarak titik A ke bidang DHF adalah panjang garis AP.

Diketahui

AB = 10 cm

$AC=10\sqrt{2}$ cm

Karena jarak titik A ke bidang DHF adalah panjang garis AP, maka diperoleh :

$AP=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}10\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

Jadi jarak titik A ke bidang DHF adalah $5\sqrt{2}$ cm

SOAL 3 JARAK TITIK KE BIDANG

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak titik E ke bidang BDG.

Alternatif penyelesaian

Gambar kubus dari soal diatas sebagai berikut

Proyeksi titik E pada bidang BDG diwakili oleh proyeksi titik E pada garis GO yang terletak pada bidang BDG yaitu titik P sehingga EP tegaklurus GO. Jarak titik E ke bidang BDG adalah panjang garis EP.

Untuk mempermudah perhitungan tariklah garis EO, EG dan OQ seperti pada gambar berikut.

Perhatikan segitiga EOG, akan dicari panjang EO melalui segitiga EAO.

$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}6\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

Sehingga diperoleh

$EO=\sqrt{AO^{2}+AE^{2}}=\sqrt{\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2}+6^{2}}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}$

Panjang EO = OG = $3\sqrt{6}$ dan panjang EG = $6\sqrt{2}$

Dengan menggunakan kesamaan luas segitiga diperoleh :

$EP=\frac{EG.OQ}{OG}=\frac{6\sqrt{2}.6}{3\sqrt{6}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$

Jadi jarak titik E ke bidang BDG adalah $4\sqrt{3}$ cm

SOAL 4 JARAK TITIK KE BIDANG

Diberikan limas 𝑇.𝐴𝐵𝐶 dengan 𝐴𝐵 = 3, 𝐵𝐶 = 2, 𝑇𝐵 = 2, ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐵𝑇 = ∠𝐶𝐵𝑇 = 90°. Tentukan jarak titik 𝐵 ke bidang 𝐴𝐶𝑇.

Alternatif Penyelesaian

Gambar limas dari soal diatas sebagai berikut.

Misalkan volume limas T.ABC dinyatakan dengan V dengan memandang segitiga ABC sebagai alas, maka:

$V=\frac{1}{3}L_{\triangle ABC}.BT=\frac{1}{3}\frac{1}{2}AB.BC.BT$

$V=\frac{1}{6}.3.2.2=2$ sat volume

Selanjutnya dicari volume limas dengan memandang DTAC sebagai alas

$CT=\sqrt{BC^{2}+BT^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$

$AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BT^{2}-TD^{2}$

$AD^{2}=3^{2}+2^{2}-\left ( \sqrt{2} \right )^{2}=9+4-2=11$

$AD=\sqrt{11}$

Sehingga diperoleh luas segitiga TAC

$L_{\triangle TAC}=\frac{1}{2}TC.AD=\frac{1}{2}2\sqrt{2}.\sqrt{11}=\sqrt{22}$

Dari volume limas dengan tinggi BP diperoleh :

$V=\frac{1}{3}L_{\triangle TAC}.BP$

$2=\frac{1}{3}\sqrt{22}.BP$

$BP=\frac{6}{\sqrt{22}}=\frac{6}{22}\sqrt{22}=\frac{3}{11}\sqrt{22}$

Jadi jarak titik B ke bidang ACT adalah $\frac{3}{11}\sqrt{22}$ satuan panjang.

Menghitung jarak titik ke garis pada bangun ruang dengan cara kesamaan luas segitiga

Menghitung jarak titik ke garis pada bangun ruang menggunakan aturan cosinus

Menghitung jarak titik ke bidang pada bangun ruang

Soal dan pembahasan jarak titik ke titik pada bangun ruang

Pembahasan soal jarak titik ke garis pada bangun ruang

Jarak garis ke garis pada bangun ruang

Jarak garis ke bidang pada bangun ruang

Cara menghitung jarak bidang ke bidang pada bangun ruang

SOAL 5 JARAK TITIK KE BIDANG

Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Hitunglah jarak titik A ke bidang BDG.

Alternatif Penyelesaian

Gambar dari kubus pada soal diatas adalah

Keterangan Gambar

1. Perpanjang garis OG sehingga OP = OG

2. Tarik garis AP

3. Perhatikan segitiga OAP kongruen dengan segitiga OCG sehingga AP = CG

Proyeksi titik A ke garis PG adalah titik R sehingga AR tegaklurus PG.

Sehingga jarak titik A ke bidang BDG adalah panjang garis AR (Perhatikan bahwa garis AR berada di luar kubus).

Perhatikan segitiga COG, dari segitiga ini akan dicari panjang OG.

$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

$OG=\sqrt{OC^{2}+CG^{2}}=\sqrt{\left ( 2\sqrt{2} \right )^{2}+4^{2}}$

$OG=\sqrt{8+16}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$

Karena OG = OP maka

PG = OG + OP = $2\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4\sqrt{6}$

Perhatikan segitiga OAP kongruen dengan segitiga OCG sehingga

AP = CG = 4

Cara 1

Perhatikan segitiga PAG dan dengan menggunakan aturan cosinus diperoleh

$AP^{2}=PG^{2}+AG^{2}-2PG.AG.cosG$

$4^{2}=\left ( 4\sqrt{6} \right )^{2}+\left ( 4\sqrt{3} \right )^{2}-2.4\sqrt{6}.4\sqrt{3}.cosG$

$16=94+48-96\sqrt{2}.cosG$

$-128=-96\sqrt{2}.cosG$

$cosG=\frac{128}{96\sqrt{2}}=\frac{128\sqrt{2}}{192}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Dengan menggunakan identitas trigonometri diperoleh

$sin^{2}G+cos^{2}G=1$

$sin^{2}G+\left ( \frac{2\sqrt{2}}{3} \right )^{2}=1$

$sin^{2}G+\frac{8}{9}=1$

$sin^{2}G=1-\frac{8}{9}$

$sin^{2}G=\frac{1}{9}$

$sinG=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$

Dengan menggunakan perbandingan trigonometri diperoleh

$sinG=\frac{AR}{AG}$

$\frac{1}{3}=\frac{AR}{4\sqrt{3}}$

$AR=\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$

Jadi jarak titik A ke bidang BDG adalah $\frac{4}{3}\sqrt{3}$

Cara 2

Di cara ini dan cara berikutnya kita tidak perlu tarik garis AG, gambar diatas seperti ini.

Perhatikan segitiga OAP. Dengan menggunakan kesamaan luas segitiga diperoleh :

$AR=\frac{AP.OA}{OP}=\frac{4.2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$

Jadi jarak titik A ke bidang BDG adalah $\frac{4}{3}\sqrt{3}$

Cara 3

Perhatikan segitiga OAP. Dengan menggunakan aturan Cosinus dan memulai perhitungan dari sudut P diperoleh

$OA^{2}=AP^{2}+OP^{2}-2.AP.OP.cosP$

$\left ( 2\sqrt{2} \right )^{2}=4^{2}+\left ( 2\sqrt{6} \right )^{2}-2.4.2\sqrt{6}.cosP$

$8=16+24-16\sqrt{6}.cosP$

$cosP=\frac{32}{16\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2}{6}\sqrt{6}=\frac{1}{3}\sqrt{6}$

Dengan menggunakan identitas triginometri diperoleh :

$sin^{2}P+cos^{2}P=1$

$sin^{2}P+\left ( \frac{1}{3}\sqrt{6} \right )^{2}=1$

$sin^{2}P+\frac{6}{9}=1$

$sin^{2}P=1-\frac{6}{9}$

$sin^{2}P=\frac{3}{9}$

$sinP=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Dengan menggunakan perbandingan triginometri diperoleh :

$sinP=\frac{AR}{AP}$

$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{AR}{4}$

$AR=\frac{4}{3}\sqrt{3}$

Jadi jarak titik A ke bidang BDG adalah $\frac{4}{3}\sqrt{3}$

Cara 4

Perhatikan segitiga OAP. Dengan menggunakan aturan Cosinus dan memulai perhitungan dari sudut O. Untuk perhitungan cara ini diserahkan ke pembaca.

Dengan menggunakan Aplikasi Geogebra diperoleh seperti ini.

SOAL 6 JARAK TITIK KE BIDANG

Diketahui kubus ABCD. EFGH yang panjang rusuknya a cm. Titik Q adalah titik tengah rusuk BF. Tentukan jarak titik H ke bidang ACQ.

Alternatif Penyelesaian

Gambar kubus dari soal diatas adalah

Proyeksi titik H ke bidang ACQ diwakili oleh proyeksi titik H ke garis OQ yaitu titik O sehingga HO tegak lurus OQ. Maka jarak titik H ke bidang ACQ adalah panjang garis HO.

$DO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}a\sqrt{2}$

$HO=\sqrt{HD^{2}+DO^{2}}$

$=\sqrt{a^{2}+\left ( \frac{1}{2}a\sqrt{2} \right )^{2}}$

$=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}a^{2}.2}$

$=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{2}a^{2}}$

$=\sqrt{\frac{3}{2}a^{2}}$

$=a\sqrt{\frac{3}{2}}$

$=\frac{a\sqrt{3}\sqrt{2}}{2}$

$=\frac{a}{2}\sqrt{6}$

Jadi jarak titik H ke bidang ACQ adalah $\frac{a}{2}\sqrt{6}$

SOAL 7 JARAK TITIK KE BIDANG

Suatu kepanitiaan membuat papan nama dari kertas yang membentuk bangun seperti berikut.

Ternyata ABE membentuk segitiga sama sisi, panjang BF = 13 cm dan BC = 12 cm. Tentukan jarak antara titik A dan bidang BCFE.

Alternatif Penyelesaian

BC = EF = 12

Perhatikan segitiga BEF, diperoleh

$BE=\sqrt{BF^{2}-EF^{2}}$

$=\sqrt{13^{2}-12^{2}}$

$=\sqrt{169-144}$

$=\sqrt{25}=5$

Perhatikan segitiga ABP, diperoleh

$BP=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}5=\frac{5}{2}$

Maka,

$AP=\sqrt{AB^{2}-BP^{2}}$

$=\sqrt{5^{2}-\left ( \frac{5}{2} \right )^{2}}$

$=\sqrt{25-\frac{25}{4}}$

$=\sqrt{\frac{75}{4}}$

$=\frac{5}{2}\sqrt{3}$

Jadi jarak titik A ke bidang BCFE adalah $\frac{5}{2}\sqrt{3}$

SOAL 8 JARAK TITIK KE BIDANG

Diketahui sebuah limas beraturan E.ABCD dengan panjang rusuk alas 6 cm dan tinggi 6 cm. Hitunglah jarak titik B ke bidang CDE.

Pembahasan

Gambar limas E.ABCD beraturan soal diatas adalah

Perhatikan bahwa ketika kita berbicara bidang, maka bidang yang dimaksud adalah bidang yang tidak hanya terbatas pada yang tampak pada gambar, tetapi bidang secara universal. Jika digambarkan pada aplikasi geogebra bidang CDE akan tampak seperti gambar berikut.

Maka bisa digambarkan proyeksi titik B pada bidang CDE adalah titik J sehingga ruas garis BJ tegaklurus bidang CDE dan tampak seperti gambar berkut.

Perhatikan bahwa titik J berada di luar bidang sisi CDE.

Buat ruas garis BJ. Panjang garis BJ merupakan jarak titik B ke bidang CDE. Untuk menghitung panjang ruas garis BJ, bisa menggunakan dua alternatif gambar.

Gambar Alternatif 1

1. Geser garis BJ sampai titik tengah garis AB, memotong titik garis AB di titik K dan menenmbus bidang CDE di titik L.

2. Buat garis JL

3. Buat sebuah titik tengah garis CD, misal titik M

4. Buat garis KM

5. Buat garis EM

6. Buat garis EK

7. Buat titik tengah garis KM, misal titik N

8. Buat garis EN

Tampak seperti gambar berikut