Soal dan Pembahasan Jarak Titik Ke Garis Pada Bangun Ruang

Soal 1

Diketahui limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk AB = 3 cm dan TA = 6 cm. Tentukan jarak titik B ke rusuk TD.

Alternatif Penyelesaian

Gambar limas dari soal diatas sebagai berikut.

Diketahui

$BD=3\sqrt{2}$ cm

TD = TA = 6 cm

$OD = \frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}\sqrt{2}$

Ditanyakan jarak titik B ke rusuk TD.

Jawab

Proyeksi titik B di rusuk TD adalah titik P sehingga garis BP tegak lurus dengan garis TD, maka jarak titik B ke rusuk TD adalah panjang garis BP.

Perhatikan segitiga TOD, diperoleh :

$OT=\sqrt{TD^{2}-OD^{2}}=\sqrt{6^{2}-\left ( \frac{3}{2}\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{36-\frac{9}{2}}$

$OT=\sqrt{\frac{63}{2}}=\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{14}$

Perhatikan segitiga TBD, dengan menggunakan kesamaan luas segitiga diperoleh

$BP=\frac{BD.OT}{TD}=\frac{3\sqrt{2}.\frac{3}{2}\sqrt{14}}{6}=\frac{3}{4}\sqrt{28}=\frac{3}{2}\sqrt{7}$

Jadi jarak titik B ke rusuk TD adalah $\frac{3}{2}\sqrt{7}$ cm.

Soal 2

Diketahui limas segi enam beraturan. T.ABCDEF dengan panjang rusuk AB = 10 cm dan AT = 13 cm. Tentukan jarak titk B ke rusuk TE.

Alternatif Penyelesaian

Gambar limas dari soal diatas sebagai berikut.

Dari gambar soal dan gambar diketahui proyeksi titik B di garis TE adalah titik P, sehingga garis BP tegak lurus garis TE sehingga jarak titik B ke rusuk TD adalah panjang garis BP

BE = 2 . AB = 2 . 10 = 20 cm

ET = AT = 13 cm

EO = ½ BE = ½ 20 = 10 cm

Sehingga

$TO=\sqrt{TE^{2}-EO^{2}}=\sqrt{13^{2}-10^{2}}=\sqrt{169-100}=\sqrt{69}$

Perhatikan segitiga TEB dan dengan menggunakan kesamaan luas segitiga diperoleh :

$BP=\frac{BE.TO}{ET}=\frac{20.\sqrt{69}}{13}=\frac{20}{13}\sqrt{69}$

Jadi jarak titik B ke rusuk TD adalah $\frac{20}{13}\sqrt{69}$ cm

Menghitung jarak titik ke garis pada bangun ruang dengan cara kesamaan luas segitiga

Menghitung jarak titik ke garis pada bangun ruang menggunakan aturan cosinus

Menghitung jarak titik ke bidang pada bangun ruang

Soal dan pembahasan jarak titik ke titik pada bangun ruang

Pembahasan soal jarak titik ke bidang pada bangun ruang

Jarak garis ke garis pada bangun ruang

Jarak garis ke bidang pada bangun ruang

Cara menghitung jarak bidang ke bidang pada bangun ruang

Soal 3

Diketahui Kubus ABCD.EFGH dengan panjang AB = 10 cm. Tentukan :

a. Jarak titik F ke garis AC

b. Jarak titik H ke garis DF

Alternatif Penyelesaian

Gambar kubus dari soal diatas sebagai berikut.

a. Jarak titik F ke garis AC

Proyeksi titik F ke garis AC adalah titik O sehingga garis FO tegak lurus garis AC, maka jarak titik F ke garis AC adalah panjang garis FO.

Tarik garis BO yang berpotongan dengan garis AC di titik O, sehingga membentuk segitiga siku-siku FBO, siku-siku di titik B.

Perhatikan segitiga siku-siku FBO

BF = 10

$AC=10\sqrt{2}$

$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}10\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

Sehingga diperoleh panjang FO adalah

$FO=\sqrt{BF^{2}+OB^{2}}=\sqrt{10^{2}+\left ( 5\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{150}=5\sqrt{6}$

Jadi jarak titik F ke garis AC adalah $5\sqrt{6}$ cm

b. Jarak titik H ke garis DF

Proyeksi titik H ke garis DF adalah titik P sehingga garis HP tegak lurus garis DF, maka jarak titik H ke garis DF adalah panjang garis HP.

Perhatikan segitiga DHF

$DF=10\sqrt{3}$

DH = 6 dan $HF=10\sqrt{2}$

Dengan menggunakan kesamaan luas segitiga diperoleh

$HP=\frac{HD.HF}{DF}=\frac{10.10\sqrt{2}}{10\sqrt{3}}=\frac{10}{3}\sqrt{6}$

Jadi jarak titik H ke garis DF adalah $\frac{10}{3}\sqrt{6}$ cm

Soal 4

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Titik M adalah titik tengah BC. Tentukan jarak M ke garis EG.

Alternatif Penyelesaian

Gambar kubus dari soal diatas sebagai berikut

Proyeksi titik M ke garis EG adalah titik P sehingga MP tegak lurus EG, maka jarak titik M ke garis EG adalah panjang garis MP.

Seperti pada pembahasan soal 3 pada soal dan pembahasan jarak titik ke titik pada bangun ruang bahwa segitiga BOC sebangun dengan segita MNC sehingga diperoleh

$\frac{BO}{MN}=\frac{BC}{MC}$

$\frac{4\sqrt{2}}{MN}=\frac{8}{4}$

$MN= \frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

Perhatikan segitiga PNM

$MP=\sqrt{PN^{2}+MN^{2}}=\sqrt{8^{2}+\left ( 2\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$

Jadi jarak titik M ke garis EG adalah $6\sqrt{2}$ cm

Soal 5

Perhatikan limas segi empat beraturan berikut.

Titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB dan AD. Jika panjang AB = TA = 12 cm. Tentukan jarak antara titik T dan garis PQ.

Alternatif Penyelesaian

Proyeksi titik T ke garis PQ adalah titik S, sehingga garis TS tegaklurus dengan garis PQ, maka jarak titik T ke garis PQ adalah panjang garis TS.

Seperti pada pembahasan soal 3 pada soal dan pembahasan jarak titik ke titik pada bangun ruang, maka diperoleh

$OS=\frac{1}{4}AC=\frac{1}{4}12\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

Untuk menghitung tinggi limas perhatikan segitiga AOT

$OT=\sqrt{TA^{2}-AO^{2}}=\sqrt{12^{2}-\left ( 6\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$

Perhatikan segitiga TOS

$TS=\sqrt{OT^{2}+OS^{2}}=\sqrt{\left ( 6\sqrt{2} \right )^{2}+\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$

Jadi jarak titik T ke garis PQ adalah $3\sqrt{10}$ cm

Untuk mempelajari pembahasan soal jarak titik ke bidang silahkan klik DISINI

Untuk menghitung jarak titik ke garis menggunakan aplikasi geogebra dapat dipelajari pada pembahasan Cara Menghitung Jarak Titik ke Garis Mengggunakan Aplikasi Geogebra.

Demikian pembahasan soal jarak titik ke garis, semoga bermanfaat. Amin ya robbal alamin.

Soal dan Pembahasan Jarak Titik Ke Garis Pada Bangun Ruang

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Soal dan Pembahasan Jarak Titik Ke Garis Pada Bangun Ruang

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form