Menyusun Model Matematika dan Daerah Penyelesaian

Langkah-langkah menyusun model matematika dari permasalahan pada program linier dua variabel

Kelompokkan masalah yang sejenis dan terjemahkan kedalam variabel. Bisa dalam bentuk tabel atau dalam bentuk deskripsi
Tentukan Fungsi Obyektif
Perhatikan dari permasalahan yang ada apakah menginginkan fungsi obyektif maksimal atau minimal. Jika fungsi obyektif maksimal maka tanda pada pertidaksamaan adalah " $\leq$ " dan jika fungsi obyektif minimal maka tanda pertidaksamaannya adalah " $\geq$ "

Definisi masalah program linier dua variabel adalah menentukan nilai x dan y yang memaksimumkan atau meminimumkan fungsi obyektif / fungsi tujuan

Z(x,y) = Ax + By

dengan kendala :

$\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y\left ( \leq ,\geq \right )c_{1}\\ a_{2}x+b_{2}y\left ( \leq ,\geq \right )c_{2}\\ \begin{matrix} .\\ .\\ . \end{matrix}\\ a_{n}x+b_{n}y\left ( \leq ,\geq \right )c_{n}\\ x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$

Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel

Gambar grafik fungsi dari masing-masing pertidaksamaan beserta daerah penyelesaiannya. Untuk cek daerah penyelesaian cukup dicek titik (0,0) apakah titik ini memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Tentukan irisan daerah penyelesaian dari semua grafik pertidaksamaan. Irisan ini merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variabel.

Contoh Soal 1

PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 meter persegi berencana akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe mawar dengan luas 130 meter persegi dan tipe melati dengan luas 90 meter persegi. Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih 150 unit. Pengembang merencanakan laba tiap-tiap rumah Rp. 2.000.000,00 dan Rp. 1.500.000,00.

Modelkan permasalahan diatas ! Kemudian gambarkan daerah penyelesaiannya untuk sistem pertidaksamaannya.

Pembahasan

Misalkan tipe mawar = x

tipe melati = y

Perhatikan kalimat " PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 meter persegi berencana akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe mawar dengan luas 130 meter persegi dan tipe melati dengan luas 90 meter persegi." bentuk model matematikanya adalah :

130x + 90y $\leq$ 12.000

13x + 9y $\leq$ 1200

Tanda yang digunakan " $\leq$ " karena luas rumah keseluruhan yang dibangun harus kurang atau sama dengan luas tanah secara keseluruhan.

Selanjutnya perhatikan kalimat " Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih 150 unit". Bentuk model matematikanya adalah

x + y $\leq$ 150

Tanda yang digunakan " $\leq$ " karena rumah yang akan dibangun kurang dari atau sama dengan 150, tidak boleh melebihi 150 unit.

Selanjutnya perhatikan kalimat " Pengembang merencanakan laba tiap-tiap rumah Rp. 2.000.000,00 dan Rp. 1.500.000,00" ini merupakan kalimat untuk membuat persamaan nilai optimum yaitu

Z (x,y) = 2.000.000x + 1.500.000y

atau

Z(x,y) = 20x + 15 y (dalam ratusan ribu)

Kemudian untuk kendalanya, tidak mungkin x dan y bernilai negatif, maka, x $\geq$ 0 dan y $\geq$ 0.

Maka sistem pertidaksamaan linier dua variabel dari permasalah diatas adalah :

$\left\{\begin{matrix} 13x+9y\leq 1200 \, \, \, \, \, \, \, \, \\ x+y\leq 150\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ x\geq 0\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ y\geq 0\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \end{matrix}\right.$

Nilai optimum : Z(x,y) = 20x + 15y (dalam ratusan ribu)

Menggambar grafik fungsi pertidaksamaan 13x + 9y = 1200

Titik potong terhadap sumbu y jika x = 0

13x + 9y = 1200

13.0 + 9y = 1200

9y = 1200

$y=\frac{400}{3}=133\frac{1}{3}$

Jadi titik potong terhadap sumbu y adalah $\left ( 0,133\frac{1}{3} \right )$

Titik potong terhadap sumbu x jika y = 0

13x + 9y = 1200

13x + 9.0 = 1200

13x = 1200

$x=\frac{1200}{13}=92\frac{4}{13}$

Jadi titik potong terhadap sumbu x adalah $\left ( 92\frac{4}{13},0 \right )$

Gambar grafiknya adalah

Cek titik (0,0)

13x + 9y $\leq$ 1200

13.0 + 9.0 $\leq$ 1200

0 $\leq$ 1200 (benar)

Maka titik (0,0) berada di daerah penyelesaian 13x + 9y $\leq$ 1200 sehingga grafik diarsir kebawah

maka grafik fungsi pertidaksamaan 13x + 9y $\leq$ 1200 dengan daerah penyelesaiannya adalah

Menggambar grafik fungsi x + y = 150

Titik potong terhadap sumbu x jika y = 0

x + y = 150

x + 0 = 150

x = 150

Jadi titik potong terhadap sumbu x adalah (150,0)

Titik potong terhadap sumbu y jika x = 0

x + y = 150

0 + y = 150

y = 150

Jadi titik potong terhadap sumbu y adalah (0,150)

Gambar grafiknya adalah

Cek titik (0,0)

x + y $\leq$ 150

0 + 0 $\leq$ 150

0 $\leq$ 150 (benar)

Maka titik (0,0) berada di daerah penyelesaian x + y $\leq$ 150 sehingga arsiran grafik ke bawah.

Grafik x + y $\leq$ 150 dengan daerah penyelesaiannya adalah

Maka akan dicari irisan dari semua grafik pada sistem persamaan linier dua variabel

Gambar grafiknya seperti gambar berikut ini

Jadi daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir paling tebal.

Baca Juga :

Contoh Soal 2

Seorang atlet diwajibkan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, atlet itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Harga tiap-tiap 1 tablet, Rp1.500,00 dan Rp2.000,00.

Modelkan masalah di atas. Kemudian gambarkan grafik model matematikanya untuk menemukan daerah penyelesaian.

Pembahasan

Permasalahan diatas dapat dimasukkan kedalam tabel berikut

Tablet	Vitamin A	Vitamin B	Variabel
Tablet A	5 unit	3 unit	x
Tablet B	10 unit	1 unit	y
Jumlah kebutuhan	20 unit	5 unit

Sehingga pertidaksamaannya menjadi

Pertidaksamaan vitamin A

$5x+10y\geq 20$

disederhanakan menjadi

$x+2y\geq 4$

Pertidaksamaan vitamin B

$3x+y\geq 5$

Kemudian untuk nilai x dan y tidak mungkin bernilai negatif, maka, x $\geq$ 0 dan y $\geq$ 0.

Persamaan fungsi obyektifnya adalah

Z(x,y) = 1500x + 2000y

atau

Z(x,y) = 3x + 4y (dalam ratusan)

Sistem pertidaksamaan linier dua variabelnya adalah

$\left\{\begin{matrix} x+2y\geq 4\\ 3x+y\geq 5\\ x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$

Z(x,y) = 3x + 4y

Perhatikan tanda yang digunakan, karena permasalahan ini ingin meminimalkan fungsi obyektif maka digunakan tanda " $\geq$ "

Gambar grafik dan daerah penyelesaiannya adalah

Contoh Soal 3

Sebuah toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga. Rangkaian I memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga anyelir, Rangkaian II memerlukan 20 tangkai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir. Persediaan bunga mawar dan bunga anyelir masing-masing 200 tangkai dan 100 tangkai. Rangkaian I dijual seharga Rp 200.000,00 dan Rangkaian II dijual seharga Rp100.000,00 per rangkaian.

Modelkan masalah di atas dalam bentuk model matematika. Kemudian gambarkan grafik model matematikanya dan tentukan daerah penyelesaiannya.

Pembahasan

Permasalahan diatas jika dibuatkan tabel seperti tabel berikut.

Rangkaian	Bunga Mawar	Bunga Anyelir	Variabel
Rangkaian 1	10 tangkai	15 tangkai	x
Rangkaian 2	20 tangkai	5 tangkai	y
Banyak persediaan	200 tangkai	100 tangkai

Sehingga bisa dibuatkan sistem persamaan linier dua variabelnya yaitu

$\left\{\begin{matrix} x+2y\leq 20\\ 3x+y\leq 20\\ x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$

Fungsi obyektif Z(x,y) = 200.000x + 100.000y

= 2x + y (dalam ratusan ribu)

Perhatikan tanda yang digunakan, karena permasalahan ini ingin memaksimalkan fungsi obyektif maka digunakan tanda " $\leq$ "

Akan dicari titik potong x + 2y = 20 dan 3x + y = 20

x + 2y = 20 ......(1)

3x + y = 20 ......(2)

dari persamaan (1)

x + 2y = 20

x = 20 - 2y ......(3)

substitusi persamaan (3) ke persamaan (2)

3x + y = 20

3(20 - 2y) + y = 20

60 - 6y + y = 20

-5y = 20 - 60

-5y = -40

y = 8

substitusi y = 8 ke persamaan (3)

x = 20 - 2y

x = 20 - 2.8

x = 20 - 16

x = 4

Jadi titik potong kedua garis adalah (4,8)

Grafik fungsi pertidaksamaan dan daerah hasilnya adalah

Demikian pembahasan cara menyusun model matematika dan menentukan daerah penyelesaian dari program linier. Semoga bermanfaat.

Menyusun Model Matematika dan Daerah Penyelesaian

Langkah-langkah menyusun model matematika dari permasalahan pada program linier dua variabel

Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel

2 Comments

Post a Comment

Contact Form

Menyusun Model Matematika dan Daerah Penyelesaian

Langkah-langkah menyusun model matematika dari permasalahan pada program linier dua variabel

Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel

You might like

2 Comments

Post a Comment

Contact Form