Determinan Matriks dengan Metode Kofaktor

Sebelum membahas tentang bagaimana menentukan diterminan matriks menggunakan metode kofaktor akan dibahas terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan minor dan kofaktor.

1) Minor

Apabila elemen-elemen pada baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 dari matriks 𝐴 berordo 3×3 dihapuskan maka didapat suatu matriks baru yang berordo 2×2. Matriks baru ini merupakan submatriks 𝐴. Determinan dari submatriks 𝐴 ini disebut minor dan dinyatakan dengan |𝑀𝑖𝑗|.

Misalkan matriks 𝐴 berordo 3×3.

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

Determinan dari matriks A adalah

$\left | A \right |=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$

Minor-minor dari matriks 𝐴 setelah dihilangkan elemen-elemen pada baris ke 1 sampai 3 dan kolom ke 1 sampai 3 adalah sebagai berikut:

Untuk membuat minor |M11| hilangkan baris ke-1 dan kolom ke-1 dan hasilnya adalah

$\left | M_{11} \right |=\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$

Untuk membuat minor |M12| hilangkan baris ke-1 dan kolom ke-2 dan hasilnya adalah

$\left | M_{12} \right |=\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}$

Untuk membuat minor |M13| hilangkan baris ke-1 dan kolom ke-3 dan hasilnya adalah

$\left | M_{13} \right |=\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$

Untuk membuat minor |M21| hilangkan baris ke-2 dan kolom ke-1 dan hasilnya adalah

$\left | M_{21} \right |=\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$

Untuk membuat minor |M22| hilangkan baris ke-2 dan kolom ke-2 dan hasilnya adalah

$\left | M_{22} \right |=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}$

Untuk membuat minor |M23| hilangkan baris ke-2 dan kolom ke-3 dan hasilnya adalah

$\left | M_{23} \right |=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$

Untuk membuat minor |M31| hilangkan baris ke-3 dan kolom ke-1 dan hasilnya adalah

$\left | M_{31} \right |=\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix}$

Untuk membuat minor |M32| hilangkan baris ke-3 dan kolom ke-2 dan hasilnya adalah

$\left | M_{32} \right |=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}$

Untuk membuat minor |M33| hilangkan baris ke-3 dan kolom ke-3 dan hasilnya adalah

$\left | M_{33} \right |=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$

Contoh Soal 1

Tentukan minor-minor dari matriks

$A=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 5\\ 3 & 4 & 7\\ 5 & 5 & 4 \end{pmatrix}$

Pembahasan

$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 4 & 3 & 5\\ 3 & 4 & 7\\ 5 & 5 & 4 \end{vmatrix}$ , maka

$\left | M_{11} \right |=\begin{vmatrix} 4 & 7\\ 5 & 4 \end{vmatrix}=4.4-7.5=16-35=-19$

$\left | M_{12} \right |=\begin{vmatrix} 2 & 7\\ 5 & 4 \end{vmatrix}=2.4-7.5=8-35=-27$

$\left | M_{13} \right |=\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & 5 \end{vmatrix}=3.5-4.5=15-20=-5$

$\left | M_{21} \right |=\begin{vmatrix} 3 & 5\\ 5 & 4 \end{vmatrix}=3.4-5.5=12-25=-13$

$\left | M_{22} \right |=\begin{vmatrix} 4 & 5\\ 5 & 4 \end{vmatrix}=4.4-5.5=16-25=-9$

$\left | M_{23} \right |=\begin{vmatrix} 4 & 3\\ 5 & 5 \end{vmatrix}=4.5-3.5=20-15=5$

$\left | M_{31} \right |=\begin{vmatrix} 3 & 5\\ 4 & 7 \end{vmatrix}=3.7-5.4=21-20=1$

$\left | M_{32} \right |=\begin{vmatrix} 4 & 5\\ 3 & 7 \end{vmatrix}=4.7-3.5=28-15=13$

$\left | M_{33} \right |=\begin{vmatrix} 4 & 3\\ 3 & 4 \end{vmatrix}=4.4-3.3=16-9=7$

2) Kofaktor

Kofaktor 𝐶𝑖𝑗 dari matriks 𝐴 ditentukan dengan rumus

$C_{ij}=\left ( -1 \right )^{i+j}\left | M_{ij} \right |$

Kofaktor-kofaktor dari matriks $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ adalah

$C_{11}=\left ( -1 \right )^{1+1}\left | M_{11} \right |=\left | M_{11} \right |$

$C_{12}=\left ( -1 \right )^{1+2}\left | M_{12} \right |=-\left | M_{12} \right |$

$C_{13}=\left ( -1 \right )^{1+3}\left | M_{13} \right |=\left | M_{13} \right |$

$C_{21}=\left ( -1 \right )^{2+1}\left | M_{21} \right |=-\left | M_{21} \right |$

$C_{22}=\left ( -1 \right )^{2+2}\left | M_{22} \right |=\left | M_{22} \right |$

$C_{23}=\left ( -1 \right )^{2+3}\left | M_{23} \right |=-\left | M_{23} \right |$

$C_{31}=\left ( -1 \right )^{3+1}\left | M_{31} \right |=\left | M_{31} \right |$

$C_{32}=\left ( -1 \right )^{3+2}\left | M_{32} \right |=-\left | M_{32} \right |$

$C_{33}=\left ( -1 \right )^{3+3}\left | M_{33} \right |=\left | M_{33} \right |$

Contoh Soal 2

Dari matriks $A=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 5\\ 3 & 4 & 7\\ 5 & 5 & 4 \end{pmatrix}$ pada contoh soal 1 diatas hitunglah kofaktor-kofaktornya.

Pembahasan

$C_{11}=\left ( -1 \right )^{1+1}\left | M_{11} \right |=\left | M_{11} \right |$

= - 19

$C_{12}=\left ( -1 \right )^{1+2}\left | M_{12} \right |=-\left | M_{12} \right |$

= - (-27) = 27

$C_{13}=\left ( -1 \right )^{1+3}\left | M_{13} \right |=\left | M_{13} \right |$

= -5

$C_{21}=\left ( -1 \right )^{2+1}\left | M_{21} \right |=-\left | M_{21} \right |$

= - (-13)= 13

$C_{22}=\left ( -1 \right )^{2+2}\left | M_{22} \right |=\left | M_{22} \right |$

= -9

$C_{23}=\left ( -1 \right )^{2+3}\left | M_{23} \right |=-\left | M_{23} \right |$

= -5

$C_{31}=\left ( -1 \right )^{3+1}\left | M_{31} \right |=\left | M_{31} \right |$

= 1

$C_{32}=\left ( -1 \right )^{3+2}\left | M_{32} \right |=-\left | M_{32} \right |$

= -13

$C_{33}=\left ( -1 \right )^{3+3}\left | M_{33} \right |=\left | M_{33} \right |$

= 7

Untuk mencari determinan dari matriks ordo 3x3 menggunakan metode kofaktor dengan rumus berikut.

$det\, A=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}$ dengan i sembarang dan kofaktor menurut baris ke-i.

$det\, A=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}$ dengan j sembarang dan kofaktor menurut kolom ke-j.

1) Dengan menggunakan kofaktor menurut baris ke-1 diperoleh :

$det\, A=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}$

$det\, A=a_{11}\left | M_{11} \right |-a_{12}\left | M_{12} \right |+a_{13}\left | M_{13} \right |$

$det\, A=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$

2) Dengan menggunakan kofaktor menurut baris ke-2 diperoleh

$det\, A=a_{21}C_{21}+a_{22}C_{22}+a_{23}C_{23}$

$det\, A=-a_{21}\left | M_{21} \right |+a_{22}\left | M_{22} \right |-a_{23}\left | M_{23} \right |$

$det\, A=-a_{21}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{22}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{23}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$

3) Dengan menggunakan kofaktor menurut baris ke-3 diperoleh

$det\, A=a_{31}C_{31}+a_{32}C_{32}+a_{33}C_{33}$

$det\, A=a_{31}\left | M_{31} \right |-a_{32}\left | M_{32} \right |+a_{33}\left | M_{33} \right |$

$det\, A=a_{31}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix}-a_{32}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}+a_{33}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$

4) Dengan menggunakan kofaktor menurut kolom ke-1 diperoleh

$det\, A=a_{11}C_{11}-a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}$

$det\, A=a_{11}\left | M_{11} \right |-a_{21}\left | M_{21} \right |+a_{31}\left | M_{31} \right |$

$det\, A=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{21}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{31}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix}$

5) Dengan menggunakan kofaktor menurut kolom ke-2 diperoleh

$det\, A=-a_{12}C_{12}+a_{22}C_{22}-a_{32}C_{32}$

$det\, A=-a_{12}\left | M_{12} \right |+a_{22}\left | M_{22} \right |-a_{32}\left | M_{32} \right |$

$det\, A=-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{22}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{32}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}$

6) Dengan menggunakan kofaktor menurut kolom ke-3 diperoleh

$det\, A=a_{13}C_{13}-a_{23}C_{23}+a_{33}C_{33}$

$det\, A=a_{13}\left | M_{13} \right |-a_{23}\left | M_{23} \right |+a_{33}\left | M_{33} \right |$

$det\, A=a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}-a_{23}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}+a_{33}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$

Contoh Soal 3

Dari matriks $A=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 5\\ 3 & 4 & 7\\ 5 & 5 & 4 \end{pmatrix}$ pada contoh soal 1 diatas hitunglah determinannya.

Pembahasan

Misalkan ambil kofaktor berdasarkan baris ke-1

$=4\begin{vmatrix} 4 & 7\\ 5 & 4 \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix} 3 & 7\\ 5 & 4 \end{vmatrix}+5\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & 5 \end{vmatrix}$

$=4(4.4-7.5)-3(3.4-7.5)+5(3.5-4.5)$

$=4(16-35)-3(12-35)+5(15-20)$

$=4(-19)-3(-23)+5(-5)$

$=-76+69-25=-32$

Sebagai tambahan pengetahuan baca juga Pembahasan Soal-Soal Matariks

Sebagai acuan dalam menyelesaikan operasi pada matriks dapat menggunakan aplikasi geogebra. Untuk mempelajarinya dapat dilihat dari link https://www.sambimatika.my.id/2022/10/menggunakan-aplikasi-geogebra-pada.html. Selamat mencoba, tetap semangat dan semoga kesuksesan selalu menyertai kita. Amiin....

Determinan Matriks dengan Metode Kofaktor

1) Minor

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Determinan Matriks dengan Metode Kofaktor

1) Minor

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form