Persamaan Lingkaran dan Pembahasan Soal

Pembahasan materi lingkaran di jenjang SMA berbeda SMP. Materi lingkaran di SMA/MA disajikan secara analitik, sehingga selain pemahaman sifat-sifat geometris dari lingkaran, pemahaman dan keterampilan dalam operasi bentuk-bentuk aljabar, serta mencari penyelesaian sistim persamaan khususnya yang melibatkan bentuk kuadrat menjadi materi prasyarat utama. Pendekatan anaitik ini berkaitan dengan sistem koordinat.

Persamaan Lingkaran

Perhatikan gambar berikut

Sumber : Draft Unit Pembelajaran PKB dan PKP Mata Pelajaran Matematika Kemdikbud 2019
Digambar menggunakan Aplikasi Geogebra

Pusat lingkaran dengan pusat O(0,0) adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=r^{2}$

Perhatikan gambar berikut

Sumber : Draft Unit Pembelajaran PKB dan PKP Mata Pelajaran Matematika Kemdikbud 2019
Digambar menggunakan Aplikasi Geogebra

Persamaan lingkaran berpusat di titik P(a,b) dan berjari-jari r

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

Jika persamaan diatas dijabarkan maka akan diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}=r^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-r^{2}=0$

Misal A = -2a, B = -2b dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?C=a^{2}+b^{2}-r^{2}$ , maka diperoleh persamaan umum lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

dengan

titik pusat lingkaran = $https://latex.codecogs.com/svg.image?P\left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$

jari-jari = $https://latex.codecogs.com/svg.image?r^{2}=a^{2}+b^{2}-C$ atau $https://latex.codecogs.com/svg.image?r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$

Sebagai pendukung dari bahasan ini perlu untuk memahami kembali jarak dua titik pada bidang koordinat yaitu

Sumber : Draft Unit Pembelajaran PKB dan PKP Mata Pelajaran Matematika Kemdikbud 2019
Digambar menggunakan Aplikasi Geogebra

Jarak titik A dan B dirumuskan dengan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?AB=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$

Contoh dan pembahasan soal

1. Dari persamaan lingkaran dibawah, tentukan titik pusat dan jari-jarinya

a. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=4$

b. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=5$

c. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=8$

d. $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=9$

e. $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=10$

f. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0$

g. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-2x+6y-10=0$

Pembahasan

a. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=4$

Pusat lingkaran = (0,0)

Jari-jari = $https://latex.codecogs.com/svg.image?r^{2}=4\Rightarrow r=\sqrt{4}=2$

b. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=5$

Pusat lingkaran = (0,0)

Jari-jari = $https://latex.codecogs.com/svg.image?r^{2}=5\Rightarrow r=\sqrt{5}$

c. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=8$

Pusat lingkaran = (0,0)

jari-jari = $https://latex.codecogs.com/svg.image?r^{2}=8\Rightarrow r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

d. $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=9$

Rumus persamaan lingkaran bentuk ini adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

sehingga dari soal diatas diperoleh a = 2 dan b = 3

Jadi pusat lingkaran = (2,3)

Jari-jari = $https://latex.codecogs.com/svg.image?r^{2}=9\Rightarrow r=\sqrt{9}=3$

e. $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=10$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=10$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-1)^{2}+(y-(-3))^{2}=10$

sehingga dari soal diatas diperoleh a = 1 dan b = -3

Jadi pusat lingkaran = (1,-3)

Jari-jari = $https://latex.codecogs.com/svg.image?r^{2}=10\Rightarrow r=\sqrt{10}$

f. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0$

Diketehaui : A = 4, B = -6 dan C= 9

Pusat lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?P\left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )=P\left ( -\frac{1}{2}4,-\frac{1}{2}(-6) \right )=P\left ( -2,3 \right )$

Jari-jari

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{\frac{1}{4}4^{2}+\frac{1}{4}(-6)^{2}+9}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{\frac{1}{4}16+\frac{1}{4}36+9}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{4+9+9}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{4+9-9}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{4}$

$=2$

g. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-2x+6y-10=0$

Diketehaui : A = -2, B = 6 dan C= -10

Pusat lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?P\left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )=P\left ( -\frac{1}{2}(-2),-\frac{1}{2} 6\right )=P(1,-3)$

Jari-jari

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r^{2}=a^{2}+b^{2}-C$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r^{2}=1^{2}+(-3)^{2}+10$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r^{2}=1+9+10$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r^{2}=20$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan berjari-jari 3 cm

Pembahasan

Diketahui : Pusat (0,0) dan r = 3 cm

Maka persamaan lingkarannya adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=3^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=9\, \, \blacksquare$

3. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan berjari-jari $https://latex.codecogs.com/svg.image?2\sqrt{5}$ cm

Pembahasan

Diketahui : Pusat (0,0) dan r = $https://latex.codecogs.com/svg.image?2\sqrt{5}$ cm

Maka persamaan lingkarannya adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=\left ( 2\sqrt{5} \right )^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=20\, \, \blacksquare$

4. Tentukan persamaan limgkaran gambar berikut

Pembahasan

Perhatikan bahwa lingkaran menyinggung garis x = 4 di titik B.

Titik B adalah titik potong garis x = 4 dengan sumbu-x, maka koordinat titik B adalah (4,0),

sehingga diperoleh jari-jari lingkaran adalah jarak titik A dan B yaitu r = 4.

Persamaan lingkaran adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=4^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=16\, \, \blacksquare$

5. Tentukan persamaan lingkaran dengan titik pusat (2,3) dan jari-jari 5

Pembahasan

Diketahui : pusat lingkaran (2,3) maka a = 2 dan b = 3

jari-jari lingkaran = r = 5

maka persamaan lingkaran adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=5^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25\, \, \blacksquare$

Jika mau menuliskan persamaan lingkaran diatas dalam bentuk persamaan umum lingkaran maka persamaan lingkaran diatas harus dijabarkan kembali yaitu sebagai berikut

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x^{2}-4x+4)+(y^{2}-6y+9)=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-4x-6y+4+9-25=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=0\, \, \blacksquare$

6. Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik M(4,3) dan melalui titik (1,2) adalah ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-4x-3y+35=0$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-8x-6y+15=0$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-8x-6y+25=0$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-6x-8y+15=0$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+4x+3yy+25=0$

Pembahasan

Jarak titik pusat M(4,3) dan titik (1,2) yang dilalui lingkaran merupakan panjang jari-jari-lingkaran, maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r=\sqrt{(4-1)^{2}+(3-2)^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{(3)^{2}+(1)^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{9+1}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{10}$

Persamaan lingkaran pusat M(4,3) dan berjari-jari $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{10}$ adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}-8x+16+y^{2}-6y+9=10$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-8x-6y+16+9-10=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-8x-6y+15=0\, \, \blacksquare$

Kunci jawaban : B

Kedudukan titik terhadap lingkaran

7. Persamaan lingkaran dengan pusat di titik (2,-3) dan menyinggung garis x = 5 adalah ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-4x+6y+9=0$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-4x+6y+4=0$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-4x-6y+9=0$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0$

Pembahasan

Lingkaran pada soal diatas dapat digambarkan pada koordinat kartesius seperti gambar berikut

Dari gambar diatas diketahui bahwa lingkaran menyinggung garis x = 5, artinya bahwa titik singgung lingkaran misal titik B memeiliki koordinat (5,-3)

Panjang jari-jari lingkaran adalah jarak pusat lingkaran ke titik singgung yaitu jarak titik A ke titik B yaitu

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r=AB=\sqrt{(5-2)^{2}+(-3-(-3))^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{(3)^{2}}=\sqrt{9}=3$

Persamaan lingkaran dengan pusat (2,-3) dan berjari-jari 3 adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-2)^{2}+(y-(-3))^{2}=3^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=9$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}-4x+4+y^{2}+6y+9=9$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-4x+6y+4+9-9=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-4x+6y+4=0\, \, \blacksquare$

Kunci jawaban : C

Demikian pembahasan tentang persamaan lingkaran dan pembahasan soal, dan tentunya halaman ini akan terus kami update untuk menambah pembahasan soal-soal selanjutnya. Selanjutnya akan dibahan kedudukan lingkaran

Persamaan Lingkaran dan Pembahasan Soal