Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Pada postingan sebelum ini sudah dibahas kedudukan titik terhadap lingkaran, dan pada postingan kali ini akan dibahas kelanjutan dari pembahasan sebelumnya yaitu kedudukan garis terhadap lingkaran dan pembahasan soal, dimana kedua pembahasan ini merupakan satu kesatuan yang tidak dapat dipisahkan dan merupakan materi mata pelajaran matematika peminatan kelas XI IPA semester genap. Untuk pembahasannya terus tetap pada halaman ini dan kaji setiap pembahasan soal yang ada karena prinsip pembelajaran matematika bukan menghafal tetapi berusaha memahami konsep yang digunakan dalam penyelesaian masalah yang diberian. Berikut pembahasan kedudukan garis terhadap lingkaran dan pembahasan soal.

Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Sebelum lebih jauh dibahas kedudukan garis terhadap lingkaran, anda harus memahami terlebih dahulu jarak titik terhadap garis.

Perhatikan gambar berikut

Sumber : Draft Unit Pembelajaran PKB dan PKP Mata Pelajaran Matematika Kemdikbud 2019

Dari gambar diatas diberikan garis y = mx + n dan titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?T(x_{1},y_{1})$ .

Perhatikan segitiga ABC.

Karena gradien garis adalah m, maka untuk setiap panjang AC = 1, diperoleh BC = m dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?AB=\sqrt{1+m^{2}}$

Perhatikan segitiga RST dan ABC.

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\angle RST =\angle BCA$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\angle SRT =\angle CBA$ akibatnya segitiga RST sebangun dengan segitiga ABC. Sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{ST}{RT}=\frac{CA}{BA}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?d=RT.\frac{CA}{BA}=\frac{\left|mx_{1}+c-y_{1} \right|}{\sqrt{1+m^{2}}}$

Jadi jarak titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?T(x_{1},y_{1})$ ke garis y = mx + n adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?d=\left|\frac{mx_{1}+n-y_{1}}{\sqrt{1+m^{2}}} \right|$

Untuk persamaan garis dalam bentuk Ax + By + C = 0 rumus diatas menjadi

$https://latex.codecogs.com/svg.image?d=\left|\frac{Ax_{1}+By_{1}+C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \right|$

Selanjutnya akan dibahas kedudukan garis terhadap lingkaran. Perhatikan gambar berikut

Sumber : Draft Unit Pembelajaran PKB dan PKP Mata Pelajaran Matematika Kemdikbud 2019

Dari gambar diatas berlaku

1. Jika d = PA = r , maka garis menyinggung lingkaran

2. Jika d = PB > r, maka garis diluar lingkaran (tidak memotong maupun tidak menyinggung)

3. Jika d = PC < r, maka garis memotong lingkaran

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Selidiki kedudukan garis $https://latex.codecogs.com/svg.image?l_{1}\equiv y=-x+5$ , $https://latex.codecogs.com/svg.image?l_{2}\equiv y=x+8$ , dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?l_{3}\equiv y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}$ terhadap lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$ .

Pembahasan

Lingkaran pusat (0,0) dan jari-jari 5.

a. Jarak garis $https://latex.codecogs.com/svg.image?l_{1}\equiv y=-x+5$ ke lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?d_{1}=\left|\frac{mx_{1}+n-y_{1}}{\sqrt{1+m^{2}}} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{(-1).0+5-0}{\sqrt{1+(-1)^{2}}} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{5}{\sqrt{2}} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{5}{2}\sqrt{2}<5$

Karena $https://latex.codecogs.com/svg.image?d_{1}<r$ maka $https://latex.codecogs.com/svg.image?l_{1}$ berada di dalam lingkaran atau memotong lingkaran

b. Jarak $https://latex.codecogs.com/svg.image?l_{2}\equiv y=x+8$ ke lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?d_{2}=\left|\frac{mx_{1}+n-y_{1}}{\sqrt{1+m^{2}}} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{1.0+8-0}{\sqrt{1+1^{2}}} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{8}{\sqrt{2}} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{8}{2}\sqrt{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=4\sqrt{2}>5$

Karena $https://latex.codecogs.com/svg.image?d_{2}>r$ maka $https://latex.codecogs.com/svg.image?l_{2}$ berada di luar lingkaran

c. Jarak $https://latex.codecogs.com/svg.image?l_{3}\equiv y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}$ ke lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?d_{3}=\left|\frac{mx_{1}+n-y_{1}}{\sqrt{1+m^{2}}} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{(-\frac{4}{3}).0+\frac{25}{3}-0}{\sqrt{1+\left ( -\frac{4}{3} \right )^{2}}} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left|\frac{\frac{25}{3}}{\sqrt{1+\frac{16}{9}}} \right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{\frac{25}{3}}{\frac{5}{3}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{25}{3}.\frac{3}{5}=5$

Karena $https://latex.codecogs.com/svg.image?d_{3}=r$ maka $https://latex.codecogs.com/svg.image?l_{3}$ menyinggung lingkaran.

2. Supaya garis y = kx tidak memotong lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1$ , maka

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?0<k<\frac{4}{3}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?0<k<\frac{3}{4}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?-\frac{3}{4}<k<0$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?-\frac{4}{3}<k<0$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?k<0\, \, \mathrm{atau}\, \, k>\frac{4}{3}$

Pembahasan

Substitusi y = kx ke persamaan lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-2)^{2}+(kx-1)^{2}=1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}-4x+4+k^{2}x^{2}-2kx+1=1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x^{2}+k^{2}x^{2})-(4x+2kx)+4+1-1=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(k^{2}+1)x^{2}-(2k+4)x+4=0$

Agar garis tidak memotong sumbu x, maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D < 0 (untuk lebih jelasnya pelajari kembali fungsi kuadrat disini)

D < 0

$https://latex.codecogs.com/svg.image?b^{2}-4ac<0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(-(2k+4))^{2}-4(k^{2}+1)4<0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?4k^{2}+16k+16-16k^{2}-16<0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?-12k^{2}+16k<0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?12k^{2}-16k>0$

$4k(3k-4)>0$

Pembuat nol fungsi

$4k(3k-4)=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=0\, \, \mathrm{atau}\, \, k=\frac{4}{3}$

Masukkan nilai k diatas ke garis bilangan

Dari garis bilangan diatas nilai k yang memenuhi adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?k<0\, \, \mathrm{atau}\, \, k>\frac{4}{3}$

Kunci jawaban : E

3. Garis x = 2y + 4 memotong lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-6y-16=0$ . Panjang segmen dari garis yang terletak di dalam lingkaran tersebut adalah .....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?4\sqrt{10}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?4\sqrt{5}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{10}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?2\sqrt{5}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{5}$

Pembahasan

Substitusi x = 2y + 4 ke $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-6y-16=0$ , diperoleh :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-6y-16=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(2y+4)^{2}+y^{2}-6y-16=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?4y^{2}+16y+16+y^{2}-6y-16=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?5y^{2}+10y=0$

$5y(y+2)=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=0\, \, \mathrm{atau}\, \, y=-2$

substitusi nilai y diatas ke persamaan x = 2y + 4

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=0\Rightarrow x=2(0)+4=4$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=-2\Rightarrow x=2(-2)+4=-4+4=0$

Koordinat titik potong garis dan lingkaran adalah (4,0) dan (0,-2). Sehingga diperoleh panjang segmen garis atau panjang ruas garis titik (4,0) ke (0,-2) adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{(4-0)^{2}+(0-(-2^{2})}=\sqrt{16+4}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{20}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=2\sqrt{5}$

Kunci jawaban : D

4. Jika garis 2x + y - 4 = 0 memotong lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$ di titik A(p,q) dan B(r,s), nilai p + r = ....

A, -3,2

B. -3,0

C. -1,8

D. 3,0

E. 3,2

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2x+y-4=0\Rightarrow y=-2x+4$

Substitusi y = -2x + 4 ke persamaan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$ , sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+(-2x+4)^{2}=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+4x^{2}-16x+16=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?5x^{2}-16x-9=0$

Titik A(p,q) dan B(r,s) merupakan koordinat titik potong garis y = -2x + 4 dan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$ . Artinya p dan r merupakan akar dari persamaan $https://latex.codecogs.com/svg.image?5x^{2}-16x-9=0$ , sehingga berlaku

$https://latex.codecogs.com/svg.image?p+r=-\frac{b}{a}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=-\frac{-16}{5}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{16}{5}=3,2$

(Baca kembali Jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat)

Kunci jawaban : E

5. Jika r positif dan garis lurus x + y = r menyinggung lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=r$ , maka r = ....

A. 9

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?2\sqrt{2}$

C. 2

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{2}$

E. 1

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x+y=r\Rightarrow y=r-x$

Subtitusi y = r - x ke persamaan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=r$ , sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=r$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+(r-x)^{2}=r$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+r^{2}-2rx+x^{2}=r$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2x^{2}-2rx+r^{2}-r=0$

Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?b^{2}-4ac=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(-2r)^{2}-4.2(r^{2}-r)=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?4r^{2}-8r^{2}+8r=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?-4r^{2}+8r=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?4r^{2}-8r=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r^{2}-2r=0$

$r(r-2)=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r=0\, \, \mathrm{atau}\, \, r=2$

Kunci jawaban : C

6. Garis y = n - x menyinggung lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=(2\sqrt{2})^{2}$ di titik N dalam kuadran I, jika n = ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{16}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{8}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{4}$

D. 4

E. 16

Pembahasan

Subtitusi garis y = n - x ke lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=(2\sqrt{2})^{2}$ , diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+(n-x)^{2}=(2\sqrt{2})^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+n^{2}-2nx+x^{2}=8$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2x^{2}-2nx+n^{2}-8=0$

Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?b^{2}-4ac=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(-2n)^{2}-4.2(n^{2}-8)=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?4n^{2}-8n^{2}+64=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?-4n^{2}+64=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?n^{2}-16=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?n^{2}=16$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?n=\pm \sqrt{16}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?n=\pm 4$

Karena N terletak di kuadran I, maka nilai n = 4

Kunci jawaban : D

7. Agar hanya ada sebuah niilai x dan sebuah nilai y yang memenuhi sistem persamaan :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{\begin{matrix} x+y=p\\x^{2}+y^{2}=q^{2}\end{matrix}\right.$

dengan q positif, maka nilai p adalah....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?p<-q\sqrt{2}\, \, \mathrm{atau}\, \, p>q\sqrt{2}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?p<-2q\, \, \mathrm{atau}\, \, p>2q$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?p=-2q\, \, \mathrm{atau}\, \, p=2q$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?p=-q\sqrt{2}\, \, \mathrm{atau}\, \, p=q\sqrt{2}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?-q\sqrt{2}<p<q\sqrt{2}$

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x+y=p\Rightarrow y=p-x$

Substitusi y = p - x ke persamaan $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=q^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+(p-x)^{2}=q^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+p^{2}-2px+x^{2}=q^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2x^{2}-2px+p^{2}-q^{2}=0$

Hanya ada sebuah nilai x dan sebuah nilai y artinya menyinggung atau determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?b^{2}-4ac=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(-2p)^{2}-4.2(p^{2}-q^{2})=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?4p^{2}-8p^{2}+8q^{2}=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?-4p^{2}+8q^{2}=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?p^{2}-2q^{2}=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?p^{2}-(\qsqrt{2})^{2}=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(p+\qsqrt{2})(p-q\sqrt{2})=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?p=-q\sqrt{2}\, \, \mathrm{atau}\, \, p=q\sqrt{2}$

Kunci jawaban : D

8. Agar ada titik persekutuan antara grafik y = 2x + p dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=1$ , maka nilai p adaah ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?p\leq -5\, \, \mathrm{atau}\, \, p\geq 5$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?p\leq -\sqrt{5}\, \, \mathrm{atau}\, \, p\geq \sqrt{5}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?-\sqrt{5}\leq p\leq \sqrt{5}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?-5\leq p\leq 5$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?p\geq 0$

Pembahasan

Subtitusi garis y = 2x + p ke persamaan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=1$ , sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+(2x+p)^{2}=1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+4x^{2}+4px+p^{2}=1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?5x^{2}+4px+p^{2}=1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?5x^{2}+4px+p^{2}-1=0$

Agar ada titik persekutuan, maka determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?D\geq 0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?b^{2}-4ac\geq 0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(4p)^{2}-4.5(p^{2}-1)\geq 0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?16p^{2}-20p^{2}+20\geq 0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?-4p^{2}+20\geq 0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?-p^{2}+5\geq 0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?-p^{2}\geq -5$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?p^{2}\leq 5$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?p\leq \pm \sqrt{5}$

masukkan nilai p yang diperoleh ke garis bilangan seperti berikut

Terlihat dari garis bilangan diatas nilai p yang memenuhi adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?-\sqrt{5}\leq p\leq \sqrt{5}$

Kunci jawaban : D

9. Diketahui garis x - 2y + 5 = 0 dan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-4x-2y-5 = 0$ . Garis tersebut adalah....

A. Melalui pusat lingkaran

B. Menyinggung lingkaran

C. Berjarak $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{2}$ jari-jari dari pusat lingkaran

D. berjarak $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{2}\sqrt{2}$ jari-jari dari pusat lingkaran

E. Terletak di luar lingkaran

Pembahasan

Dari persamaan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-4x-2y-5 = 0$ diperoleh :

Pusat lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P\left ( -\frac{1}{2}(-4),-\frac{1}{2}(-2) \right )=P(2,1)$

Jari-jari lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r=\sqrt{2^{2}+1^{2}-(-5)}=\sqrt{5+5}=\sqrt{10}$

Jarak pusat lingkaran ke garis x - 2y + 5 = 0 adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?d=\left| \frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left| \frac{1(2)+(-2)(1)+5}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left| \frac{2-2+5}{\sqrt{5}}\right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left| \frac {5}{\sqrt{5}}\right|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\sqrt{5}$

perhatikan bahwa

$https://latex.codecogs.com/svg.image?d=\sqrt{5}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\sqrt{10}=\frac{1}{2}\sqrt{2}r$

Maka garis tersebut berjarak $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{2}\sqrt{2}$ jari-jari dari pusat lingkaran.

Kunci jawaban : D

Persamaan lingkaran dan pembahasan soal

Kedudukan titik terhandap lingkaran

Bukti rumus persamaan lingkaran

10. Lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+2ax=0$ dengan a bilangan real konstan selalu menyinggung ....

A. Sumbu x saja

B. Sumbu y saja

C. Sumbu x dan sumbu y

D. Garis x = a dan y = -a

E. Garis y = 2a dan y = -2a

Pembahasan

Dari persamaan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+2ax=0$ diperoleh

Pusat lingkaran = P(-a, 0)

Jari-jari lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r=\sqrt{a^{2}+b^{2}-C}=\sqrt{(-a)^{2}+0^{2}-0}=\sqrt{a^{2}}=a$

Gambar lingkaran diatas adalah

Dari perhitungan dan gambar diatas terlihat bahwa berapapun nilai a, lingkaran selalu menyingung sumbu y.

Kunci jawaban : B

11. Diketahui persamaan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=25$ . Agar lingkaran ini menyinggung sumbu y maka :

A. p = 25

B. q = 25

C. q = 5 atau q = -5

D. p = 5 atau p = -5

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?p^{2}+q^{2}=25$

Pembahasan

Dari persamaan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=25$ diperoleh

Pusat lingkaran (p,q)

Jari-jari lingkaran = r = 5

Gambar dari lingkaran diatas adalah sebagai berikut

Terlihat dari gambar diatas bahwa agar lingkaran menyinggung sumbu y, maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left|p \right|=r$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?p^{2}=r^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?p^{2}=5^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?p=\pm 5$

jadi nilai p yang memenuhi adalah p = -5 atau p = 5

Kunci jawaban : D

12. Nilai a yang membuat garis ax + y = 0 menyinggung lingkaran yang berpusat di A(-1,3) dan berjari-jari 1 adalah....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{4}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{2}{3}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{3}{4}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{4}{3}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{3}{2}$

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik A(-1,3) dan berjari-jari 1 adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-(-1))^{2}+(y-3)^{2}=1^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=1$

Substitusi persamaan garis $https://latex.codecogs.com/svg.image?ax+y=0\Rightarrow y=-ax$ ke persamaan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x+1)^{2}+(-ax-3)^{2}=1$ sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+2x+1+a^{2}x^{2}+6ax+9=1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(a^{2}+1)x^{2}+(6a+2)x+9=0$

Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?b^{2}-4ac=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(6a+2)^{2}-4.(a^{2}+1).9=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?36a^{2}+24a+4-36a^{2}-36=0$

$24a-32=0$

$24a=32$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?a=\frac{32}{24}=\frac{4}{3}$

Kunci jawaban : D

13. Jika garis x - y + C = 0 menyinggung lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$ , maka C = ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\pm 5\sqrt{2}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\pm 4\sqrt{2}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\pm 3\sqrt{2}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\pm 2\sqrt{2}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\pm \sqrt{2}$

Pembahasan

Substitusi persamaan garis $https://latex.codecogs.com/svg.image?x-y+C=0\Rightarrow y=x+C$ ke persamaan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=25$ diperoleh :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+(x+C)^{2}=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+x^{2}+2Cx+C^{2}=25$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2x^{2}+2Cx+C^{2}-25=0$

Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?b^{2}-4ac=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(2C)^{2}-4.2.(C^{2}-25)=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?4C^{2}-8C^{2}+200=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?-4C^{2}=-200$ $https://latex.codecogs.com/svg.image?C^{2}=50$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?C=\pm \sqrt{50}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?C=\pm 5\sqrt{2}$

Kunci jawaban : A

14. Syarat agar lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+2(Ax+By+C)=0$ menyinggung sumbu x dan sumbu y adalah ....

A. A = B

B. - A = B

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?-A=-B=\sqrt{A^{2}+B^{2}-2C}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?|A|=|B|=\sqrt{2(A^{2}-C)}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?|A|=|B|=\sqrt{A^{2}+2C}$

Pembahasan

Dari persamaan lingkaran diatas diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+2(Ax+By+C)=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+2Ax+2By+2C=0$

dari bentuk terakhir ini diperoleh pusat lingkaran (-A, -B)

Perhatikan gambar lingkaran sesuai dengan persamaan lingkaran diatas

Dari gambar diatas lingkaran dengan pusat (-A,-B) menyinggung sumbu x dan sumbu y.

Perhatikan jarak titik pusat P ke titik R adalah

PR = r = |A|

jarak titik pusat P ke titik Q adalah

PQ = r = |B|

Dari kedua hal diatas diperoleh

r = |A| = |B|

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{(-A)^{2}+(-B)^{2}-(2C)}=|A|=|B|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{A^{2}+B^{2}-2C}=|A|=|B|$

Karena A = B, maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{A^{2}+A^{2}-2C}=|A|=|B|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{2A^{2}-2C}=|A|=|B|$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{2(A^{2}-C)}=|A|=|B|$

Kunci jawaban : D

15. Garis x + y = 2 menyinggung lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-6x-2y+n=0$ untuk n = ....

A. 8

B. 4

C. 0

D. -4

E. -8

Pembahasan

Substitusi garis $https://latex.codecogs.com/svg.image?x+y=2\Rightarrow y=2-x$ ke persamaan lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-6x-2y+n=0$ , diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-6x-2y+n=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+(2-x)^{2}-6x-2(2-x)+n=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+4-4x+x^{2}-6x-4+2x+n=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2x^{2}-8x+n=0$

Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?b^{2}-4ac=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(-8)^{2}-4.2.n=0$

$64-8n=0$

$-8n=-64$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?n=\frac{-64}{-8}=8$

Kunci jawaban : A

16. Lingkaran dengan persamaan $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-2ax+b=0,\, \, a>0$ dan lingkaran berjari-jari 2 akan menyinggung garis x = y, jika a = ....