Bukti Rumus Persamaan Lingkaran

Bukti rumus jarak dua buah titik pada bidang

Misal diketahui titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?A\left ( x_{1},y_{1} \right )$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?B\left ( x_{2},y_{2} \right )$ , maka jarak titik A dan titik B adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?d=\sqrt{\left ( x_{2}-x_{1} \right )^{2}+\left ( y_{2}-y_{1} \right )^{2}}$

Bukti

Perhatikan gambar berikut

Jarak titik A ke sumbu y adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}$

Jarak titik A ke sumbu x adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{1}$

Jarak titik B ke sumbu y adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}$

Jarak titik B ke sumbu x adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{2}$

Dari garis AB tarik garis AC dan BC sehingga terbentuk segitiga siku-siku ACB sehingga diperoleh

Koordinat titik C adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left (x_{2},y_{1}\right )$

Jarak titik C ke sumbu y adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}$

Jarak titik C ke sumbu x adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{1}$

Jarak AC = Jarak titik C ke sumbu y - Jarak titik A ke sumbu y

= $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}-x_{1}$

Jarak BC = Jarak titik B ke sumbu x - Jarak titik C ke sumbu x

= $https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{2}-y_{1}$

Perhatikan segitiga siku-siku ACB.

Dengan menggunakan teorema pythagoras kita peroleh panjang AB sebagai berikut

$https://latex.codecogs.com/svg.image?AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?AB=\sqrt{\left ( x_{2}-x_{1} \right )^{2}+\left ( y_{2}-y_{1} \right )^{2}}$

Misal jarak titik A ke titik B adalah d, maka diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?d=\sqrt{\left ( x_{2}-x_{1} \right )^{2}+\left ( y_{2}-y_{1} \right )^{2}}$

Terbukti $https://latex.codecogs.com/svg.image?\blacksquare$

Bukti rumus persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=r^{2}$

Bukti

Perhatikan gambar berikut

Ambil sembarang titik pada lingkaran, misal titik A(x,y), sehingga panjang ruang garis OA merupakan panjang jari-jari lingkaran r.

Proyeksikan titik A ke sumbu x sehingga menghasil titik proyeksi B dengan titik koordinat B(x,0) sehingga terbentuk sebuah segitiga siku-siku-siku OBA.

Panjang ruas garis OB = x

panjang ruas garis AB = y

Perhatikan segitiga OBA

Dengan menggunakan teorema pythagoras diperoleh :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?OB^{2}+AB^{2}=OA^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=r^{2}$

Karena titik A(x,y) merupakan sembarang titik pada lingkaran, maka persamaan diatas berlaku untuk semua titik pada lingkaran sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}=r^{2}$

Terbukti $https://latex.codecogs.com/svg.image?\blacksquare$

Bukti rumus persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

Bukti

Perhatikan gambar berikut

Dari gambar diatas diketahui pusat lingkaran = P(a,b) dan diambil sebuah titik sembarang pada lingkaran misal titik A(x,y). Proyeksi titik A(x,y) terhadap garis y = b adalah titik B dengan koodinat (x,b) sehingga diperoleh :

Jarak titik P(a,b) terhadap sumbu-y = b

Jarak titik P(a,b) terhadap sumbu-x = a

Jarak titik A(x,y) terhadap sumbu-x = y

Jarak titik A(x,y) terhadap sumbu-y = x

Jarak titik B terhadap sumbu-y = x

Jarak titik B terhadap sumbu-x = b

Jarak titik A ke titik B = y - b

Jarak titik P ke titik B = x - a

Dengan menggunakan teorema pythagoras diperoleh :

PA = r

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{PB^{2}+AB^{2}}=r$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

Terbukti $https://latex.codecogs.com/svg.image?\blacksquare$

Pembuktian ini juga dapat menggunakan konsep jarak dua buah titik pada bidang yaitu

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left|PA \right|=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

Terbukti $https://latex.codecogs.com/svg.image?\blacksquare$

Persamaan lingkaran dan pembahasan soal

Kedudukan titik terhandap lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Bukti rumus persamaan umum lingkaran

Persamaan umum lingkaran adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

dengan pusat lingkaran

$https://latex.codecogs.com/svg.image?P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)$

dan jari-jari

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$

Bukti

Perhatikan persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r yaitu

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

jabarkan persamaan lingkaran diatas, dan diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}=r^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-r^{2}=0$

Misal $A=-2a$ . $B=-2b$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?C=a^{2}+b^{2}-r^{2}$ , maka diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

Perhatikan permisalan diatas diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?A=-2a\Rightarrow a=-\frac{1}{2}A$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?B=-2b\Rightarrow b=-\frac{1}{2}B$

Substitusi nilai a dan b yang diperoleh ke pusat lingkaran P(a,b) sehingga diperoleh pusat lingkaran $https://latex.codecogs.com/svg.image?P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)$

Subtitusi nilai a dan b ke persamaan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?C=a^{2}+b^{2}-r^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?C=\left ( -\frac{1}{2}A \right )^{2}+\left ( -\frac{1}{2}B \right )^{2}-r^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?C=\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-r^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?C-\frac{1}{4}A^{2}-\frac{1}{4}B^{2}=-r^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?-r^{2}=C-\frac{1}{4}A^{2}-\frac{1}{4}B^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r^{2}=-C+\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r^{2}=\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$

Terbukti $https://latex.codecogs.com/svg.image?\blacksquare$

Bukti Rumus Persamaan Lingkaran

Bukti rumus jarak dua buah titik pada bidang

Bukti rumus persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r

Bukti rumus persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r

Bukti rumus persamaan umum lingkaran

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Bukti Rumus Persamaan Lingkaran

Bukti rumus jarak dua buah titik pada bidang

Bukti rumus persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r

Bukti rumus persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r

Bukti rumus persamaan umum lingkaran

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form