Integral Substitusi Dengan Bentuk Trigonometrik

Bentuk-bentuk yang memerlukan permisalan trigonomteriks dan permisalan yang sesuai diantaranya adalah sebagai berikut

Contoh Soal dan Pembahasan

Hitunglah nilai integral berikut

1. $\int \sqrt{1+x^{2}}dx$

Pembahasan

Misal

$x=\tan \theta \to dx=\sec^{2}\theta d\theta$

Perhatikan gambar berikut

dari gambar diatas diperoleh

$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$

$\sqrt{1+x^{2}}=\frac{1}{\cos \theta }$

$\sqrt{1+x^{2}}=\sec \theta$

Substitusi permisalan ke integral diatas

$\int \sqrt{1+x^{2}}dx=\int \sec \theta \sec^{2}\theta d\theta$

$=\int \sec^{3}\theta d\theta$

Untuk menyelesaikan bentuk diatas gunakan rumus berikut

$\int \sec^{n}u\, du=\frac{1}{n-1}\sec^{n-2}u\tan u+\frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}u\, du\, jika\, n\neq 1$

sehingga diperoleh :

$=\frac{1}{3-1}\sec^{3-2}\theta \tan \theta +\frac{3-2}{3-1}\int \sec^{n-2}\theta \, d\theta$ $=\frac{1}{2}\sec\theta \tan \theta +\frac{1}{2}\int \sec\theta \, d\theta$ $=\frac{1}{2}\sec\theta \tan \theta +\frac{1}{2}\ln\left|\sec \theta +\tan \theta \right|+C$

dari gambar dan permisalan diatas diperoleh

$=\frac{1}{2}\sqrt{1+x^{2}}.x+\frac{1}{2}\ln\left|\sqrt{1+x^{2}}+x\right|+C$

2. $\int \frac{1}{\sqrt{4+x^{2}}} dx$

Pembahasan

Misal $x=2\tan \theta \to dx=2\sec^{2}\theta$

Perhatikan gambar berikut

Dari gambar diatas diperoleh

$\sqrt{4+x^{2}}=2\sec \theta$

Substitusikan permisalan ke integral diatas

$\int \frac{1}{\sqrt{4+x^{2}}} dx=\int \frac{2\sec^{2}\theta }{2\sec \theta }d\theta$

$=\int \sec\theta d\theta$

$=\ln \left|\sec\theta +\tan\theta \right|+C$

$=\ln \left|\frac{1}{2}\sqrt{4+x^{2}}+\frac{1}{2}x \right|+C$

$=\ln \left|\frac{\sqrt{4+x^{2}}+x}{2}\right|+C$

$=\ln \left|\sqrt{4+x^{2}}+x\right|-\ln 2+C$

$=\ln \left|\sqrt{4+x^{2}}+x\right|+K$

3. $\int \sqrt{9-x^{2}} dx$

Pembahasan

Misal $x=3\sin \theta \to dx=3\cos \theta d\theta$

Perhatikan gambar berikut

dari gambar diperoleh

$\cos \theta =\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}\to \sqrt{9-x^{2}}=3\cos \theta$

Substitusi permisalan ke integral diatas

$\int \sqrt{9-x^{2}} dx=\int 3\cos \theta .3\cos \theta d\theta$

$=9\int \cos^{2} \theta d\theta$

Ingat bahwa

$\cos2\theta =2\cos^{2}\theta -1 \to \cos^{2}\theta =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2\theta$

sehingga diperoleh

$=9\int \left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2\theta \right )d\theta$

$=\frac{9}{2}\int \left ( 1+\cos2\theta \right )d\theta$

$=\frac{9}{2}\left ( \theta +\frac{1}{2}\sin2\theta +C \right )$

$=\frac{9}{2}\left ( \theta +\frac{1}{2}\left ( 2\sin\theta \cos\theta \right )+C \right )$

$=\frac{9}{2}\theta +\frac{9}{2}\sin\theta \cos\theta+\frac{9}{2}C$

Perhatikan permisalan dan gambar diatas diperoleh

$x=3\sin \theta \to \sin\theta =\frac{1}{3}x\to \theta =\sin^{-1}\left ( \frac{1}{3}x \right )$

$\cos \theta =\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}$

$\sin \theta =\frac{1}{3}x$

Maka

$=\frac{9}{2}\sin^{-1}\left ( \frac{1}{3}x \right )+\frac{9}{2}\left ( \frac{1}{3}x\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3} \right )+K$

$=\frac{9}{2}\sin^{-1}\left ( \frac{1}{3}x \right )+\frac{1}{2}\left ( x\sqrt{9-x^{2}}\right )+K$

Aplikasi integral untuk menghitung luas daerah bidang datar

Kumpulan rumus lengkap integral

Integral parsial dan pembahasan soal

Integral substitusi dan pembahasan soal

Rumus dasar integral tak tentu fungsi aljabar dan pembahasan soal

Demikian pembahasan Integral substitusi dengan bentuk trigonometrik, semoga bermanfaat. Amiin.

Integral Substitusi Dengan Bentuk Trigonometrik

Contoh Soal dan Pembahasan

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Integral Substitusi Dengan Bentuk Trigonometrik

Contoh Soal dan Pembahasan

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form