Pada postingan sebelum ini sudah dibahas kedudukan titik terhadap lingkaran, dan pada postingan kali ini akan dibahas kelanjutan dari pembahasan sebelumnya yaitu kedudukan garis terhadap lingkaran dan pembahasan soal, dimana kedua pembahasan ini merupakan satu kesatuan yang tidak dapat dipisahkan dan merupakan materi mata pelajaran matematika peminatan kelas XI IPA semester genap. Untuk pembahasannya terus tetap pada halaman ini dan kaji setiap pembahasan soal yang ada karena prinsip pembelajaran matematika bukan menghafal tetapi berusaha memahami konsep yang digunakan dalam penyelesaian masalah yang diberian. Berikut pembahasan kedudukan garis terhadap lingkaran dan pembahasan soal.
Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
Sebelum lebih jauh dibahas kedudukan garis terhadap lingkaran, anda harus memahami terlebih dahulu jarak titik terhadap garis.
Perhatikan gambar berikut
Sumber : Draft Unit Pembelajaran PKB dan PKP Mata Pelajaran Matematika Kemdikbud 2019 |
Dari gambar diatas diberikan garis y = mx + n dan titik .
Perhatikan segitiga ABC.
Karena gradien garis adalah m, maka untuk setiap panjang AC = 1, diperoleh BC = m dan
Perhatikan segitiga RST dan ABC.
dan akibatnya segitiga RST sebangun dengan segitiga ABC. Sehingga diperoleh
Jadi jarak titik ke garis y = mx + n adalah
Untuk persamaan garis dalam bentuk Ax + By + C = 0 rumus diatas menjadi
Selanjutnya akan dibahas kedudukan garis terhadap lingkaran. Perhatikan gambar berikut
Sumber : Draft Unit Pembelajaran PKB dan PKP Mata Pelajaran Matematika Kemdikbud 2019 |
Dari gambar diatas berlaku
1. Jika d = PA = r , maka garis menyinggung lingkaran
2. Jika d = PB > r, maka garis diluar lingkaran (tidak memotong maupun tidak menyinggung)
3. Jika d = PC < r, maka garis memotong lingkaran
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Selidiki kedudukan garis , , dan terhadap lingkaran .
Pembahasan
Lingkaran pusat (0,0) dan jari-jari 5.
a. Jarak garis ke lingkaran
Karena maka berada di dalam lingkaran atau memotong lingkaran
b. Jarak ke lingkaran
Karena maka berada di luar lingkaran
c. Jarak ke lingkaran
Karena maka menyinggung lingkaran.
2. Supaya garis y = kx tidak memotong lingkaran , maka
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Substitusi y = kx ke persamaan lingkaran
Agar garis tidak memotong sumbu x, maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D < 0 (untuk lebih jelasnya pelajari kembali fungsi kuadrat disini)
D < 0
Pembuat nol fungsi
Masukkan nilai k diatas ke garis bilangan
Dari garis bilangan diatas nilai k yang memenuhi adalah
Kunci jawaban : E
3. Garis x = 2y + 4 memotong lingkaran . Panjang segmen dari garis yang terletak di dalam lingkaran tersebut adalah .....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Substitusi x = 2y + 4 ke , diperoleh :
substitusi nilai y diatas ke persamaan x = 2y + 4
Koordinat titik potong garis dan lingkaran adalah (4,0) dan (0,-2). Sehingga diperoleh panjang segmen garis atau panjang ruas garis titik (4,0) ke (0,-2) adalah
Kunci jawaban : D
4. Jika garis 2x + y - 4 = 0 memotong lingkaran di titik A(p,q) dan B(r,s), nilai p + r = ....
A, -3,2
B. -3,0
C. -1,8
D. 3,0
E. 3,2
Pembahasan
Substitusi y = -2x + 4 ke persamaan lingkaran , sehingga diperoleh
Titik A(p,q) dan B(r,s) merupakan koordinat titik potong garis y = -2x + 4 dan lingkaran . Artinya p dan r merupakan akar dari persamaan , sehingga berlaku
(Baca kembali Jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat)
Kunci jawaban : E
5. Jika r positif dan garis lurus x + y = r menyinggung lingkaran , maka r = ....
A. 9
B.
C. 2
D.
E. 1
Pembahasan
Subtitusi y = r - x ke persamaan lingkaran , sehingga diperoleh
Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh
Kunci jawaban : C
6. Garis y = n - x menyinggung lingkaran di titik N dalam kuadran I, jika n = ....
A.
B.
C.
D. 4
E. 16
Pembahasan
Subtitusi garis y = n - x ke lingkaran , diperoleh
Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh
Karena N terletak di kuadran I, maka nilai n = 4
Kunci jawaban : D
7. Agar hanya ada sebuah niilai x dan sebuah nilai y yang memenuhi sistem persamaan :
dengan q positif, maka nilai p adalah....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Substitusi y = p - x ke persamaan
Hanya ada sebuah nilai x dan sebuah nilai y artinya menyinggung atau determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh :
Kunci jawaban : D
8. Agar ada titik persekutuan antara grafik y = 2x + p dan , maka nilai p adaah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Subtitusi garis y = 2x + p ke persamaan lingkaran , sehingga diperoleh
Agar ada titik persekutuan, maka determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah
masukkan nilai p yang diperoleh ke garis bilangan seperti berikut
Terlihat dari garis bilangan diatas nilai p yang memenuhi adalahKunci jawaban : D
9. Diketahui garis x - 2y + 5 = 0 dan lingkaran . Garis tersebut adalah....
A. Melalui pusat lingkaran
B. Menyinggung lingkaran
C. Berjarak jari-jari dari pusat lingkaran
D. berjarak jari-jari dari pusat lingkaran
E. Terletak di luar lingkaran
Pembahasan
Dari persamaan lingkaran diperoleh :
Pusat lingkaran
Jari-jari lingkaran
Jarak pusat lingkaran ke garis x - 2y + 5 = 0 adalah
perhatikan bahwa
Maka garis tersebut berjarak jari-jari dari pusat lingkaran.
Kunci jawaban : D
Baca Juga : Pembahasan trigonometri dan pembahasan soal Persamaan lingkaran dan pembahasan soal |
10. Lingkaran dengan a bilangan real konstan selalu menyinggung ....
A. Sumbu x saja
B. Sumbu y saja
C. Sumbu x dan sumbu y
D. Garis x = a dan y = -a
E. Garis y = 2a dan y = -2a
Pembahasan
Dari persamaan lingkaran diperoleh
Pusat lingkaran = P(-a, 0)
Jari-jari lingkaran
Gambar lingkaran diatas adalah
Dari perhitungan dan gambar diatas terlihat bahwa berapapun nilai a, lingkaran selalu menyingung sumbu y.
Kunci jawaban : B
11. Diketahui persamaan lingkaran . Agar lingkaran ini menyinggung sumbu y maka :
A. p = 25
B. q = 25
C. q = 5 atau q = -5
D. p = 5 atau p = -5
E.
Pembahasan
Dari persamaan lingkaran diperoleh
Pusat lingkaran (p,q)
Jari-jari lingkaran = r = 5
Gambar dari lingkaran diatas adalah sebagai berikut
Terlihat dari gambar diatas bahwa agar lingkaran menyinggung sumbu y, maka
jadi nilai p yang memenuhi adalah p = -5 atau p = 5
Kunci jawaban : D
12. Nilai a yang membuat garis ax + y = 0 menyinggung lingkaran yang berpusat di A(-1,3) dan berjari-jari 1 adalah....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik A(-1,3) dan berjari-jari 1 adalah
Substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh
Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh
Kunci jawaban : D
13. Jika garis x - y + C = 0 menyinggung lingkaran , maka C = ....
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran diperoleh :
Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh
Kunci jawaban : A
14. Syarat agar lingkaran menyinggung sumbu x dan sumbu y adalah ....
A. A = B
B. - A = B
C.
D.
E.
Pembahasan
Dari persamaan lingkaran diatas diperoleh
dari bentuk terakhir ini diperoleh pusat lingkaran (-A, -B)
Perhatikan gambar lingkaran sesuai dengan persamaan lingkaran diatas
Dari gambar diatas lingkaran dengan pusat (-A,-B) menyinggung sumbu x dan sumbu y.
Perhatikan jarak titik pusat P ke titik R adalah
PR = r = |A|
jarak titik pusat P ke titik Q adalah
PQ = r = |B|
Dari kedua hal diatas diperoleh
r = |A| = |B|
Karena A = B, maka
Kunci jawaban : D
15. Garis x + y = 2 menyinggung lingkaran untuk n = ....
A. 8
B. 4
C. 0
D. -4
E. -8
Pembahasan
Substitusi garis ke persamaan lingkaran , diperoleh
Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh
Kunci jawaban : A
16. Lingkaran dengan persamaan dan lingkaran berjari-jari 2 akan menyinggung garis x = y, jika a = ....
A. 2
B.
C. 4
D.
E. 8
Pembahasan
Dari persamaan lingkaran diperoleh
Pusat lingkaran (a,0)
jari-jari lingkaran r = 2 sehingga diperoleh
Substitusikan x = y ke persamaan lingkaran , diperoleh
Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh
Karena a > 0 maka nilai a yang memenuhi adalah
Kunci jawaban : B
Demikian pembahasan kedudukan garis terhadap lingkaran dan pembahasan soal-soal semoga bermanfaat.
Post a Comment
Terimakasih untuk anda telah berkomentar di postingan ini