Persamaan Trigonometri dan Pembahasan Soal

Sebelum kita mempelajari persamaan trigonometri, sebaiknya kita ingat kembali tentang identitas trigonometri serta relasi antar sudutnya. Seperti yang telah kita ketahui bersama bahwa fungsi trigonometri yang utama adalah sinus, cosinus, dan tangen. Dan adapula fungsi trigonometri lainnya yang merupakan kebalikan dari fungsi trigonometri yang utama, yaitu cosecan, secan, dan cotangen.

IDENTITAS TRIGONONOMETRI

1. Perbandingan Trigonometri

Untuk pembahasan perbandingan trigonometri silahkan baca kembali materinya DISINI

2. Sudut-sudut istimewa fungsi trigonometri seperti pada tabel berikut

3. Relasi fungsi trigonometri di berbagai kuadran dapat dilihat dalam tabel berikut

4. Hubungan antar fungsi trigonometri

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Rumus umum persamaan trigonometri adalah sebagai berikut.

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Himpunan penyelesaian dari persamaan $https://latex.codecogs.com/svg.image?2\sin x=1$ untuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?0^{o}\leq x\leq 180^{o}$ adalah ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{30^{o} \right\}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{45^{o} \right\}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{60^{o} \right\}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{30^{o},150^{o} \right\}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{60^{o},150^{o} \right\}$

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2\sin x=1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2}$

Karena sinus bernilai positif pada kuadran I maka :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \sin x=\sin 30^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}=30^{o}+k.360^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=0\Rightarrow x_{1}=30^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=1\Rightarrow x_{1}=30^{o}+360^{o}=390^{o}\, \, (\mathrm{TM})$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}=(180^{o}-30^{o})+k.360^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}=150^{o}+k.360^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=0\Rightarrow x_{2}=150^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=1\Rightarrow x_{2}=150^{o}+360^{o}=510^{o}\, \, (\mathrm{TM})$

Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri diatas adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?HP=\left\{30^{o},150^{o} \right\}$

Kunci jawaban : D

2. Himpunan penyelesaian persamaan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos 2x++3\cos x-1=0$ pada $https://latex.codecogs.com/svg.image?0^{o}\leq x\leq 360^{o}$ adalah ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{60^{o},120^{o} \right\}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{60^{o},240^{o} \right\}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{60^{o},300^{o} \right\}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{120^{o},240^{o} \right\}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{120^{o},300^{o} \right\}$

Pembahasan

Ingat bahwa $https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos 2x=2\cos^{2}x-1$

sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos 2x++3\cos x-1=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2\cos^{2}x-1+3\cos x-1=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2\cos^{2}x+3\cos x-2=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( 2\cos x-1 \right )\left ( \cos x+2 \right )=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( 2\cos x-1 \right )=0\, \, atau\, \, \left ( \cos x+2 \right )=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos x=\frac{1}{2}\, \, atau\, \, \cos x=-2\, \, (\mathrm{TM})$

ambil $https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos x=\frac{1}{2}$ maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos x=\cos 60^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}=60^{o}+k.360^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=0\Rightarrow x_{1}=60^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=1\Rightarrow x_{1}=60^{o}+360^{o}=420^{o}\, \, (\mathrm{TM})$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}=-60^{o}+k.360^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=0\Rightarrow x_{2}=-60^{o}\, \, (\mathrm{TM})$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=1\Rightarrow x_{2}=-60^{o}+360^{o}=300^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=2\Rightarrow x_{2}=-60^{o}+720^{o}=660^{o}\, \, (\mathrm{TM})$

Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri diatas adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?HP=\left\{60^{o},300^{o} \right\}$

Kunci jawaban : C

3. Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos 2x+\sin x=0$ untuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?0<x<360^{o}$ adalah ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{60^{o},120^{o},150^{o} \right\}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{60^{o},150^{o},300^{o} \right\}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{90^{o},210^{o},300^{o} \right\}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{90^{o},210^{o},330^{o} \right\}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{120^{o},250^{o},330^{o} \right\}$

Pembahasan

Untuk menyelesaiakan masalah ini kita akan menggunakan hubungan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos 2x=1-2\sin^{2}x$ sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos 2x+\sin x=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?1-2\sin^{2}x+\sin x=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?-2\sin^{2}x+\sin x +1=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2\sin^{2}x-\sin x -1=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( 2\sin x+1 \right )\left ( \sin x-1 \right )=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin x=-\frac{1}{2}\, \, \mathrm{atau}\, \, \sin x=1$

Untuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin x=-\frac{1}{2}$

karena sinus bernilai negatif pada kuadrat III, maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin x=\sin (180^{o}+30^{o})$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin x=\sin 210^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}=210^{o}+k.360^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=0\Rightarrow x_{1}=210^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=1\Rightarrow x_{1}=210^{o}+360^{o}=570^{o}\, \, (\mathrm{TM})$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}=(180^{o}-210^{o})+k.360^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}=-30+k.360^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=0\Rightarrow x_{2}=-30\, \, (\mathrm{TM})$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=1\Rightarrow x_{2}=-30+360^{o}=330^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=2\Rightarrow x_{2}=-30+720^{o}=690^{o}\, \, (\mathrm{TM})$

Untuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin x=1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin x=\sin 90^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}=90^{o}+k.360^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=0\Rightarrow x_{1}=90^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=1\Rightarrow x_{1}=90^{o}+360^{o}=450^{o}\, \, (\mathrm{TM})$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}=(180^{o}-90^{o})+k.360^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}=90^{o}+k.360^{o}$

Bentuknya sama dengan bentuk diatas (x1) sehingga kita tidak lanjutkan prosesnya.

jadi himpunan penyelesaian persamaan trigonometri diatas adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?HP=\left\{90^{o},210^{o},330^{o} \right\}$

Kunci jawaban : D

4. Himpunan penyelesaian persamaan $https://latex.codecogs.com/svg.image?4\sin^{2}x-5\sin x-2=2\cos^{2}x$ untuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?0\leq x\leq 2\pi$ adalah ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{\frac{\pi }{6},\frac{5}{6}\pi \right\}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{\frac{\pi }{6},\frac{7}{6}\pi \right\}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{\frac{5}{6}\pi ,\frac{7}{6}\pi \right\}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{\frac{5}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi \right\}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{\frac{7}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi \right\}$

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?4\sin^{2}x-5\sin x-2=2\cos^{2}x$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?4\sin^{2}x-5\sin x-2=2\left ( 1-\sin^{2}x \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?4\sin^{2}x-5\sin x-2=2-2\sin^{2}x$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?6\sin^{2}x-5\sin x-4=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(2\sin x+1)(3\sin x-4)=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin x=-\frac{1}{2}\, \, \mathrm{atau}\, \, \sin x=\frac{4}{3}\, \, (\mathrm{TM})$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin x=-\frac{1}{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin x=\sin \left ( \frac{7}{6}\pi \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}=\frac{7}{6}\pi +k.2\pi$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=0\Rightarrow x_{1}=\frac{7}{6}\pi$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=1\Rightarrow x_{1}=\frac{7}{6}\pi+2\pi =\frac{19}{6}\pi \, \, (\mathrm{TM})$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}=\left ( \pi -\frac{7}{6}\pi \right )+k.2\pi$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}=-\frac{1}{6}\pi+k.2\pi$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=0\Rightarrow x_{2}=-\frac{1}{6}\pi\, \, (\mathrm{TM})$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=1\Rightarrow x_{2}=-\frac{1}{6}\pi+2\pi =\frac{11}{6}\pi$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?k=2\Rightarrow x_{2}=-\frac{1}{6}\pi+4\pi =\frac{23}{6}\pi\, \, (\mathrm{TM})$

Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri diatas adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{\frac{7}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi \right\}$

Kunci jawaban : E

5. Himpunan penyelesaian dari $https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos 2x-5\sin x-3=0$ untuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?0\leq x\leq 360^{o}$ adalah ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{30^{o},150^{o} \right\}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{30^{o},210^{o} \right\}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{30^{o},330^{o} \right\}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{150^{o},210^{o} \right\}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{210^{o},330^{o} \right\}$

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos 2x-5\sin x-3=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?1-2\sin^{2}x-5\sin x-3=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?-2\sin^{2}x-5\sin x-2=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2\sin^{2}x+5\sin x+2=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(2\sin x+1)(\sin x+2)=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin x=-\frac{1}{2}\, \,\mathrm{ atau}\, \, \sin x=-2\, \, (\mathrm{TM})$

Cara lain dalam menyelesaian persamaan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin x=-\frac{1}{2}$ diatas adalah dengan memperhatikan grafik fungsi y = sin x.

sin x bernilai $https://latex.codecogs.com/svg.image?-\frac{1}{2}$ pada kuadrah III dan IV maka nilai x yang mungkin adalah

Kuadran III = $https://latex.codecogs.com/svg.image?(180^{o}+30^{o})=210^{o}$

Kuadran IV = $https://latex.codecogs.com/svg.image?(360^{o}-30^{o})=330^{o}$

Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri diatas adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{210^{o},330^{o} \right\}$

Kunci jawaban : E

6. Himpunan penyelesaian dari $https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos 2x-3\sin x-2=0$ untuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?0\leq x\leq 360^{o}$ adalah ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{30^{o},150^{o},270^{o}\right\}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{30^{o},90^{o},210^{o}\right\}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{30^{o},270^{o},330^{o}\right\}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{90^{o},150^{o},210^{o}\right\}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{210^{o},270^{o},330^{o}\right\}$

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos 2x-3\sin x-2=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?1-2\sin^{x}-3\sin x-2=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?-2\sin^{x}-3\sin x-1=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2\sin^{x}+3\sin x+1=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(2\sin x+1)(\sin x+1)=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin x=-\frac{1}{2}\, \, atau\, \, \sin x=-1$

Untuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin x=-\frac{1}{2}$

Kuadran III = Kuadran III = $https://latex.codecogs.com/svg.image?(180^{o}+30^{o})=210^{o}$

Kuadran IV = $https://latex.codecogs.com/svg.image?(360^{o}-30^{o})=330^{o}$

Untuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin x=-1$ , nilai x yang memenuhi adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?270^{o}$

Jadi himpunan penyelesaian persamaan trigonometri diatas adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{210^{o},270^{o},330^{o}\right\}$

Kunci jawaban : E

Menurut hemat penulis kiranya bisa mencoba cara menentukan nilai sinus, cosinus, tan dan lainnya tanpa menggunakan kalkulator atau tabel. Selengkapnya dapat dibaca melalui link https://www.sambimatika.my.id/2022/10/cara-menentukan-nilai-sin-cos-tan-tanpa.html

Selamat mencoba, tetap semangat dan semoga kesuksesan selalu menyertai kita semua. Amiin.

Demikian pembahasan persamaan trigonometri dan pembahasan soal, semoga bermanfaat.

Persamaan Trigonometri dan Pembahasan Soal

IDENTITAS TRIGONONOMETRI

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Contoh Soal dan Pembahasan

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Persamaan Trigonometri dan Pembahasan Soal

IDENTITAS TRIGONONOMETRI

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Contoh Soal dan Pembahasan

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form