Menghitung Jarak Garis Bersilangan Dengan Aplikasi Vektor

Menghitung Jarak Garis Bersilangan dengan Aplikasi Vektor - Menghitung jarak garis bersilangan menggunakan pendekatan geometri seperti yang diterapkan pada Kurikulum Matematika SMA/MA kelas XII pada kondisi-kondisi tertentu kerap kali menemukan kesulitan dalam menentukan jarak dari kedua garis tersebut, Hal ini disebabkan karena kurangnya ketelitian dalam menggambar bidang-bidang bantu sampai dengan menentukan panjang ruas garis pendukung untuk menerapkan beberapa konsep perhitungan. Untuk memecahkan permasalahan tersebut, sebagai alternatif menyelesaikan soal-soal jarak garis bersilangan pada bangun ruang dapar menggunaan aplikasi vektor. Berikut pembahasan cara menghitung jarak garis bersilangan pada bangun ruang menggunakan aplikasi vektor.

Perhatikan gambar berikut.

Gambar 1 Jarak dua garis bersilangan menggunakan vektor

Langkah-langkah menghitung jarak garis bersilangan pada bangun ruang menggunakan aplikasi vektor

Perhatikan gambar diatas. Misal akan dicari jarak garis $https://latex.codecogs.com/svg.image?g_{1}$ dan garis $https://latex.codecogs.com/svg.image?g_{2}$ . Garis $https://latex.codecogs.com/svg.image?g_{1}$ dan garis $https://latex.codecogs.com/svg.image?g_{2}$ diwakili oleh masing-masing vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{v}_{1}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{v}_{2}$ . Pada garis $https://latex.codecogs.com/svg.image?g_{1}$ pilihlah titik A.

Impitkan kedua pangkal vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{v}_{1}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{v}_{2}$ di titik A.
Buatlah bidang V melalui kedua vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{v}_{1}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{v}_{2}$ .
Tentukan vektor normal yang tegak lurus dengan bidang V yaitu vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$ dengan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}=\vec{v}_{1}\, \, \textrm{x}\, \, \vec{v}_{2}$
Tentukan salah satu vektor dari $https://latex.codecogs.com/svg.image?g_{1}$ dan garis $https://latex.codecogs.com/svg.image?g_{2}$ , misal vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{AC}$
Jarak Kedua garis adalah Panjang proyeksi vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{AC}$ ke vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$ dengan rumus $https://latex.codecogs.com/svg.image?Jarak=\left|\frac{\overrightarrow{AC}.\vec{u}}{\left|\vec{u} \right|} \right|$

Jarak kedua garis ini bisa juga dengan memilih vektor yang lain dari $https://latex.codecogs.com/svg.image?g_{1}$ dan garis $https://latex.codecogs.com/svg.image?g_{2}$ yaitu:

Jarak Kedua garis adalah Panjang proyeksi vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{AD}$ ke vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$ dengan rumus $https://latex.codecogs.com/svg.image?Jarak=\left|\frac{\overrightarrow{AD}.\vec{u}}{\left|\vec{u} \right|} \right|$
Jarak Kedua garis adalah Panjang proyeksi vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{BC}$ ke vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$ dengan rumus $https://latex.codecogs.com/svg.image?Jarak=\left|\frac{\overrightarrow{BC}.\vec{u}}{\left|\vec{u} \right|} \right|$
Jarak Kedua garis adalah Panjang proyeksi vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{BD}$ ke vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$ dengan rumus $https://latex.codecogs.com/svg.image?Jarak=\left|\frac{\overrightarrow{BD}.\vec{u}}{\left|\vec{u} \right|} \right|$

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm Hitunglah :

a. Jarak garis AB ke garis CH

b. Jarak garis BE ke garis DF

c. Jika titik X adalah titik tengah EF, hitunglah jarak garis AX ke garis BH

Pembahasan

a. Jarak garis AB ke garis CH

Langkah pertama kita menggambar ilustrasi kubus ABCD.EFGH di sumbu koordinat

Gambar 2. Jarak garis AB ke garis CH

Buatlah kordinat titik yang dibutuhkan yaitu A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0) dan H(0,2,2). (Perhatikan sumbu-sumbu koordinatnya)
Tentukan vektor kedua garis AB dan CH

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}=\left ( 2,0,0 \right )-\left ( 0,0,0 \right )=\left ( 2,0,0 \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{CH}=\vec{h}-\vec{c}=\left ( 0,2,2 \right )-\left ( 2,2,0 \right )=\left ( -2,0,2 \right )$

Tentukan vektor normal kedua garis yaitu $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}=\overrightarrow{AB}\, \, \textrm{x}\, \, \overrightarrow{CH}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}i & j & k \\2 & 0 & 0 \\-2 & 0 & 2 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=(0-0)\vec{i}+(4-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=4\vec{j}$

$=(0,4,0)$

Untuk Operasi determinan matriks dapat dipelajari kembali melalui link INI

Panjang $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left|\vec{u} \right|=\sqrt{0^{2}+4^{2}+0^{2}}=\sqrt{16}=4$

Tentukanlah vektor yang menghubungkan garis AB dan garis CH. Misal pilih vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{BC}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}=(2,2,0)-(2,0,0)=(0,2,0)$

Menghitung jarak garis AB ke garis CH adalah panjang proyeksi vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{BC}$ ke vektor normal $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$

Jarak = Panjang proyeksi vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{BC}$ ke vektor normal $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{\overrightarrow{BC}.\vec{u}}{\left|\vec{u} \right|} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{(0,2,0.(0,4,0)}{4} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{8}{4} \right|=2$

Jadi jarak garis AB ke garis CH adalah 2 cm $https://latex.codecogs.com/svg.image?\blacksquare$

b. Jarak garis BE ke garis DF

Langkah pertama kita menggambar ilustrasi kubus ABCD.EFGH di sumbu koordinat

Gambar 3. Jarak garis BE ke garis DF

Buatlah kordinat titik yang dibutuhkan yaitu B(2,0,0), E(0,0,2), D(0,2,0), dan F(2,0,2)
Tentukan vektor kedua garis BE dan DF

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{BE}=\vec{e}-\vec{b}=(0,0,2)-(2,0,0)=(-2,0,2)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{DF}=\vec{f}-\vec{d}=(2,0,2)-(0,2,0)=(2,-2,2)$

Tentukan vektor normal kedua garis yaitu $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}=\overrightarrow{BE}\, \, \textrm{x}\, \, \overrightarrow{DF}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix} i& j & k \\ -2& 0 & 2 \\ 2& -2 & 2 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=(0-(-4))\vec{i}+(-4-4)\vec{j}+(4-0)\vec{k}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=4\vec{i}-8\vec{j}+4\vec{k}$

$=(4,-8,4)$

Panjang $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left| \vec{u}\right|=\sqrt{4^{2}+(-8)^{2}+4^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{16+64+16}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{96}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=4\sqrt{6}$

Tentukanlah vektor yang menghubungkan garis BE dan garis DF. Misal pilih vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{BF}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{BF}=\vec{f}-\vec{b}=(2,0,2)-(2,0,0)=(0,0,2)$

Menghitung jarak garis BE ke garis DF adalah panjang proyeksi vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{BF}$ ke vektor normal $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$

Jarak = Panjang proyeksi vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{BF}$ ke vektor normal $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{\overrightarrow{BF}.\vec{u}}{\left| \vec{u}\right|} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{(0,0,2).(4,-8,4)}{4\sqrt{6}} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{8}{4\sqrt{6}} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{2}{6}\sqrt{6}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{1}{3}\sqrt{6}$

Jadi jarak garis BE ke garis DF adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{3}\sqrt{6}$ cm $https://latex.codecogs.com/svg.image?\blacksquare$

Untuk perhitungan di aplikasi Geogebra dapat dilihat melalui link https://www.sambimatika.my.id/2022/09/menghitung-jarak-garis-ke-garis-menggunakan-aplikasi-geogebra.html

TIPS Cara Cepat Menghitung Jarak Diagonal Bidang ke Diagonal Ruang Kubus
Jarak diagonal bidang ke diagonal ruang kubus dengan panjang rusuk a adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{6}a\sqrt{6}$

c. Jika titik X adalah titik tengah EF, hitunglah jarak garis AX ke garis BH

Langkah pertama kita menggambar ilustrasi kubus ABCD.EFGH di sumbu koordinat

Gambar 4. Jarak garis AX ke garis BH

Buatlah kordinat titik yang dibutuhkan yaitu A(0,0,0), B(2,0,0), H(0,2,2), dan X(1,0,2)
Tentukan vektor kedua garis AX dan BH

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{AX}=\vec{x}-\vec{a}=(1,0,2)-(0,0,0)=(1,0,2)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{BH}=\vec{h}-\vec{b}=(0,2,2)-(2,0,0)=(-2,2,2)$

Tentukan vektor normal kedua garis yaitu $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}=\overrightarrow{AX}\, \, \textrm{x}\, \, \overrightarrow{BH}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{vmatrix} i& j & k \\ 1& 0 & 2 \\ -2& 2 & 2 \\\end{vmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=(0-4)\vec{i}+(2-(-4))\vec{j}+(2-0)\vec{k}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=-4\vec{i}+6\vec{j}+2\vec{k}$

$=(-4,6,2)$

Panjang $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left|\vec{u} \right|=\sqrt{(-4)^{2}+6^{2}+2^{2}}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$

Tentukanlah vektor yang menghubungkan garis AX dan garis BH. Misal pilih vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{AB}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}=(2,0,0)-(0,0,0)=(2,0,0)$

Menghitung jarak garis AX ke garis BH adalah panjang proyeksi vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{AB}$ ke vektor normal $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$

Jarak = Panjang proyeksi vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{AB}$ ke vektor normal $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{\overrightarrow{AB}.\vec{u}}{\left|\vec{u} \right|} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{(2,0,0).(-4,6,2)}{\left|2\sqrt{14} \right|} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{-8}{2\sqrt{14}} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{8}{2\sqrt{14}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{4}{14}\sqrt{14}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{2}{7}\sqrt{14}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{\frac{4.14}{49}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{\frac{4.2}{7}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{\frac{8}{7}}$

Jadi jarak garis AX ke garis BH adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{2}{7}\sqrt{14}$ cm atau dapat ditulis dalam bentuk lain $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{\frac{8}{7}}$ cm $https://latex.codecogs.com/svg.image?\blacksquare$

Contoh Soal 2

Sebuah limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk 4 cm dan tinggi 4 cm. Hitunglah jarak garis AB ke garis TC.

Pembahasan

Gambar sketsa limas beraturan T.ABCD

Gambar 5. Jarak garis bersilangan pada limas

Buatlah kordinat titik yang dibutuhkan yaitu A(0,0,0), B(4,0,0), C(4,4,0), D(0,4,0) dan T(2,2,4)
Tentukan vektor kedua garis AB dan TC

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}=(4,0,0)-(0,0,0)=(4,0,0)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{TC}=\vec{c}-\vec{t}=(4,4,0)-(2,2,4)=(2,2,-4)$

Tentukan vektor normal kedua garis yaitu $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}=\overrightarrow{AB}\, \, \textrm{x}\, \, \overrightarrow{TC}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}i & j & k \\4 & 0 & 0 \\2 & 2 & -4 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=0\vec{i}-16\vec{j}+8\vec{k}$

$=(0,-16,8)$

Panjang vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left|\vec{u} \right|=\sqrt{0^{2}+(-16)^{2}+8^{2}}=\sqrt{320}=8\sqrt{5}$

Tentukanlah vektor yang menghubungkan garis AB dan garis TC. Misal pilih vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{BC}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}=(4,4,0)-(4,0,0)=(0,4,0)$

Menghitung jarak garis AB ke garis TC adalah panjang proyeksi vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{BC}$ ke vektor normal $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$

Jarak = Panjang proyeksi vektor $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{BC}$ ke vektor normal $https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec{u}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left| \frac{\overrightarrow{BC}.\vec{u}}{\left|\vec{u} \right|}\right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left| \frac{(0,4,0).(0,-16,8)}{8\sqrt{5}}\right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left| \frac{-64}{8\sqrt{5}}\right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{8}{\sqrt{5}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{8}{5}\sqrt{5}$

Jadi jarak garis Ab ke garis TC adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{8}{5}\sqrt{5}$ cm $https://latex.codecogs.com/svg.image?\blacksquare$

Demikian pembahasan cara menghitung jarak garis bersilangan pada bangun ruang menggunakan aplikasi vektor. Untuk lebih memahami jarak garis ke garis sesuai dengan kurikulum kelas XII silahkan baca DISINI. Semoga tulisan ini dapat membantu para penuntut ilmu untuk lebih memahami perhitungan jarak garis bersilangan. SELAMAT BELAJAR !!!

Menghitung Jarak Garis Bersilangan Dengan Aplikasi Vektor

Langkah-langkah menghitung jarak garis bersilangan pada bangun ruang menggunakan aplikasi vektor

Contoh Soal dan Pembahasan

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Menghitung Jarak Garis Bersilangan Dengan Aplikasi Vektor

Langkah-langkah menghitung jarak garis bersilangan pada bangun ruang menggunakan aplikasi vektor

Contoh Soal dan Pembahasan

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form