Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Setelah kita membahas persamaan lingkaran pada pembahasan sebelumnya, maka kita akan melanjutkan dengan pembahasan kedudukan titik terhadap lingkaran. Materi ini merukapakan materi wajib mata pelajaran matematika wajib kelas XI IPA SMA/MA, untuk lebih jelasnya silahkan pelajari terus bahasan ini selanjutnya.

KEDUDUKAN TITIK TERHADAP LINGKARAN

Perhatikan gambar berikut

Sumber : Draft Unit Pembelajaran PKB dan PKP Mata Pelajaran Matematika Kemdikbud 2019
Digambar menggunakan Aplikasi Geogebra

Dari gambar diatas, jika titik P adalah pusat lingkaran, titik Q pada lingkaran, titik R di dalam lingkaran dan titik S di luar lingkaran maka berlaku hal-hal berikut ini.

Kedudukan titik R didalam lingkaran berlaku

$https://latex.codecogs.com/svg.image?PR<r\Rightarrow (x_{2}-a)^{2}+(y_{2}-b)^{2}<r^{2}$

Kedudukan titik Q pada lingkaran berlaku

$https://latex.codecogs.com/svg.image?PQ=r\Rightarrow (x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}=r^{2}$

Kedudukan titik S diluar lingkaran beraku

$https://latex.codecogs.com/svg.image?PS>r\Rightarrow (x_{3}-a)^{2}+(y_{3}-b)^{2}>r^{2}$

Jika dituliskan dalam bentuk persamaan umum lingkaran maka

Kedudukan titik R di dalam lingkaran berlaku

$https://latex.codecogs.com/svg.image?PR<r\Rightarrow x^{2}+y^{2}+Ax+By+C<0$

Kedudukan titik Q pada lingkaran berlaku

$https://latex.codecogs.com/svg.image?PQ=r\Rightarrow x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

Kedudukan titik S diluar lingkaran berlaku

$https://latex.codecogs.com/svg.image?PS>r\Rightarrow x^{2}+y^{2}+Ax+By+C>0$

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Jika titik A(-5,k) terletak pada lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+2x-5y-21=0$ , nilai k adalah ....

A. -2 atau -1

B. -1 atau 6

C. -6 atau 1

D. 0 atau 3

E. 2 atau 4

Pembahasan

Ingat bahwa kedudukan titik pada lingkaran berlaku $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ .

Titik A(-5,k) terletak pada lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+2x-5y-21=0$ , maka substitusi x = -5 dan y = k ke persamaan lingkaran yaitu :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(-5)^{2}+k^{2}+2(-5)-5k-21=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?25+k^{2}-10-5k-21=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k^{2}-5k+25-10-21=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k^{2}-5k-6=0$

$(k-6)(k+1)=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=6\, \, \mathrm{atau}\, \, k=-1$

Kunci jawaban : B

2. Titik R(n,1) terletak diluar lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-3x+2y-13=0$ apabila ....

A. n > 2 atau n < -5

B. n > 5 atau n < -2

C. n > 5 atau n < 2

D. -2 < n < 5

E. -5 < n < 2

Pembahasan

Ingat bahwa kedudukan titik diluar lingkaran berlaku $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+Ax+By+C>0$ .

Titik R(n,1) terletak diluar lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-3x+2y-13>0$ , maka subsitusi nilai x = n dan y =1 ke persamaan lingkaran tersebut yaitu :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?n^{2}+1^{2}-3n+2.1-13>0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?n^{2}-3n+1+2-13>0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?n^{2}-3n-10>0$

Pembuat nol fungsi

$https://latex.codecogs.com/svg.image?n^{2}-3n-10=0$

$(n-5)(n+2)=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?n=5\, \, \mathrm{atau}\, \, n=-2$

Masukkan nilai n yang diperoleh diatas ke garis bilangan

Dari garis bilangan diatas diperoleh bahwa nilai n yang memenuhi pertidaksamaan diatas adalah n < -2 atau n > 5.

Kunci jawaban : B

3. Lingkaran L berpusat di (1,3) dan berjari-jari R. agar titik (5,0) teretak diluar lingkaran, maka nilai R adalah ....

A. R > 5

B. R > 4

C. 0 < R < 5

D. 4 < R < 5

E. 3 < R < 5

Pembahasan

Agar titik (5,0) terletak diluar lingkaran L maka jarak antara titik pusat (1,3) dan titik (5,0) lebih dari R, maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{(5-1)^{2}+(0-3)^{2}}>R$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{(4)^{2}+(-3)^{2}}>R$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{16+9}>R$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{25}>R$

$5>R$

$R<5$

Ingat bahwa R tidak mungkin negatif dan nol sehingga batasan nilai R adalah 0 < R < 5

Kunci jawaban : C

Persamaan lingkaran dan pembahasan soal

Kedudukan garis terhadap lingkaran dan pembahasan soal

Bukti rumus persamaan lingkaran

4. Lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-2x+4y-6=0$ memotong sumbu x di titik P dan Q. Panjang PQ adalah....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?7\sqrt{2}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?5\sqrt{2}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?2\sqrt{5}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?2\sqrt{7}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?4\sqrt{7}$

Pembahasan

Gambar lingkaran sesuai soal diatas adalah sebagai berikut

Titik potong terhadap sumbu x jika y = 0, maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-2x+4y-6=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+0^{2}-2x+4.0-6=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}-2x-6=0$

Jarak titik P dan Q sama dengan selisih $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}$ .

Dengan menggunakan rumus ABC diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$

Maka diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}-x_{2}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{-b+\sqrt{D}+b+\sqrt{D}}{2a}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{2\sqrt{D}}{2a}$

Karena jarak $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}$ . tidak mungkin negatif maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}-x_{2}=\left|\frac{\sqrt{D}}{a} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{\sqrt{(-2)^{2}-4.1(-6)}}{1} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\sqrt{4+24} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{28}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=2\sqrt{7}$

Kunci jawaban : D

5. Titik T(x,y) terletak pada lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-6x+8y=0$ , sedangkan R(a,b) titik yang terletak di dalam lingkaran sedemikian sehingga TR = k dengan k konstanta tetap. Nilai dari $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{k}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=....$

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

Pembahasan

R(a,b) titik yang terletak di dalam lingkaran sedemikian sehingga TR = k dengan k konstanta tetap, artinya k adalah jari-jari lingkaran dan R meupakan pusat lingkaran, maka diperoleh

Pusat lingkaran = $https://latex.codecogs.com/svg.image?R\left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$

= $https://latex.codecogs.com/svg.image?R\left ( -\frac{1}{2}(-6),-\frac{1}{2}(8) \right )$

= $https://latex.codecogs.com/svg.image?R\left ( 3,-4 \right )$

Jari-jari lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{\frac{1}{4}(-6)^{2}+\frac{1}{4}(8)^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{k}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{5}{\sqrt{9+16}}=\frac{5}{5}=1$

Kunci jawaban : A

6. Jarak terdekat antara titik (-7,2) ke lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-10x-14y-151=0$ adalah ....

A. 2

B. 3

C. 4

D. 8

E. 13

Pembahasan

1. Cek kedudukan titik (-7,2) terhadap lingkaran

Substitusikan (-7,2) ke persamaan lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-10x-14y-151$ $https://latex.codecogs.com/svg.image?=(-7)^{2}+(2)^{2}-10(7)-14(2)-151$

= 49 + 4 - 70 - 28 - 151

= -56

karena -56 < 0 maka titik (-7,2) terletak di dalam lingkaran

2. Tentukan pusat lingkaran dan jari-jari

Pusat lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?P\left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )=P\left ( -\frac{1}{2}(-10),-\frac{1}{2}(-14) \right )=P(5,7)$

Jari-jari lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r=\sqrt{a^{2}+b^{2}-C}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{5^{2}+7^{2}-(-151)}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{25+49+151}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{225}=15$

3. Hitung jarak terdekat

Perhatikan gambar kedudukan titik (-7,2) terhadap lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-10x-14y-151=0$ berikut.

Dari gambar diatas terlihat bahwa jarak terdekat titik A(-7,2) ke lingkaran adalah jarak titik A ke titik B sehingga diperoleh

AB = PB - AP = r - AP

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=15-\sqrt{(-7-5)^{2}+(2-7)^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=15-\sqrt{(-12)^{2}+(-5)^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=15-\sqrt{144+25}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=15-\sqrt{169}$

$=15-13=2$

Kunci jawaban : A

7. Jarak terjauh titik P(3,2) ke lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=32$ adalah....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{2}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?3\sqrt{5}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?4\sqrt{2}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?5\sqrt{2}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?7\sqrt{2}$

Pembahasan

1. Cek kedudukan titik P(3,2) terhadap lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=(3-2)^{2}+(2-1)^{2}=1+1=2<32$

Karena hasilnya 2 < 32, maka titik (P(3,2) terletak di dalam lingkaran

2. Tentkan pusat dan jari-jari lingkaran

Pusat lingkaran = A(2,1)

Jari-jari lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r^{2}=32\Rightarrow r=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

3. Hitung jarak terjauh

Perhatikan gambar kedudukan titik P(3,2) dan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=32$ berikut

Dari gambar diatas, terlihat bahwa jarak terjauh titik P(3,2) terhadap lingkaran adalah jarak AP ditambah jarak AB.

Jarak terjauh adalah :

AP + AB = AP + r

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{(3-2)^{2}+(2-1)^{2}}+4\sqrt{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{1+1}+4\sqrt{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{2}+4\sqrt{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=5\sqrt{2}$

Kunci jawaban : D

8. Jarak terdekat titik A(7,2) ke lingkaran yang persamaannya $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-10x+4y-151=0$ adalah ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?2\sqrt{5}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?4\sqrt{5}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?6\sqrt{5}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?8\sqrt{5}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?12\sqrt{5}$

Pembahasan

1. Cek kedudukan titik A(7,2) terhadap lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-10x+4y-151=(7^{2})+(2)^{2}-10(7)+4(2)-151$

$=49+4-70+8-151=-160<0$

Karena hasilnya -160 < 0 maka titik A(7,2) terletak di dalam lingkaran

2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran

Pusat Lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?=P\left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=P\left ( -\frac{1}{2}(10),-\frac{1}{2}(4) \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=P\left ( 5,-2 \right )$

Jari-jari lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r=\sqrt{a^{2}+b^{2}-C}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{5^{2}+(-2)^{2}+151}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{25+4+151}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$

3. Menghitung jarak terdekat

Perhatikan gambar kedudukan titik A(7,2) dan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-10x+4y-151=0$ berikut

Dari gambar diatas terlihat bahwa jarak terdekat titik A(7,2) dengan lingkaran adalah jarak titik A dan B sehingga diperoleh

AB = PB - AP = r - AP

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=6\sqrt{5}-\sqrt{(7-5)^{2}+(2-(-2))^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=6\sqrt{5}-\sqrt{(2)^{2}+(4)^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=6\sqrt{5}-\sqrt{4+16}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=6\sqrt{5}-\sqrt{20}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=6\sqrt{5}-2\sqrt{5}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=4\sqrt{5}$

Kunci jawaban : B

9. Jarak terjauh titik (1,2) ke lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-7)^{2}+(y+6)^{2}=36$ adalah .....

A. 16

B. 12

C. 10

D. 8

E. 4

Pembahasan

1. Cek kedudukan titik (1,2) terhadap lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-7)^{2}+(y+6)^{2}=36$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-7)^{2}+(y+6)^{2}=(1-7)^{2}+(2+6)^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=(-6)^{2}+(8)^{2}$

$=36+64=100>36$

Karena mendapatkan hasil 100 > 36 maka titik (1,2) terletak di luar lingkaran

2. Tentukan titik pusat lingkaran

Pusat lingkaran = P(7,-6)

Jari -jari = r = 6

3. Hitung jarak terjauh

Perhatikan gambar kedudukan titik (1,2) terhadap lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-7)^{2}+(y+6)^{2}=36$ berikut.

Dari gambar diatas terlihat bahwa jarak terjauh titik A(1,2) terhadap lingkaran adalah jarak titik A ke titik B, dan dengan menggunakan teorema pythagoras diperoleh :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?AB=\sqrt{AP^{2}-BP^{2}}$