Persamaan Garis Singgung Lingkaran

A. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Pusat O(0,0) berjari-jari r dan Melalui Titik Pada Lingkaran

Perhatikan gambar berikut !

Garis Singgung Lingkaran melalui titik pada lingkaran

Gambar 1 : Garis Singgung Lingkaran Pusat O(0,0) dan melalui titik pada lingkaran

Pada Lingkaran diatas dengan pusat lingkaran O(0,0) dengan titik singgung $https://latex.codecogs.com/svg.image?T(x_{1},y_{1})$ , perhatikan bahwa gradien garis OT adalah :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{OT}=\frac{y_{1}}{x_{1}}$

Karena garis OT tegak lurus dengan garis g maka diperoleh gradien garis g adalah :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{g}=-\frac{1}{m_{OT}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{g}=-\frac{1}{\frac{y_{1}}{x_{1}}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{g}=-\frac{x_{1}}{y_{1}}$

Persamaan garis singgung g yang melalui titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?T(x_{1},y_{1})$ dan bergradien $https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{g}=-\frac{x_{1}}{y_{1}}$ adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y-y_{1}=m_{g}\left ( x-x_{1} \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y-y_{1}=-\frac{x_{1}}{y_{1}}\left ( x-x_{1} \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{1}\left ( y-y_{1} \right )=-x_{1}\left ( x-x_{1} \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{1}y-y_{1}^{2}=-x_{1}x+x_{1}^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$

Karena $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=r^{2}$ , maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O(0,0) berjari-jari r dan melalui titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?T(x_{1},y_{1})$ pada lingkaran adalah
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

Soal dan Pembahasan

Contoh Soal

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O(0,0) dengan jari-jari dan melalui titik-titik berikut

1. r = 5 dan titik (3,4)

2. r = 5 dan titik (-3,4)

3. r = 6 dan titik (-2,4)

4. r = 10 dan titik (-6,8)

Pembahasan

1. Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O(0,0), jari-jari r = 5 dan melalui titik (3,4)

Diketahui persamaan lingkaran adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$

Langkah 1 : Cek letak titik (3,4) terhadap lingkaran

Substitusi x = 3 dan y = 4 ke persamaan lingkaran diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?3^{2}+4^{2}=9+16=25=r^{2}$

jadi titik (3,4) terletak pada lingkaran

Langkah 2 : menentukan persamaan garis singgung lingkaran

diketahui $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}=3$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{1}=4$ sehingga diperoleh persamaan garis singgung lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?3x+4y=5^{2}$

$3x+4y=25$

$4y=-3x+25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}$

Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O(0,0), jari-jari r = 5 dan melalui titik (3,4) pada lingkaran adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}$

2. Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O(0,0), jari-jari r = 5 dan melalui titik (-3,4)

Diketahui persamaan lingkaran adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$

Langkah 1 : Cek letak titik (-3,4) terhadap lingkaran

Substitusi x = -3 dan y = 4 ke persamaan lingkaran diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(-3)^{2}+4^{2}=9+16=25=r^{2}$

jadi titik (-3,4) terletak pada lingkaran

Langkah 2 : menentukan persamaan garis singgung lingkaran

diketahui $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}=-3$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{1}=4$ sehingga diperoleh persamaan garis singgung lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?-3x+4y=5^{2}$

$-3x+4y=25$

$4y=3x+25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}$

Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O(0,0), jari-jari r = 5 dan melalui titik (-3,4) pada lingkaran adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}$

3. Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O(0,0), jari-jari r = 6 dan melalui titik (-2,4)

Diketahui persamaan lingkaran adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=36$

Langkah 1 : Cek letak titik (-2,4) terhadap lingkaran

Substitusi x = -2 dan y = 4 ke persamaan lingkaran diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(-2)^{2}+4^{2}=4+16=20<36$

jadi titik (-2,4) terletak di dalam lingkaran, sehingga tidak ada garis singgung lingkaran melalui titik ini.

4. Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O(0,0), jari-jari r = 10 dan melalui titik (-6,8)

Diketahui persamaan lingkaran adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=100$

Langkah 1 : Cek letak titik (-6,8) terhadap lingkaran

Substitusi x = -6 dan y = 4 ke persamaan lingkaran diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(-6)^{2}+8^{2}=36+64=100=r^{2}$

jadi titik (-6,8) terletak pada lingkaran

Langkah 2 : menentukan persamaan garis singgung lingkaran

diketahui $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}=-6$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{1}=8$ sehingga diperoleh persamaan garis singgung lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?-6x+8y=10^{2}$

$-6x+8y=100$

$8y=6x+100$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\frac{6}{8}x+\frac{100}{8}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\frac{3}{4}x+\frac{25}{2}$

Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O(0,0), jari-jari r = 10 dan melalui titik (-6,8) pada lingkaran adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\frac{3}{4}x+\frac{25}{2}$

B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Pusat P(a,b) berjari-jari r dan Melalui Titik Pada Lingkaran

Perhatikan gambar berikut !

Gambar 2. Garis singgung lingkaran P(a,b) jari-jari r dan melalui titik pada lingkaran

Pada gambar lingkaran diatas dengan pusat P(a,b), berjari-jari r dan melalui titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?T(x_{1},y_{1})$ pada lingkaran, diperoleh gradien garis PT adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{PT}=\frac{y_{1}-b}{x_{1}-b}$

Karena garis g tegak lurus dengan garis PT maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{g}=-\frac{1}{m_{PT}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{g}=-\frac{1}{\frac{y_{1}-b}{x_{1}-a}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{g}=-\frac{x_{1}-a}{y_{1}-b}$

Persamaan garis singgung g yang melalui titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?T(x_{1},y_{1})$ dan bergradien $https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{g}=-\frac{x_{1}-a}{y_{1}-b}$ adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y-y_{1}=m_{g}\left ( x-x_{1} \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y-y_{1}=-\frac{x_{1}-a}{y_{1}-b}\left ( x-x_{1} \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( y-y_{1} \right )\left ( y_{1}-b \right )=-\left ( x_{1}-a \right ) \left ( x-x_{1} \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{1}y-by-y_{1}^{2}+by_{1}=-\left ( x_{1}x-x_{1}^{2}-ax+ax_{1} \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( y_{1}y-by \right )-\left ( y_{1}^{2}-by_{1} \right )=-\left ( x_{1}x-ax \right )+\left ( x_{1}^{2}-ax_{1} \right )$

kita akan melakukan modifikasi bentuk aljabar sehingga bentuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( y_{1}^{2}-by_{1} \right )\, \, \textrm{dan}\, \, \left ( x_{1}^{2}-ax_{1} \right )$ menjadi bentuk kuadrat sempurna

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( y_{1}y-by \right )-\left ( y_{1}^{2}-2by_{1}+b^{2}+by_{1}-b^{2} \right )=-\left ( x_{1}x-ax \right )+\left ( x_{1}^{2}-2ax_{1}+a^{2}+ax_{1}-a^{2} \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( y_{1}y-by \right )-\left ( y_{1}-b\right )^{2}-\left ( by_{1}-b^{2} \right )=-\left ( x_{1}x-ax \right )+\left ( x_{1}-a\right )^{2}+\left ( ax_{1}-a^{2} \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( y_{1}y-by_{1}-by+b^{2} \right )-\left ( y_{1}-b\right )^{2}=\left ( -x_{1}x+ax_{1}+ax-a^{2} \right )+\left ( x_{1}-a\right )^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( y_{1}y-by_{1}-by+b^{2} \right )+\left ( x_{1}x-ax_{1}-ax+a^{2} \right )=\left ( x_{1}-a\right )^{2}+\left ( y_{1}-b\right )^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( y-b\right )y_{1}-\left ( y-b \right )b+\left ( x-a\right )x_{1}-\left ( x-a \right )a=\left ( x_{1}-a \right )^{2}+\left ( y_{1}-b \right )^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( y-b\right )\left ( y_{1}-b \right )+\left ( x-a\right )\left ( x_{1}-a \right )=\left ( x_{1}-a \right )^{2}+\left ( y_{1}-b \right )^{2}$

Karena $https://latex.codecogs.com/svg.image?r^{2}=\left ( x_{1}-a \right )^{2}+\left ( y_{1}-b \right )^{2}$ , maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( x-a\right )\left ( x_{1}-a \right )+\left ( y-b\right )\left ( y_{1}-b \right )=r^{2}$

Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P(a,b) berjari-jari r dan melalui titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?T(x_{1},y_{1})$ pada lingkaran adalah
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( x-a\right )\left ( x_{1}-a \right )+\left ( y-b\right )\left ( y_{1}-b \right )=r^{2}$

Jika persamaan lingkarannya dalam bentuk persamaan umum lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ maka persamaan garis singgung lingkaran melalui titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?T(x_{1},y_{1})$ pada lingkaran adalah sebagai berikut.

Dari persamaan garis singgung yang diperoleh dari langkah diatas yaitu

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( x-a\right )\left ( x_{1}-a \right )+\left ( y-b\right )\left ( y_{1}-b \right )=r^{2}$

Ingat kembali bahwa $https://latex.codecogs.com/svg.image?r^{2}=a^{2}+b^{2}-C$ sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( x-a\right )\left ( x_{1}-a \right )+\left ( y-b\right )\left ( y_{1}-b \right )=a^{2}+b^{2}-C$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x-ax-ax_{1}+a^{2}+y_{1}y-by-by_{1}+b^{2}=a^{2}+b^{2}-C$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y-ax-ax_{1}-by-by_{1}+C=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y-a\left ( x+x_{1} \right )-b\left ( y+y_{1} \right )+C=0$

Ingat bahwa $https://latex.codecogs.com/svg.image?a=-\frac{1}{2}A\, \, \textrm{dan}\, \, b=-\frac{1}{2}B$ , maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y+\frac{1}{2}A\left ( x+x_{1} \right )+\frac{1}{2}B\left ( y+y_{1} \right )+C=0$

Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ dan melalui titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?T(x_{1},y_{1})$ pada lingkaran adalah
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y+\frac{1}{2}A\left ( x+x_{1} \right )+\frac{1}{2}B\left ( y+y_{1} \right )+C=0$

Persamaan lingkaran dan pembahasan soal

Kedudukan titik terhandap lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Bukti Rumus Pesamaan Lingkaran

Soal dan Pembahasan

Contoh Soal

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P(-5,2) dan jari-jari 5 cm di titik (-2,-2)

Pembahasan

Persamaan lingkaran dengan pusat P(-5,2) dan berjari-jari 5 cm adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x+5)^{2}+(y-2)^{2}=5^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x+5)^{2}+(y-2)^{2}=25$

Langkah 1 : Cek kedudukan titik (-2,-2) terhadap lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(-2+5)^{2}+(-2-2)^{2}=3^{2}+(-4)^{2}=9+16=25$

diperoleh titik (-2,-2) terletak pada lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x+5)^{2}+(y-2)^{2}=25$

Langkah 2 : Menentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (-2,2) pada lingkaran

Dari persamaan lingkaran dan titik (-2,-2) diketahui

a = -5, b = 2, $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}=-2$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{1}=-2$

sehingga diperoleh persamaan garis singgung lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( x-a\right )\left ( x_{1}-a \right )+\left ( y-b\right )\left ( y_{1}-b \right )=r^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( x-(-5)\right )\left ( -2-(-5) \right )+\left ( y-2 \right )\left ( -2-2 \right )=5^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( x+5\right )\left ( 3 \right )+\left ( y-2 \right )\left ( -4 \right )=25$

$3x+15-4y+8=25$

$3x-4y=25-15-8$

$3x-4y=2$

Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P(-5,2) dan berjari-jari 5 cm di titik (-2,-2) adalah $3x-4y=2$

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (-2,4) dan jari-jari = 10 cm di titik (6,10)

Pembahasan

Persamaan lingkaran dengan pusat (-2,4) dan berjari-jari 10 cm adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-(-2))^{2}+(y-4)^{2}=10^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x+2)^{2}+(y-4)^{2}=100$

Langkah 1 : Cek kedudukan titik (6,10) terhadap lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(6+2)^{2}+(10-4)^{2}=8^{2}+6^{2}=64+36=100$

diperoleh titik (6,10) terletak pada lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x+2)^{2}+(y-4)^{2}=100$

Langkah 2 : Menentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (6,10) pada lingkaran

dari persamaan lingkaran dan titik (6,10) diketahui :

a = -2, b = 4, $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}=6$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{1}=10$ , maka

persamaan garis singgung lingkaran adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( x-a\right )\left ( x_{1}-a \right )+\left ( y-b\right )\left ( y_{1}-b \right )=r^{2}$

$(x-(-2))(6-(-2))+(y-4)(10-4)=100$

$(x+2)(8)+(y-4)(6)=100$

$8x+16+6y-24=100$

$8x+6y=100-16+24$

$8x+6y=108$

Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (-2,4) dan jari-jari = 10 cm di titik (6,10) adalah $8x+6y=108$

3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-10x+8y+16=0$ di titik (9,-1)

Pembahasan

Langkah 1 : Cek kedudukan titik (9,-1) terhadap lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?9^{2}+(-1)^{2}-10(9)+8(-1)+16=81+1-90-8+16=0$

diperoleh titik (9,-1) terletak pada lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-10x+8y+16=0$

Langkah 2 : Menentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (9,-1)

dari persamamaan lingkaran dan titik (9,-1) diketahui

A = -10, B = 8, C = 16, $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}=9$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{1}=-1$ , maka

persamaan garis singgung lingkaran adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y+\frac{1}{2}A\left ( x+x_{1} \right )+\frac{1}{2}B\left ( y+y_{1} \right )+C=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?9x+(-1)y+\frac{1}{2}(-10)\left ( x+9 \right )+\frac{1}{2}(8)\left ( y-1 \right )+16=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?9x-y-5\left ( x+9 \right )+4\left ( y-1 \right )+16=0$

$9x-y-5x-45+4y-4+16=0$

$9x-5x-y+4y-45-4+16=0$

$4x+3y-33=0$

$4x+3y=33$

Jadi persamaan garis singgung lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-10x+8y+16=0$ di titik (9,-1) adalah $4x+3y=33$

4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-12x+31=0$ di titik (5,2)

Pembahasan

Langkah 1 : Cek kedudukan titik (5,2) pada lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-12x+31=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?5^{2}+2^{2}-12(5)+31=25+4-60+31=0$

diperoleh titik (5,2) terletak pada lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-12x+31=0$

Langkah 2 : Menentukan persamaan garis singgung lingkaran

dari persamaan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-12x+31=0$ dan titik (5,2) diketahui

A = -12, B = 0, C = 31, $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}=5$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{1}=2$ , maka

persamaan garis singgung lingkaran adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y+\frac{1}{2}A\left ( x+x_{1} \right )+\frac{1}{2}B\left ( y+y_{1} \right )+C=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?5x+2y+\frac{1}{2}(-12)\left ( x+5 \right )+\frac{1}{2}(0)\left ( y+2 \right )+31=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?5x+2y+(-6)\left ( x+5 \right )+31=0$

$5x+2y-6x-30+31=0$

$-x+2y+1=0$

$-x+2y=-1$

Jadi persamaan garis singgung lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-12x+31=0$ di titik (5,2) adalah $-x+2y=-1$

C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Pusat P(a,b) berjari-jari r dan Melalui Titik di Luar Lingkaran

Perhatikan gambar berikut !

Gambar 3. Garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran

Cara Menentukan Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik diluar lingkaran

Cara 1 : Cara Menentukan Garis Kutub (Polar)

Langkah-langkah

1. Menentukan persamaan garis polar dalam bentuk variabel x.

Jika pusat lingkaran di (0,0) maka persamaan garis polarnya adalah
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$
Jika pusat lingkaran di titik (a,b) maka persamaan garis polarnya adalah
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( x-a\right )\left ( x_{1}-a \right )+\left ( y-b\right )\left ( y_{1}-b \right )=r^{2}$
persamaan umum garis polar dari persamaan umum lingkaran adalah
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y+\frac{1}{2}A\left ( x+x_{1} \right )+\frac{1}{2}B\left ( y+y_{1} \right )+C=0$

2. Substitusikan persamaan garis polar ke persamaan lingkaran dan akan diperoleh nilai x.

3. Substitusikan nilai x yang diperoleh dari langkah 2 ke persamaan garis polar atau ke persamaan lingkaran. Dari langkah ini akan diperoleh dua buah koordinat titik potong yang merupakan titik singgung lingkaran.

4. Tentukan persamaan garis singgung untuk masing-masing titik singgung menggunakan rumus sesuai dengan keadaan lingkaran.

Cara 2 : Menggunakan persamaan garis singgung y = mx + n

Langkah-langkah

1. Misalkan persamaan garis singgungnya adalah y = mx + n

2. Substitusikan titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?T(x_{1},y_{1})$ persamaan y = mx + n dan tentukan nilai n dalam m.

3. Substitusikan nilai n ke persamaan y = mx + n sehingga memperoleh persamaan garis baru

4. Substitusikan persamaan garis baru yang diperoleh dari langkah 3 ke persamaan lingkaran.

5. Tentukan nilai diskriminan (D) dan syarat menyinggung lingkaran D = 0

6. Substitusikan nilai m yang diperoleh ke persamaan garis baru pada langkah 3. Garis inilah yang merupakan garis singgung lingkaran.

Contoh

Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (7,-1) di luar lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$ !

Penyelesaian

Cara 1. Menentukan garis kutub (Garis Polar)

1. Cek letak titik (7,-1) untuk memastikan titik tersebut di kuar lingkaran. Subtitusikan titik tersebut ke persamaan lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?7^{2}+(-1)^{2}=49+1=50>25$

karena 50 > 25 maka benar titik (7,-1) terletak di luar lingkaran.

2. Menentukan garis polar di titik (7,-1)

Karena lingkaran berpusat di titik (0,0) maka persamaan garis polar yang digunakan adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

Subtitusi titik (7,-1) ke persamaan garis polar diatas

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

7x - y = 25

- y = -7x + 25

y = 7x - 25 ............... (1)

3. Subtitusi persamaan (1) ke persamaan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+\left ( 7x-25 \right )^{2}=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+49x^{2}-350x+625=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?50x^{2}-350x+600=0$ (bagi 50)

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}-7x+12=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( x-4 \right )\left ( x-3 \right )=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( x-4 \right )=0\, \, \vee \, \, \left ( x-3 \right )=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x=4\, \, \vee \, \, x=3$

Menentukan titik singgung lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x=4\Rightarrow y=7x-25$

$y=7.4-25$

$y=28-25$

$y=3$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x=3\Rightarrow y=7x-25$

$y=7.3-25$

$y=21-25$

$y=-4$

Jadi titik singgung lingkaran adalah (4,3) dan (3,-4)

4. Menentukan persamaan garis singgung

Titik (4,3)

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

4x + 3y = 25

Titik (3,-4)

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

3x - 4y = 25

Jadi persamaan garis singgung lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$ di titik (7,-1) adalah 4x + 3y = 25 dan 3x - 4y = 25

Cara 2. Menggunakan rumus persamaan garis singgung

1. Cek letak titik (7,-1) untuk memastikan titik tersebut di kuar lingkaran. Subtitusikan titik tersebut ke persamaan lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?7^{2}+(-1)^{2}=49+1=50>25$

karena 50 > 25 maka benar titik (7,-1) terletak di luar lingkaran.

2. Misal persamaan garis singgung adalah y = mx + n

Substitusi titik (7,-1) ke persamaan garis singgung y = mx + n

$-1=7m+n$

$n=-7m-1$

3. Substitusi nilai n ke persamaan

y = mx + n

y = mx - 7m - 1

y = mx - (7m + 1) ........(2)

Persamaan (2) ini merupakan persamaan baru garis singgung.

4. Substitusikan persamaan (2) ke persamaan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+\left ( mx-(7m+1) \right )^{2}=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+m^{2}x^{2}-2mx(7m+1)+(7m+1)^{2}=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+m^{2}x^{2}-14m^{2}x-2mx+49m^{2}+14m+1=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(1+m^{2})x^{2}-(14m^{2}+2m)x+49m^{2}+14m-24=0$

Dari persamaan diatas diperoleh:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?a=1+m^{2}$ , $https://latex.codecogs.com/svg.image?b=-(14m^{2}+2m)$ , $https://latex.codecogs.com/svg.image?c=49m^{2}+14m-24$

5. Syarat menyinggung linkaran jika diskriminan (D) = 0

D = 0

$https://latex.codecogs.com/svg.image?b^{2}-4ac=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(-(14m^{2}+2m)^{2}-4(1+m^{2})(49m^{2}+14m-24)=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?196m^{4}+56m^{3}+4m^{2}-4(49m^{2}+14m-24+49m^{4}+14m^{3}-24m^{2})=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?196m^{4}+56m^{3}+4m^{2}-4(49m^{4}+14m^{3}+25m^{2}+14m-24)=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?196m^{4}+56m^{3}+4m^{2}-196m^{4}-56m^{3}-100m^{2}-56m+96=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?4m^{2}-100m^{2}-56m+96=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?-96m^{2}-56m+96=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?96m^{2}+56m-96=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?12m^{2}+7m-12=0$

$(4m-3)(3m+4)=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?4m-3=0\, \, \vee\, \, 3m+4=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m=\frac{3}{4}\, \, \vee\, \, m=-\frac{4}{3}$

6. Subtitusi nilai m diatas ke persamaan (2)

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m=\frac{3}{4}\Rightarrow y=mx-(7m+1)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\frac{3}{4}x-(7.\frac{3}{4}+1)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\frac{3}{4}x-(\frac{21}{4}+1)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\frac{3}{4}x-\frac{25}{4}$

$4y=3x-25$

$4y-3x=-25$

$3x-4y=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m=-\frac{4}{3}\Rightarrow y=mx-(7m+1)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=-\frac{4}{3}x-\left ( 7\left ( -\frac{4}{3} \right )+1 \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=-\frac{4}{3}x-\left ( \frac{-28}{3}+1 \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}$

$3y=-4x+25$

$3y+4x=25$

Jadi persamaan garis singgung lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$ di titik (7,-1) adalah 4x + 3y = 25 dan 3x - 4y = 25

Demikian pembahasan tentang persamaan garis singgung lingkaran. Semoga bermanfaat

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

A. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Pusat O(0,0) berjari-jari r dan Melalui Titik Pada Lingkaran

Soal dan Pembahasan

B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Pusat P(a,b) berjari-jari r dan Melalui Titik Pada Lingkaran

Soal dan Pembahasan

C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Pusat P(a,b) berjari-jari r dan Melalui Titik di Luar Lingkaran

Cara Menentukan Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik diluar lingkaran

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

A. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Pusat O(0,0) berjari-jari r dan Melalui Titik Pada Lingkaran

Soal dan Pembahasan

B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Pusat P(a,b) berjari-jari r dan Melalui Titik Pada Lingkaran

Soal dan Pembahasan

C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Pusat P(a,b) berjari-jari r dan Melalui Titik di Luar Lingkaran

Cara Menentukan Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik diluar lingkaran

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form