Bukti rumus jarak dua buah titik pada bidang
Misal diketahui titik |
Bukti
Perhatikan gambar berikut
Jarak titik A ke sumbu y adalah
Jarak titik A ke sumbu x adalah
Jarak titik B ke sumbu y adalah
Jarak titik B ke sumbu x adalah
Dari garis AB tarik garis AC dan BC sehingga terbentuk segitiga siku-siku ACB sehingga diperoleh
Koordinat titik C adalah
Jarak titik C ke sumbu y adalah
Jarak titik C ke sumbu x adalah
Jarak AC = Jarak titik C ke sumbu y - Jarak titik A ke sumbu y
=
Jarak BC = Jarak titik B ke sumbu x - Jarak titik C ke sumbu x
=
Perhatikan segitiga siku-siku ACB.
Dengan menggunakan teorema pythagoras kita peroleh panjang AB sebagai berikut
Misal jarak titik A ke titik B adalah d, maka diperoleh
Terbukti
Bukti rumus persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r
Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r adalah
|
Bukti
Perhatikan gambar berikut
Proyeksikan titik A ke sumbu x sehingga menghasil titik proyeksi B dengan titik koordinat B(x,0) sehingga terbentuk sebuah segitiga siku-siku-siku OBA.
Panjang ruas garis OB = x
panjang ruas garis AB = y
Perhatikan segitiga OBA
Dengan menggunakan teorema pythagoras diperoleh :
Karena titik A(x,y) merupakan sembarang titik pada lingkaran, maka persamaan diatas berlaku untuk semua titik pada lingkaran sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r adalah
Terbukti
Bukti rumus persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r
Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r adalah
|
Bukti
Perhatikan gambar berikut
Dari gambar diatas diketahui pusat lingkaran = P(a,b) dan diambil sebuah titik sembarang pada lingkaran misal titik A(x,y). Proyeksi titik A(x,y) terhadap garis y = b adalah titik B dengan koodinat (x,b) sehingga diperoleh :
Jarak titik P(a,b) terhadap sumbu-y = b
Jarak titik P(a,b) terhadap sumbu-x = a
Jarak titik A(x,y) terhadap sumbu-x = y
Jarak titik A(x,y) terhadap sumbu-y = x
Jarak titik B terhadap sumbu-y = x
Jarak titik B terhadap sumbu-x = b
Jarak titik A ke titik B = y - b
Jarak titik P ke titik B = x - a
Dengan menggunakan teorema pythagoras diperoleh :
PA = r
Karena titik A(x,y) merupakan sembarang titik pada lingkaran, maka persamaan diatas berlaku untuk semua titik pada lingkaran sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r adalah
Terbukti
Pembuktian ini juga dapat menggunakan konsep jarak dua buah titik pada bidang yaitu
Karena titik A(x,y) merupakan sembarang titik pada lingkaran, maka persamaan diatas berlaku untuk semua titik pada lingkaran sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r adalah
Terbukti
Baca Juga : Pembahasan trigonometri dan pembahasan soal Persamaan lingkaran dan pembahasan soal |
Bukti rumus persamaan umum lingkaran
Persamaan umum lingkaran adalah dengan pusat lingkaran dan jari-jari |
Bukti
jabarkan persamaan lingkaran diatas, dan diperoleh
Misal .
dan
, maka diperoleh
Perhatikan permisalan diatas diperoleh
Substitusi nilai a dan b yang diperoleh ke pusat lingkaran P(a,b) sehingga diperoleh pusat lingkaran
Subtitusi nilai a dan b ke persamaan
Terbukti
Post a Comment
Terimakasih untuk anda telah berkomentar di postingan ini