Integral Parsial dan Pembahasan Soal

INTEGRAL PARSIAL

Jika pengintegralan menggunakan cara substitusi gagal, dimungkinkan menggunakan substitusi ganda, yang lebih dikenal dengan Pengintegralan parsial. Rumus ini didasarkan dari pengintegralan rumus untuk turunan hasil kali dua fungsi.

Misal y = u.v dengan u = u(x) dan v = v(x), maka

y' = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)

dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan tersebut diperoleh

$y=\int u(x)v'(x)dx+\int v(x)u'(x)dx$

$u(x)v(x)=\int u(x)v'(x)dx+\int v(x)u'(x)dx$

dengan melakukan penyusunan ulang diperoleh

$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$

karena dv = v'(x) dx dan du = u'(x) dx, maka persamaan diatas biasa ditulis dengan rumusan sebagai berikut.

PENGINTEGRALAN PARSIAL - INTEGRAL TAK TENTU

$\int u\, dv=uv-\int v\, du$

PENGINTEGRALAN PARSIAL -INTEGRAL TENTU

$\int_{a}^{b} u\, dv=\left [ uv \right ]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} v\, du$

Aturan penggunaan rumus integral parsial ada sebagai berikut.

Bagian yang dipilih sebagai dv harus segera dapat diintegralkan.
$\int v\, du$ tidak boleh lebih sulit dari $\int u\, dv$
Terkadang kita perlu menerapkan pengintegralan parsial berulang kali

Contoh Soal dan Pembahasan

Dengan cara integral parsial tentukan hasil dari :

1. $\int x\sqrt{1+x}\, dx$

Pembahasan

Misal u = x sehingga du = dx

$dv=\sqrt{1+x}\, dx$ sehingga

$v=\int \sqrt{1+x}\, dx$

$=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}\left ( 1+x \right )^{\frac{1}{2}+1}+C$

$=\frac{1}{\frac{3}{2}}\left ( 1+x \right )^{\frac{3}{2}}+C$

$=\frac{2}{3}\left ( 1+x \right )^{\frac{3}{2}}+C$

Maka

$\int u\, dv=uv-\int v\, du$

$\int x\sqrt{1+x}\, dx=x.\frac{2}{3}\left ( 1+x \right )^{\frac{3}{2}}-\int \frac{2}{3}\left ( 1+x \right )^{\frac{3}{2}}dx$

$=\frac{2}{3}x\left ( 1+x \right )^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\frac{2}{5}\left ( 1+x \right )^{\frac{5}{2}}+C$

$=\frac{2}{3}x\left ( 1+x \right )^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{15}\left ( 1+x \right )^{\frac{5}{2}}+C$

2. $\int x\cos x\, dx$

Pembahasan

Misal u = x sehingga du = dx

$dv=\cos x\, dx\to v=\sin x$

Maka

$\int u\, dv=uv-\int v\, du$

$\int x\cos x\, dx=x\sin x-\int \sin x\, dx$

$=x\sin x-\left ( -\cos x \right )+C$

$=x\sin x+\cos x+C$

3. $\int x\sin xdx$

Pembahasan

Misal u = x sehingga du = dx

$dv=\sin x\, dx \to v=-\cos x$

Maka

$\int u\, dv=uv-\int v\, du$

$\int x\sin x\, dx=x\left ( -\cos x \right )-\int \left ( -\cos x \right )dx$

$=-x\cos x+\int \cos x\, dx$

$=-x\cos x+\sin x+C$

4. $\int x\sin 2x\, dx$

Pembahasan

Misal u = x sehingga du = dx

$dv=\sin 2x\, dx\to v=-\frac{1}{2}\cos 2x$

Maka

$\int u\, dv=uv-\int v\, du$

$\int x\sin 2x\, dx=x\left (-\frac{1}{2}\cos 2x \right )-\int \left ( -\frac{1}{2}\cos 2x \right )dx$

$=-\frac{1}{2}x\cos 2x+\frac{1}{2}\int \cos 2xdx$

$=-\frac{1}{2}x\cos 2x+\frac{1}{2}\frac{1}{2}\sin 2x+C$

$=-\frac{1}{2}x\cos 2x+\frac{1}{4}\sin 2x+C$

5. $\int x e^{x}dx$

Pembahasan

Misal u = x sehingga du = dx

$dv=e^{x}dx\to v=e^{x}$

Maka

$\int u\, dv=uv-\int v\, du$

$\int x e^{x}dx=x.e^{x}-\int e^{x}dx$

$=x.e^{x}-e^{x}+C$

$=e^{x}\left ( x-1 \right )+C$

6. $\int (t-1)\cos \left ( t-1 \right ) dt$

Pembahasan

Misal u = t - 1 sehingga du = dt

$dv=\cos \left ( t-1 \right ) dt\to v=\sin \left ( t-1 \right )$

Maka

$\int u\, dv=uv-\int v\, du$

$\int (t-1)\cos \left ( t-1 \right ) dt=\left ( t-1 \right )\sin \left ( t-1 \right )-\int \sin \left ( t-1 \right )dt$

$=\left ( t-1 \right )\sin \left ( t-1 \right )-\left ( -\cos\left ( t-1 \right ) \right )+C$

$=\left ( t-1 \right )\sin \left ( t-1 \right )+\cos\left ( t-1 \right )+C$

7. $\int x^{2} \cos x\, dx$

Pembahasan

Misal $u=x^{2}\to du=2x\, dx$

$dv=\cos x\, dx \to v=\sin x$

Maka

$\int u\, dv=uv-\int v\, du$

$\int x^{2} \cos x\, dx=x^{2}\sin x-\int 2x\sin x\, dx$

$=x^{2}\sin x-2\int x\sin x\, dx$

dari langkah ini kita terapkan pengintegralan parsial sekali lagi

Misal u = x sehingga du = dx

$dv=\sin x\, dx \to v=-\cos x$

Maka

$=x^{2}\sin x-2\left ( x\left ( -\cos x \right )-\int -\cos x\, dx \right )$

$=x^{2}\sin x+2x\cos x-2\int \cos x\, dx$

$=x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x+C$

$=\left ( x^{2} -2\right )\sin x+2x\cos x+C$

Demikian pembahasan integral parsial dan pembahasan soal, semoga bermanfaat. Amiin.

Integral Parsial dan Pembahasan Soal