Rumus Dasar Integral Tak Tentu dan Pembahasan Soal

RUMUS DASAR INTEGRAL TAK TENTU

Pada pembahasan sebelumnya kita sudah mempelajari turunan fungsi aljabar dan konsep dasar antiturunan, dan pada pembahasan ini akan dibahas cara menyelesaikan integral tak tentu menggunakan rumus-rumus dasar integral.

Rumus-rumus dasar yang harus dipahami dalam mempelajari integral adalah sebagai berikut

Misalkan k bilangan real, f(x) dan g(x) merupakan fungsi yang dapat ditentukan integralnya, maka

$\int dx=x+c$
$\int kdx=kx+c$
$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$
$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$
$\int \left [ f(x)+g(x) \right ]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$
$\int \left [ f(x)-g(x) \right ]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$
Jika n bilangan rasional dan n bukan -1, maka $\int \left [ g(x) \right ]^{n}g'(x)dx=\frac{\left [ g(x) \right ]^{n+1}}{n+1}+c$

Contoh Soal dan Pembahasan

Selesaikanlah integral berikut ini.

1. $\int dx$

Pembahasan

Ingat bahwa $x^{0}=1$ , maka

$\int dx=\int x^{0}dx$

$=\frac{x^{0+1}}{0+1}+c$

$=\frac{x^{1}}{1}+c$ (Ingat bahwa pembagian dengan 1 dan pangkat 1 tidak ditulis)

$=x+c$

2. $\int 2dx$

Pembahasan

$\int 2dx =2\int dx$ (perhatikan penyelesaian soal no 1)

= 2(x + c)

= 2x + 2c

(Perhatikan bahwa konstanda dikalikan dengan bilangan berapapun hasilnya tetap konstanta)

= 2x + c

3. $\int xdx$

Pembahasan

Ingat bahwa pangkat x adalah 1

$\int xdx =\frac{x^{1+1}}{1+1}+c$

$=\frac{x^{2}}{2}+c$

$=\frac{1}{2}x^{2}+c$

4. $\int 3xdx$

Pembahasan

$\int 3xdx=3\int xdx$

$=3\left ( \frac{x^{1+1}}{1+1} \right )+c$

$=3\left ( \frac{x^{2}}{2} \right )+c$

$=\frac{3x^{2}}{2}+c$

$=\frac{3}{2}x^{2}+c$

5. $\int 5x^{4}dx$

Pembahasan

$\int 5x^{4}dx=\frac{5x^{4+1}}{4+1}+c$

$=\frac{5x^{5}}{5}+c$

$=x^{5}+c$

Perhatikan penyelesaian soal nomor 4 dan 5 menggunakan penulisan yang berbeda sehingga diharapkan pembaca dapat memilih cara yang dianggap paling mudah dan cepat dipahami.

6. $\int -x^{5}dx$

Pembahasan

$\int -x^{5}dx=-\int x^{5}dx$

$=-\frac{x^{5+1}}{5+1}+c$

$=-\frac{x^{6}}{6}+c$

$=-\frac{1}{6}x^{6}+c$

7. $\int \frac{2}{x^{-4}}dx$

Pembahasan

Ingat bahwa $\frac{1}{x^{-n}}=x^{n}$ , maka

$\int \frac{2}{x^{-4}}dx=\int 2x^{4}dx$

$=\frac{2x^{4+1}}{4+1}+c$

$=\frac{2x^{5}}{5}+c$

$=\frac{2}{5}x^{5}+c$

8. $\int \left ( x^{2}+3x \right )dx$

Pembahsaan

$\int \left ( x^{2}+3x \right )dx=\int x^{2}dx+\int 3xdx$

$=\frac{x^{2+1}}{2+1}+c_{1}+\frac{3x^{1+1}}{1+1}+c_{2}$

$=\frac{x^{3}}{3}+c_{1}+\frac{3x^{2}}{2}+c_{2}$

$=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+\left ( c_{1}+c_{2} \right )$

(Ingat bahwa penjumlahan konstanta sama dengan konstanta)

$=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+c$

9. $\int \frac{3x+2}{\sqrt{x}} dx$

Pembahasan

$\int \frac{3x+2}{\sqrt{x}} dx=\int \frac{3x+2}{x^{\frac{1}{2}}}dx$

$=\int \left ( 3x+2 \right )x^{-\frac{1}{2}}dx$

$=\int 3x^{1-\frac{1}{2}}+2x^{-\frac{1}{2}}dx$

$=\int 3x^{\frac{1}{2}}+2x^{-\frac{1}{2}}dx$

$=\frac{3x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+\frac{2x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+c$

$=\frac{3x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{2x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c$

$=2x^{\frac{3}{2}}+4x^{\frac{1}{2}}+c$

$=2\sqrt{x^{3}}+4\sqrt{x}+c$

$=2x\sqrt{x}+4\sqrt{x}+c$

$=(2x+4)\sqrt{x}+c$

10. $\int \frac{x^{2}-4x+10}{x^{2}\sqrt{x}} dx$

Pembahasan

$\int \frac{x^{2}-4x+10}{x^{2}\sqrt{x}} dx$ $=\int \frac{x^{2}-4x+10}{x^{2}x^{\frac{1}{2}}} dx$

$=\int \frac{x^{2}-4x+10}{x^{\frac{5}{2}}} dx$

$=\int \left ( x^{2}-4x+10 \right )x^{-\frac{5}{2}} dx$

$=\int x^{-\frac{1}{2}}-4x^{-\frac{3}{2}}+10x^{-\frac{5}{2}}dx$

$=\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}-\frac{4x^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1}+\frac{10x^{-\frac{5}{2}+1}}{-\frac{5}{2}+1}+c$

$=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}-\frac{4x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}+\frac{10x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}+c$

$=2x^{\frac{1}{2}}+8x^{-\frac{1}{2}}-\frac{20x^{-\frac{3}{2}}}{3}+c$

$=2x^{\frac{1}{2}}+\frac{8}{x^{\frac{1}{2}}}-\frac{20}{3x^{\frac{3}{2}}}+c$

$=\frac{2x^{\frac{1}{2}}.3x^{\frac{3}{2}}}{3x^{\frac{3}{2}}}+\frac{8.3x}{3x^{\frac{3}{2}}}-\frac{20}{3x^{\frac{3}{2}}}+c$

$=\frac{6x^{2}}{3x^{\frac{3}{2}}}+\frac{24x}{3x^{\frac{3}{2}}}-\frac{20}{3x^{\frac{3}{2}}}+c$

$=\frac{6x^{2}+24x-20}{3x^{\frac{3}{2}}}+c$

$=\frac{6x^{2}+24x-20}{3\sqrt{x^{3}}}+c$

$=\frac{6x^{2}+24x-20}{3x\sqrt{x}}+c$

11. $\int \left ( x+1 \right )^{2}dx$

Pembahasan

Cara 1. Melakukan penjabaran pada fungsi aljabar

$\int \left ( x+1 \right )^{2}dx =\int \left ( x^{2}+2x+1 \right )dx$

$=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+x+c$

Cara 2 : Menggunakan sifat 7 diatas

Misal g(x) = x + 1 maka g'(x) = 1, maka

$\int \left ( x+1 \right )^{2}dx=\int \left [ g(x) \right ]^{2}g'(x)dx$

$=\frac{\left [ g(x) \right ]^{2+1}}{2+1}+c$

$=\frac{\left [ g(x) \right ]^{3}}{3}+c$

$=\frac{\left ( x+1 \right )^{3}}{3}+c$

$=\frac{\left ( x^{3}+3x^{2}+3x+1 \right )}{3}+c$

$=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+x+\frac{1}{3}+c$

$=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+x+c$

Demikian pembahasan rumus dasar integral tak tentu fungsi aljabar, semoga bisa bermanfaat.

Rumus Dasar Integral Tak Tentu dan Pembahasan Soal