Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Pada postingan sebelum ini sudah dibahas kedudukan titik terhadap lingkaran, dan pada postingan kali ini akan dibahas kelanjutan dari pembahasan sebelumnya yaitu kedudukan garis terhadap lingkaran dan pembahasan soal, dimana kedua pembahasan ini merupakan satu kesatuan yang tidak dapat dipisahkan dan merupakan materi mata pelajaran matematika peminatan kelas XI IPA semester genap. Untuk pembahasannya terus tetap pada halaman ini dan kaji setiap pembahasan soal yang ada karena prinsip pembelajaran matematika bukan menghafal tetapi berusaha memahami konsep yang digunakan dalam penyelesaian masalah yang diberian. Berikut pembahasan kedudukan garis terhadap lingkaran dan pembahasan soal.


Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Sebelum lebih jauh dibahas kedudukan garis terhadap lingkaran, anda harus memahami terlebih dahulu jarak titik terhadap garis.

Perhatikan gambar berikut

jarak titik terhadap garis
Sumber : Draft Unit Pembelajaran PKB dan PKP Mata Pelajaran Matematika Kemdikbud 2019

Dari gambar diatas diberikan garis y = mx + n dan titik .

Perhatikan segitiga ABC.

Karena gradien garis adalah m, maka untuk setiap panjang AC = 1, diperoleh BC = m dan 

Perhatikan segitiga RST dan ABC.

 dan  akibatnya segitiga RST sebangun dengan segitiga ABC. Sehingga diperoleh

Jadi jarak titik  ke garis  y = mx + n adalah

Untuk persamaan garis dalam bentuk Ax + By + C = 0 rumus diatas menjadi


Selanjutnya akan dibahas kedudukan garis terhadap lingkaran. Perhatikan gambar berikut

kedudukan garis terhadap lingkaran
Sumber : Draft Unit Pembelajaran PKB dan PKP Mata Pelajaran Matematika Kemdikbud 2019

Dari gambar diatas berlaku

1. Jika d = PA = r , maka garis menyinggung lingkaran

2. Jika d = PB > r, maka garis diluar lingkaran (tidak memotong maupun tidak menyinggung)

3. Jika d = PC < r, maka garis memotong lingkaran


Contoh Soal dan Pembahasan

1. Selidiki kedudukan garis , , dan  terhadap lingkaran .


Pembahasan

Lingkaran pusat (0,0) dan jari-jari 5.

a. Jarak garis   ke lingkaran 

 

    

    

    

Karena  maka  berada di dalam lingkaran atau memotong lingkaran


b. Jarak   ke lingkaran 

    

    

    

    

Karena  maka  berada di luar lingkaran


c. Jarak  ke lingkaran 

    

    

    

    

    Karena  maka  menyinggung lingkaran.


2. Supaya garis y = kx tidak memotong lingkaran , maka

A. 

B. 

C. 

D. 

E. 


Pembahasan

Substitusi y = kx ke persamaan lingkaran 

 

Agar garis tidak memotong sumbu x, maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D < 0 (untuk lebih jelasnya pelajari kembali fungsi kuadrat disini)

D < 0

Pembuat nol fungsi

Masukkan nilai k diatas ke garis bilangan

garis bilangan

Dari garis bilangan diatas nilai k yang memenuhi adalah 

Kunci jawaban : E


3. Garis x = 2y + 4 memotong lingkaran . Panjang segmen dari garis yang terletak di dalam lingkaran tersebut adalah .....

A. 

B. 

C. 

D. 

E. 


Pembahasan

Substitusi x = 2y + 4 ke , diperoleh :

 

substitusi nilai y diatas ke persamaan x = 2y + 4

Koordinat titik potong garis dan lingkaran adalah (4,0) dan (0,-2). Sehingga diperoleh panjang segmen garis atau panjang ruas garis titik (4,0) ke (0,-2) adalah

                                 

                                 

Kunci jawaban : D


4. Jika garis 2x + y - 4 = 0 memotong lingkaran  di titik A(p,q) dan B(r,s), nilai p + r = ....

A, -3,2

B. -3,0

C. -1,8

D. 3,0

E. 3,2


Pembahasan

Substitusi y = -2x + 4 ke persamaan lingkaran , sehingga diperoleh

Titik A(p,q) dan B(r,s) merupakan koordinat titik potong garis  = -2x + 4 dan lingkaran . Artinya p dan r merupakan akar dari persamaan , sehingga berlaku

        

        

(Baca kembali Jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat)

Kunci jawaban : E



5. Jika r positif dan garis lurus x + y = r menyinggung lingkaran , maka r = ....

A. 9

B. 

C. 2

D. 

E. 1


Pembahasan

Subtitusi y = r - x ke persamaan lingkaran , sehingga diperoleh

Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh

Kunci jawaban : C


6. Garis y = n - x menyinggung lingkaran  di titik N dalam kuadran I, jika n = ....

A. 

B. 

C. 

D. 4

E. 16


Pembahasan

Subtitusi garis y = n - x ke lingkaran , diperoleh

Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh

Karena N terletak di kuadran I, maka nilai n = 4

Kunci jawaban : D


7. Agar hanya ada sebuah niilai x dan sebuah nilai y yang memenuhi sistem persamaan :

 

dengan q positif, maka nilai p adalah....

A. 

B. 

C. 

D. 

E. 


Pembahasan

Substitusi y = p - x ke persamaan 

Hanya ada sebuah nilai x dan sebuah nilai y artinya menyinggung atau determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh :

 

Kunci jawaban : D


8. Agar ada titik persekutuan antara grafik y = 2x + p dan , maka nilai p adaah ....

A. 

B. 

C. 

D. 

E. 


Pembahasan

Subtitusi garis y = 2x + p ke persamaan lingkaran  , sehingga diperoleh

Agar ada titik persekutuan, maka determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah 

masukkan nilai p yang diperoleh ke garis bilangan seperti berikut

garis bilangan

Terlihat dari garis bilangan diatas nilai p yang memenuhi adalah 

Kunci jawaban : D



9. Diketahui garis x - 2y + 5 = 0 dan lingkaran . Garis tersebut adalah....

A. Melalui pusat lingkaran

B. Menyinggung lingkaran

C. Berjarak  jari-jari dari pusat lingkaran

D. berjarak  jari-jari dari pusat lingkaran

E. Terletak di luar lingkaran


Pembahasan

Dari persamaan lingkaran  diperoleh :

Pusat lingkaran

Jari-jari lingkaran

Jarak pusat lingkaran ke garis x - 2y + 5 = 0 adalah

  

  

  

  

perhatikan bahwa

Maka garis tersebut berjarak  jari-jari dari pusat lingkaran.

Kunci jawaban : D


Baca Juga :

Pembahasan trigonometri dan pembahasan soal

Persamaan lingkaran dan pembahasan soal

Kedudukan titik terhandap lingkaran

Bukti rumus persamaan lingkaran


10. Lingkaran  dengan a bilangan real konstan selalu menyinggung ....

A. Sumbu x saja

B. Sumbu y saja

C. Sumbu x dan sumbu y

D. Garis x = a dan y = -a

E. Garis y = 2a dan y = -2a


Pembahasan

Dari persamaan lingkaran  diperoleh

Pusat lingkaran = P(-a, 0)

Jari-jari lingkaran

Gambar lingkaran diatas adalah

kedudukan garis terhadap lingkaran

Dari perhitungan dan gambar diatas terlihat bahwa berapapun nilai a, lingkaran selalu menyingung sumbu y.

Kunci jawaban : B


11. Diketahui persamaan lingkaran . Agar lingkaran ini menyinggung sumbu y maka :

A. p = 25

B. q = 25

C. q = 5 atau q = -5

D. p = 5 atau p = -5

E. 


Pembahasan

Dari persamaan lingkaran  diperoleh

Pusat lingkaran (p,q)

Jari-jari lingkaran = r = 5

Gambar dari lingkaran diatas adalah sebagai berikut

kedudukan garis terhadap lingkaran

Terlihat dari gambar diatas bahwa agar lingkaran menyinggung sumbu y, maka

jadi nilai p yang memenuhi adalah p = -5 atau p = 5

Kunci jawaban : D


12. Nilai a yang membuat garis ax + y = 0 menyinggung lingkaran yang berpusat di A(-1,3) dan berjari-jari 1 adalah....

A. 

B. 

C. 

D. 

E. 


Pembahasan

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik A(-1,3) dan berjari-jari 1 adalah

Substitusi persamaan garis  ke persamaan lingkaran  sehingga diperoleh

Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh

Kunci jawaban : D


13. Jika garis x - y + C = 0 menyinggung lingkaran , maka C = ....

A. 

B. 

C. 

D. 

E. 


Pembahasan

Substitusi persamaan garis  ke persamaan lingkaran  diperoleh :

Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh

 

 

Kunci jawaban : A


14. Syarat agar lingkaran  menyinggung sumbu x dan sumbu y adalah ....

A. A = B

B. - A = B

C. 

D. 

E. 


Pembahasan

Dari persamaan lingkaran diatas diperoleh

dari bentuk terakhir ini diperoleh pusat lingkaran (-A, -B)

Perhatikan gambar lingkaran sesuai dengan persamaan lingkaran diatas

kedudukan garis terhadap lingkaran

Dari gambar diatas lingkaran dengan pusat (-A,-B) menyinggung sumbu x dan sumbu y.

Perhatikan jarak titik pusat P ke titik R adalah

PR = r = |A|

jarak titik pusat P ke titik Q adalah

PQ = r = |B|

Dari kedua hal diatas diperoleh 

r = |A| = |B|

Karena A = B, maka

Kunci jawaban : D


15. Garis x + y = 2 menyinggung lingkaran  untuk n = ....

A. 8

B. 4

C. 0

D. -4

E. -8


Pembahasan

Substitusi garis  ke persamaan lingkaran , diperoleh

Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh

Kunci jawaban : A


16. Lingkaran dengan persamaan  dan lingkaran berjari-jari 2 akan menyinggung garis x = y, jika a = ....

A. 2

B. 

C. 4

D. 

E. 8


Pembahasan

Dari persamaan lingkaran  diperoleh

Pusat lingkaran (a,0)

jari-jari lingkaran r = 2 sehingga diperoleh

Substitusikan x = y ke persamaan lingkaran , diperoleh

Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai determinan dari persamaan kuadrat diatas adalah D = 0, sehingga diperoleh

Karena a > 0 maka nilai a yang memenuhi adalah 

Kunci jawaban : B


Demikian pembahasan kedudukan garis terhadap lingkaran dan pembahasan soal-soal semoga bermanfaat.

Post a Comment

Terimakasih untuk anda telah berkomentar di postingan ini

Previous Post Next Post