Integral Subtitusi dan Pembahasan Soal

Pada pembahasan aturan substitusi pada integral ini sebenarnya sudah dibahas pada bahasan sebelum ini yaitu

Jika n bilangan rasional dan n bukan -1, maka $\int \left [ g(x) \right ]^{n}g'(x)dx=\frac{\left [ g(x) \right ]^{n+1}}{n+1}+c$

Bahasan lengkapnya dapat dibaca melalui link ini.

Bentuk diatas merupakan sebuah teorema aturan substitusi yaitu

TEOREMA A

Misal g suatu fungsi yang terdefrensialkan dan misal F adalah suatu antiturunan dari f, dan jika u = g(x), maka

$\int f(g(x)) g'(x)dx=\int f(u)du=F(g(x))+C$

Bukti

Dari ruas kanan y = F(g(x)) + C dan dari permisalan diatas bahwa F' = f akan dibuktikan bahwa dy = f(g(x))g'(x)dx

Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh

Misal u = g(x) dan v = F(u), maka

$\frac{dy}{dx}=\frac{dv}{du}\frac{du}{dx}$

dy = F'(u)u'dx

dy = f(u)g'(x)dx

dy = f(g(x))g'(x)dx

(Terbukti)

Contoh Soal dan Pembahasan

Gunakan metode substitusi untuk mencari integral tak tentu berikut.

1. $\int \sqrt{3x+2} dx$

Pembahasan

Misal u = 3x + 2, maka

$du=3dx\rightarrow \frac{1}{3}du=dx$

Sehingga

$\int \sqrt{3x+2} dx=\int \sqrt{u}\frac{1}{3}du$

$=\frac{1}{3}\int \sqrt{u}du$

$=\frac{1}{3}\int u^{\frac{1}{2}}du$

$=\frac{1}{3}\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C$

$=\frac{1}{3}\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C$

$=\frac{1}{3}\frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}+C$

$=\frac{2}{9}u^{\frac{3}{2}+C$

$=\frac{2}{9}\sqrt{u^{3}}+C$

$=\frac{2}{9}u\sqrt{u}+C$

Substitusi u = 3x + 2 sehingga diperoleh

$=\frac{2}{9}(3x+2)\sqrt{3x+2}+C$

$=\frac{1}{9}(6x+4)\sqrt{3x+2}+C$

2. $\int \sqrt[3]{2x-4}dx$

Pembahasan

$\int \sqrt[3]{2x-4}dx=\int \left ( 2x-4 \right )^{\frac{1}{3}}dx$

Misal $u=2x-4\rightarrow du=2dx\rightarrow \frac{1}{2}du=dx$ maka

$\int\left ( 2x-4 \right )^{\frac{1}{3}}dx=\int u^{\frac{1}{3}}\frac{1}{2}du$

$=\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{3}}du$

$=\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}+C$

$=\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+C$

$=\frac{1}{2}\frac{3}{4}u^{\frac{4}{3}}+C$

$=\frac{3}{8}u^{\frac{4}{3}}+C$

Substitusi u = 2x - 4 sehingga diperoleh

$=\frac{3}{8}\left ( 2x-4 \right )^{\frac{4}{3}}+C$

$=\frac{3}{8}\sqrt[3]{\left ( 2x-4 \right )^{4}}+C$

3. $\int\left ( 6x-7 \right )^{\frac{1}{8}}dx$

Pembahasan

Misal $u=6x-7\to du=6dx\to \frac{1}{6}du=dx$ maka

$\int\left ( 6x-7 \right )^{\frac{1}{8}}dx=\int u^{\frac{1}{8}}\frac{1}{6}du$

$=\frac{1}{6}\int u^{\frac{1}{8}}du$

$=\frac{1}{6}\frac{u^{\frac{1}{8}+1}}{\frac{1}{8}+1}+C$

$=\frac{1}{6}\frac{u^{\frac{9}{8}}}{\frac{9}{8}}+C$

$=\frac{1}{6}\frac{8}{9}u^{\frac{9}{8}}+C$

$=\frac{4}{27}u^{\frac{9}{8}}+C$

Substitusi u = 6x - 7 sehingga diperoleh

$=\frac{4}{27}\left ( 6x-7 \right )^{\frac{9}{8}}+C$

4. $\int\left ( 5u-\pi \right )^{\frac{21}{8}}du$

Pembahasan

Misal $v=5u-\pi \to dv=5du\to \frac{1}{5}dv=du$ maka

$\int\left ( 5u-\pi \right )^{\frac{21}{8}}du=\int v^{\frac{21}{8}}\frac{1}{5}dv$

$=\frac{1}{5}\int v^{\frac{21}{8}}dv$

$=\frac{1}{5}\frac{v^{\frac{21}{8}+1}}{\frac{21}{8}+1}+C$

$=\frac{1}{5}\frac{v^{\frac{29}{8}}}{\frac{29}{8}}+C$

$=\frac{1}{5}\frac{8}{29}v^{\frac{29}{8}}+C$

$=\frac{8}{145}v^{\frac{29}{8}}+C$

Substitusi $v=5u-\pi$ sehingga diperoleh

$=\frac{8}{145}\left ( 5u-\pi \right )^{\frac{29}{8}}+C$

5. $\int \cos \left ( 3x+2 \right )dx$

Pembahasan

Misal $u=3x+2 \to du=3dx\to \frac{1}{3}du=dx$ maka

$\int \cos \left ( 3x+2 \right )dx=\int \cos u\frac{1}{3}du$

$=\frac{1}{3}\int \cos udu$

Ingat kembali bahwa $y=\sin x\to y'=\cos x$

$=\frac{1}{3}\sin u+C$

Substitusi u = 3x + 2 sehingga diperoleh

$=\frac{1}{3}\sin \left ( 3x+2 \right )+C$

6. $\int \sin \left ( 2x-4 \right )dx$

Pembahasan

Misal $u=2x-4\to du=2dx\to \frac{1}{2}du=dx$ maka

$\int \sin \left ( 2x-4 \right )dx=\int \sin u\frac{1}{2}du$

$=\frac{1}{2}\int \sin udu$

Ingat kembali bahwa $y=\cos x\to y'=-\sin x$

$=-\frac{1}{2}\cos u+C$

Subtitusi u = 2x - 4 sehingga diperoleh

$=-\frac{1}{2}\cos \left ( 2x-4 \right )+C$

7. $\int \sin \left ( 6x-7 \right )dx$

Pembahasan

Misal $u=6x-7\to du=6dx\to \frac{1}{6}du=dx$ maka

$\int \sin (6x-7)dx=\int \sinu \frac{1}{6}du$

$=\frac{1}{6}\int \sin udu$

$=-\frac{1}{6}\cos u+C$

Substitusi u = 6x - 7 sehingga diperoleh

$=-\frac{1}{6}\cos \left ( 6x-7 \right )+C$

8. $\int \cos \left ( \pi v-\sqrt{7} \right )dv$

Pembahasan

Misal $u=\pi v-\sqrt{7}\to du=\pi dv\to \frac{1}{\pi }du=dv$ maka

$\int \cos \left ( \pi v-\sqrt{7} \right ) du=\int \cos u\frac{1}{\pi }du$

$=\frac{1}{\pi }\int \cos udu$

$=-\frac{1}{\pi }\sin u+C$

Subsitusi $u=\pi v-\sqrt{7}$ sehingga diperoleh

$=-\frac{1}{\pi }\sin \left ( \pi v-\sqrt{7} \right )+C$

9. $\int x\sqrt{x^{2}+4}dx$

Pembahasan

Misal $u=x^{2}+4\to du=2xdx\to \frac{1}{2}du=xdx$ maka

$\int x\sqrt{x^{2}+4}dx=\int \sqrt{x^{2}+4}\, x dx$

$=\int \sqrt{u}\frac{1}{2}du$

$=\frac{1}{2}\int \sqrt{u}du$

$=\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}du$

$=\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C$

$=\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C$

$=\frac{1}{2}\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$

$=\frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$

$=\frac{1}{3}\sqrt{u^{3}}+C$

$=\frac{1}{3}u\sqrt{u}+C$

Substitusi $u=x^{2}+4$ sehingga diperoleh

$=\frac{1}{3}\left ( x^{2}+4 \right )\sqrt{x^{2}+4}+C$

10. $\int x^{2} \left ( x^{3}+5 \right )^{9}dx$

Pembahasan

$\int x^{2} \left ( x^{3}+5 \right )^{9}dx=\int \left ( x^{3}+5 \right )^{9}x^{2}dx$

Misal $u=x^{3}+5\to du=3x^{2}dx\to \frac{1}{3}du=x^{2}dx$ maka

$\int \left ( x^{3}+5 \right )^{9}x^{2}dx=\int ( u )^{9}\frac{1}{3}du$

$=\frac{1}{3}\int ( u )^{9}du$

$=\frac{1}{3}\frac{1}{10}(u)^{10}+C$

$=\frac{1}{30}u)^{10}+C$

Substitusi $u=x^{3}+5$ sehingga diperoleh

$=\frac{1}{30}(x^{3}+5)^{10}+C$

11. $\int x\left ( x^{2}+3 \right )^{-\frac{12}{7}}dx$

Pembahasan

$\int x\left ( x^{2}+3 \right )^{-\frac{12}{7}}dx=\int \left ( x^{2}+3 \right )^{-\frac{12}{7}}xdx$

Misal $u=x^{2}+3\to du=2xdx\to \frac{1}{2}du=xd$ maka

$\int \left ( x^{2}+3 \right )^{-\frac{12}{7}}xdx=\int u^{-\frac{12}{7}}\frac{1}{2}du$

$=\frac{1}{2}\int u^{-\frac{12}{7}}du$

$=\frac{1}{2}\frac{u^{-\frac{12}{7}+1}}{-\frac{12}{7}+1}+C$

$=\frac{1}{2}\frac{u^{-\frac{5}{7}}}{-\frac{5}{7}}+C$

$=\frac{1}{2}\left ( -\frac{7}{5} \right )u^{-\frac{5}{7}}+C$

$=-\frac{7}{10}u^{-\frac{5}{7}}+C$

Substitusi $u=x^{2}+3$ sehingga diperoleh

$=-\frac{7}{10}\left ( x^{2}+3 \right )^{-\frac{5}{7}}+C$

12. $\int v\left ( \sqrt{3}v^{2}+\pi \right )^{\frac{7}{8}} dv$

Pembahasan

$\int v\left ( \sqrt{3}v^{2}+\pi \right )^{\frac{7}{8}} dv=\int \left ( \sqrt{3}v^{2}+\pi \right )^{\frac{7}{8}} vdv$

Misal $u=\sqrt{3}v^{2}+\pi\to du=2\sqrt{3}vdv\to \frac{1}{2\sqrt{3}}du=vdv$ maka

$\int \left ( \sqrt{3}v^{2}+\pi \right )^{\frac{7}{8}}vdv=\int u^{\frac{7}{8}}\frac{1}{2\sqrt{3}}du$

$=\frac{1}{2\sqrt{3}}\int u^{\frac{7}{8}}du$

$=\frac{1}{2\sqrt{3}}\frac{u^{\frac{7}{8}+1}}{\frac{7}{8}+1}+C$

$=\frac{1}{2\sqrt{3}}\frac{u^{\frac{15}{8}}}{\frac{15}{8}}+C$

$=\frac{1}{2\sqrt{3}}\frac{8}{15}u^{\frac{15}{8}}+C$

$=\frac{8}{30\sqrt{3}}u^{\frac{15}{8}}+C$

$=\frac{8}{90}\sqrt{3}u^{\frac{15}{8}}+C$

$=\frac{4}{45}\sqrt{3}u^{\frac{15}{8}}+C$

Substitusi $u= \sqrt{3}v^{2}+\pi$ sehingga diperoleh

$=\frac{4}{45}\sqrt{3}\left ( \sqrt{3}v^{2}+\pi \right )^{\frac{15}{8}}+C$

13. $\int x \sin\left (x^{2}+4 \right )dx$

Pembahasan

$\int x \sin\left (x^{2}+4 \right )dx=\int \sin\left (x^{2}+4 \right )xdx$

Misal $u=x^{2}+4 \to du=2xdx \to \frac{1}{2}du=xdx$ maka

$\int \sin\left ( x^{2}+4 \right )xdx=\int \sin u \frac{1}{2}du$

$=\frac{1}{2}\int \sin u du$

$=-\frac{1}{2}\cos u+C$

Substitusi $u=x^{2}+4$ sehingga diperolah

$=-\frac{1}{2}\cos \left ( x^{2}+4 \right )+C$

14. $\int x^{2} \cos \left ( x^{3}+5 \right )dx$

Pembahasan

$\int x^{2} \cos \left ( x^{3}+5 \right )dx=\int \cos \left ( x^{3}+5 \right )x^{2}dx$

Misal $u=x^{3}+5 \to du=3x^{2}dx \to \frac{1}{3}du=x^{2}dx$ maka

$\int \cos \left ( x^{3}+5 \right )x^{2}dx=\int \cos u\frac{1}{3}du$

$=\frac{1}{3}\int \cos udu$

$=\frac{1}{3}\sin u+C$

Substitusi $u=x^{3}+5$ sehingga diperoleh

$=\frac{1}{3}\sin \left ( x^{3}+5 \right )+C$

Demikian pembahasan aturan subtitusi pada integral tak tentu menggunakan teorema A dan pembahasan soal. Semoga bermanfaat.

Integral Subtitusi dan Pembahasan Soal

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Integral Subtitusi dan Pembahasan Soal

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form