Aplikasi Integral Untuk Menghitung Luas Daerah Bidang Datar

Pada bahasan kali ini akan dibahas aplikasi integral yaitu cara menghitung luas bidang datar yang mencakup : 1) Luas daerah diatas sumbu x, 2) Luas daerah di bawah sumbu x, dan 3) Luas daerah diantara dua kurva. Untuk lebih jelasnnya perhatikan bahasan berikut ini

A. LUAS DAERAH DIATAS SUMBU X

Perhatikan gambar berikut

Andaikan y = f(x) menentukan persamaan sebuah kurva dibidang xy dan andaikan f kontinu dan tidak negatif pada selang $a\leq x\leq b$ . Luas daerah yang diarsir atau luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x = b dan y = 0 dirumuskan dengan

$L=\int_{a}^{b}f(x)dx$

Contoh Soal dan Pembahasan

Hitunglah luas daerah kurva berikut

1. $y=2x^{3}-x^{2}+2$ , x = 2, sumbu x dan sumbu y

Pembahasan

Gambar kurva dari fungsi diatas adalah

Luas daerah yang diarsir adalah

$L=\int_{0}^{2}2x^{3}-x^{2}+2\, dx$

$=\left [ \frac{2}{4}x^{4}-\frac{1}{3}x^{3}+2x \right ]_{0}^{2}$

$=\left [ \frac{1}{2}x^{4}-\frac{1}{3}x^{3}+2x \right ]_{0}^{2}$

$=\left [ \frac{1}{2}2^{4}-\frac{1}{3}2^{3}+2.2 \right ]-0$

$=\frac{16}{2}-\frac{8}{3}+4$

$=\frac{48-16+24}{6}$

$=\frac{56}{6}=9\frac{1}{3}$ Satuan Luas

2. $y=\sqrt{9-x^{2}}$ dan sumbu x

Pembahasan

Gambar kuva dari fungsi diatas adalah

Luas daerah yang diarsir adalah

$L=\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^{2}}dx$

Untuk menyelesaikan bentuk diatas dengan cepat gunakan rumus berikut

$\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{1}{2}a^{2}\sin^{-1}\left ( \frac{x}{a} \right )+\frac{1}{2}x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C$

maka :

$L=\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^{2}}dx$

$=\left [ \frac{9}{2}\sin^{-1}\left ( \frac{1}{3}x \right )+\frac{1}{2}\left ( x\sqrt{9-x^{2}}\right ) \right ]_{-3}^{3}$

$=\left ( \frac{9}{2}\sin^{-1}\left ( \frac{1}{3}3 \right )+\frac{1}{2}\left ( 3\sqrt{9-3^{2}}\right ) \right )-\left ( \frac{9}{2}\sin^{-1}\left ( \frac{1}{3}(-3) \right )+\frac{1}{2}\left ( 3\sqrt{9-(-3)^{2}}\right ) \right )$

$=\left ( \frac{9}{2}\sin^{-1}\left ( \frac{1}{3}3 \right ) \right )-\left ( \frac{9}{2}\sin^{-1}\left ( \frac{1}{3}(-3) \right ) \right )$

$=\left ( \frac{9}{2}\sin^{-1}\left ( 1 \right ) \right )-\left ( \frac{9}{2}\sin^{-1}\left ( 1 \right ) \right )$

$=\left ( \frac{9}{2}\frac{1}{2}\pi \right )-\left ( -\frac{9}{2}\frac{1}{2}\pi \right )$

$=\frac{9}{4}\pi+\frac{9}{4}\pi$

$=\frac{18}{4}\pi=\frac{9}{2}\pi$ Satuan luas

Coba perhatikan gambar dan hasil perhitungan diatas, luas tersebut merupakan luas dari setengah lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari 3.

B. LUAS DAERAH DIBAWAH SUMBU X

Perhatikan gambar berikut

Andaikan y = f(x) menentukan persamaan sebuah kurva dibidang xy dan andaikan f kontinu dan negatif pada selang $a\leq x\leq b$ . Karena luas daerah selalu bernilai positif maka Luas daerah yang diarsir atau luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x = b dan y = 0 dirumuskan dengan

$L=-\int_{a}^{b}f(x)dx$

Dan jika digambarkan kurvanya akan menjadi seperti ini

Aplikasi Integral Untuk Menghitung Luas Daerah Bidang Datar

Contoh Soal dan Pembahasan

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva berikut

1. $y=-x^{2}$ , sumbu y, sumbu x dan x = 2

Pembahasan

Gambar kurva dari fungsi adalah

Luas daerah yang diarsir adalah

$L=-\int_{0}^{2}\left ( -x^{2} \right )dx$

$=\int_{0}^{2}x^{2}dx$

$=\left [ \frac{1}{3}x^{3} \right ]_{0}^{2}$

$=\left ( \frac{1}3{2^{3}} \right )-0$

$=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$ Satua luas

2. $y=x^{3}-3x^{2}-x+3$ , sumbu x diantara x = -1 dan x = 2

Pembahasan

Gambar kurva dari fungsi diatas adalah

Luas daerah yang ditanyakan terdiri dari dua bagian yaitu L1 = luas daerah yang diarsir diatas sumbu x antara x = -1 dan x = 1 dan L2 = luas daerah yang diarsir dibawah sumbu x antara x = 1 dan x = 2, maka

$L=L_{1}+L_{2}$

$L=\int_{-1}^{1}\left ( x^{3}-3x^{2}-x+3 \right )dx-\int_{1}^{2}\left ( x^{3}-3x^{2}-x+3 \right )dx$

$=\left [ \frac{1}{4}x^{4}-x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+3x \right ]_{-1}^{1}-\left [ \frac{1}{4}x^{4}-x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+3x \right ]_{1}^{2}$

$=\left [ \left ( 2-(-2) \right ) \right ]-\left [ 0-\frac{7}{4} \right ]$

$=4+\frac{7}{4}=\frac{23}{4}$ Satuan luas

C. LUAS DAERAH DIANTARA DUA KURVA

Perhatikan gambar berikut

Luas daerah yang diarsir adalah

$L=\int_{a}^{b}\left ( f(x)-g(x) \right )dx$

Contoh Soal dan Pembahasan

Hitunglah luas daerah diantara kurva berikut

1. $y=x^{2}+2$ , $y=-x$ , diantara x = -2 dan x = 2

Pembahasan

Gambar kurva dari fungsi diatas adalah

Dari gambar diatas luas daerah yang diarsir adalah

$L=\int_{-2}^{2}\left ( x^{2}+2 \right )-\left ( -x \right )dx$

$=\int_{-2}^{2}x^{2}+x+2dx$

$=\left [ \frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+2x \right ]_{-2}^{2}$

$=\left ( \frac{8}{3}+\frac{4}{2}+4 \right )-\left ( -\frac{8}{3}+\frac{4}{2}-4 \right )$

$=\frac{16}{3}+8=\frac{40}{3}$ satuan luas

Kumpulan rumus lengkap integral

Integral substitusi dengan bentuk trigonometrik

Integral parsial dan pembahasan soal

Integral substitusi dan pembahasan soal

Rumus dasar integral tak tentu fungsi aljabar dan pembahasan soal

2. $y=2-x^{2}$ dan $y=x$

Pembahasan

Gambar kurva dari fungsi diatas adalah

Langkah pertama : Mencari titik potong kedua grafik yang akan menjadi batasan nilai x yaitu

$y_{1}=y_{2}$

$2-x^{2}=x$

$x^{2}+x-2=0$

$\left ( x+2 \right )\left ( x-1 \right )=0$

x = -2 atau x = 1

Langkah kedua : Menghitung luas antar kurva

Luas daerah yang diarsir adalah

$L=\int_{-2}^{1}\left ( 2-x^{2} \right )-\left ( -x \right )dx$

$=\int_{-2}^{1}2-x^{2}+xdx$

$=\left [ 2x-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2} \right ]_{-2}^{1}$

$=\left ( 2-\frac{1}{3}-\frac{1}{2} \right )-\left ( -4+\frac{8}{3}-2 \right )$

$=\left ( 2-\frac{5}{6}\right )-\left ( -6+\frac{8}{3}\right )$

$=8-\frac{5}{6}-\frac{8}{3}$

$=8-\frac{21}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$ satuan luas

3. $y=x+4$ dan $y=x^{2}-2$

Pembahasan

Gambar kurva dari fungsi diatas adalah

Langkah pertama : Menentukan titik potong kedua kurva

$y_{1}=y_{2}$

$x+4=x^{2}-2$

$x^{2}-x-6=0$

$\left ( x-3 \right )\left ( x+2 \right )=0$

x = 3 atau x = -2

Langkah kedua : menghitung luas daerah antara dua kurva

$L=\int_{-2}^{3}\left ( x+4 \right )-\left ( x^{2}-2 \right )dx$

$=\int_{-2}^{3}\left ( x-x^{2}+6\right)dx$

$=\left [ \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}+6x \right ]_{-2}^{3}$

$=\left ( \frac{9}{2}-9+18 \right )-\left ( 2+\frac{8}{3}-12 \right )$

$=\frac{11}{6}+19=\frac{125}{6}$ satuan luas

4. $y=x-1$ dan $x=3-y^{2}$

Pembahasan

Gambar kurva dari fungsi diatas adalah

Dari bentuk kurva diatas kurang tepat mengurangkan kedua fungsi dengan partisi vertikal, akan lebih tepat mengurangkan kedua fungsi dalam partisi horizontal sehingga kita akan mengubah bentuk fungsinya ke variabel y yaitu

$x=y+1$ dan $x=3-y^{2}$

Langkah pertama : mencari titik potong kurva dalam y

$y+1=3-y^{2}$

$y^{2}+y-2=0$

$\left ( y+2 \right )\left ( y-1 \right )=0$

y = -2 atau y = 1

Langkah kedua : menghitung luas daerah yang diarsir

$L=\int_{-2}^{1}\left ( 3-y^{2} \right )-\left ( y+1 \right )dy$

$=\int_{-2}^{1}\left ( -y^{2}-y+2 \right )dy$

$=\left [ -\frac{1}{3}y^{3}-\frac{1}{2}y^{2}+2y \right ]_{-2}^{1}$

$=\left ( -\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2 \right )-\left ( \frac{8}{3}-2-4 \right )$

$=\left ( -\frac{5}{6}+2 \right )-\left ( \frac{8}{3}-6 \right )$

$=-\frac{5}{6}-\frac{8}{3}+2+6$

$=-\frac{21}{6}+8=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$ satuan luas

5. $y=\sqrt{x}$ dan $y=-x+6$

Pembahasan

Gambar kurva dari fungsi diatas adalah

Langkah pertama : Seperti pada soal no. 4 akan dicari titik potong kedua kurva dalam variabel y

$y^{2}=-y+6$

$y^{2}+y-6=0$

$\left ( y+3 \right )\left ( y-2 \right )=0$

y = -3 atau y = 2

Perhatikan bahwa titik potong y = -3 tidak memenuhi karena kurva $y=\sqrt{x}$ tidak akan pernah bernilai negatif. Maka batas nilai y untuk penghitungan luas daerah yang ditanyakan adalah y = 0 dan y = 2 seperti terlihat pada gambar kurva diatas.

Langkah kedua : Menghitung luas daerah yang diarsir

$L=\int_{0}^{2}\left ( -y+6 \right )-\left ( y^{2} \right )dy$

$=\int_{0}^{2}\left (-y^{2}-y+6 \right )dy$

$=\left [ -\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}y^{2}+6y \right ]_{0}^{2}$

$=\left ( -\frac{8}{3}-2+12 \right )-0$

$=\frac{22}{3}$ satuan luas

Demikian pembahasan integral untuk menghitung luas daerah bidang datar, semoga bermanfaat. Amiin.

Aplikasi Integral Untuk Menghitung Luas Daerah Bidang Datar

A. LUAS DAERAH DIATAS SUMBU X

Contoh Soal dan Pembahasan

B. LUAS DAERAH DIBAWAH SUMBU X

Contoh Soal dan Pembahasan

C. LUAS DAERAH DIANTARA DUA KURVA

Contoh Soal dan Pembahasan

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Aplikasi Integral Untuk Menghitung Luas Daerah Bidang Datar

A. LUAS DAERAH DIATAS SUMBU X

Contoh Soal dan Pembahasan

B. LUAS DAERAH DIBAWAH SUMBU X

Contoh Soal dan Pembahasan

C. LUAS DAERAH DIANTARA DUA KURVA

Contoh Soal dan Pembahasan

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form