Menyusun Model Matematika dan Daerah Penyelesaian Program Linier

Langkah-langkah menyusun model matematika dari permasalahan pada program linier dua variabel

  1. Kelompokkan masalah yang sejenis dan terjemahkan kedalam variabel. Bisa dalam bentuk tabel atau dalam bentuk deskripsi
  2. Tentukan Fungsi Obyektif
  3. Perhatikan dari permasalahan yang ada apakah menginginkan fungsi obyektif maksimal atau minimal. Jika fungsi obyektif maksimal maka tanda pada pertidaksamaan adalah  " dan jika fungsi obyektif minimal maka tanda pertidaksamaannya adalah "  "

Definisi masalah program linier dua variabel adalah menentukan nilai x dan y yang memaksimumkan atau meminimumkan fungsi obyektif / fungsi tujuan

Z(x,y) = Ax + By

dengan kendala :

Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel

  1. Gambar grafik fungsi dari masing-masing pertidaksamaan beserta daerah penyelesaiannya. Untuk cek daerah penyelesaian cukup dicek titik (0,0) apakah titik ini memenuhi pertidaksamaan tersebut.
  2. Tentukan irisan daerah penyelesaian dari semua grafik pertidaksamaan. Irisan ini merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variabel.




Contoh Soal 1

PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 meter persegi berencana akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe mawar dengan luas 130 meter persegi dan tipe melati dengan luas 90 meter persegi. Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih 150 unit. Pengembang merencanakan laba tiap-tiap rumah Rp. 2.000.000,00 dan Rp. 1.500.000,00.

Modelkan permasalahan diatas ! Kemudian gambarkan daerah penyelesaiannya untuk sistem pertidaksamaannya.

Pembahasan

Misalkan tipe mawar = x

             tipe melati = y

Perhatikan kalimat " PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 meter persegi berencana akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe mawar dengan luas 130 meter persegi dan tipe melati dengan luas 90 meter persegi." bentuk model matematikanya adalah :

130x + 90y  12.000

13x + 9y  1200

Tanda yang digunakan "  " karena luas rumah keseluruhan yang dibangun harus kurang atau sama dengan luas tanah secara keseluruhan.

Selanjutnya perhatikan kalimat " Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih 150 unit". Bentuk model matematikanya adalah

x + y  150

Tanda yang digunakan "  " karena rumah yang akan dibangun kurang dari atau sama dengan 150, tidak boleh melebihi 150 unit.

Selanjutnya perhatikan kalimat " Pengembang merencanakan laba tiap-tiap rumah Rp. 2.000.000,00 dan Rp. 1.500.000,00" ini merupakan kalimat untuk membuat persamaan nilai optimum yaitu

Z (x,y) = 2.000.000x + 1.500.000y

atau

Z(x,y) = 20x + 15 y (dalam ratusan ribu)

Kemudian untuk kendalanya, tidak mungkin x dan y bernilai negatif, maka, x  0 dan y  0.




Maka sistem pertidaksamaan linier dua variabel dari permasalah diatas adalah :

Nilai optimum : Z(x,y) = 20x + 15y (dalam ratusan ribu)

Menggambar grafik fungsi pertidaksamaan 13x + 9y = 1200

Titik potong terhadap sumbu y jika x = 0

13x + 9y = 1200

13.0 + 9y = 1200

9y = 1200

Jadi titik potong terhadap sumbu y adalah 

Titik potong terhadap sumbu x jika y = 0

13x + 9y = 1200

13x + 9.0 = 1200

13x = 1200

 

Jadi titik potong terhadap sumbu x adalah 

Gambar grafiknya adalah

Cek titik (0,0)

13x + 9y  1200

13.0 + 9.0  1200

 1200 (benar)

Maka titik (0,0) berada di daerah penyelesaian 13x + 9y 1200 sehingga grafik diarsir kebawah

maka grafik fungsi pertidaksamaan 13x + 9y  1200 dengan daerah penyelesaiannya adalah




Menggambar grafik fungsi x + y = 150

Titik potong terhadap sumbu x jika y = 0

x + y = 150

x + 0 = 150

x = 150

Jadi titik potong terhadap sumbu x adalah (150,0)

Titik potong terhadap sumbu y jika x = 0

x + y = 150

0 + y = 150

y = 150

Jadi titik potong terhadap sumbu y adalah (0,150)

Gambar grafiknya adalah

Cek titik (0,0)

x + y  150

0 + 0  150

 150 (benar)

Maka titik (0,0) berada di daerah penyelesaian x + y  150 sehingga arsiran grafik ke bawah.

Grafik x + y  150 dengan daerah penyelesaiannya adalah


Maka akan dicari irisan dari semua grafik pada sistem persamaan linier dua variabel 

Gambar grafiknya seperti gambar berikut ini

Jadi daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir paling tebal.




Baca Juga :


Contoh Soal 2

Seorang atlet diwajibkan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, atlet itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Harga tiap-tiap 1 tablet, Rp1.500,00 dan Rp2.000,00.

Modelkan masalah di atas. Kemudian gambarkan grafik model matematikanya untuk menemukan daerah penyelesaian.

Pembahasan

Permasalahan diatas dapat dimasukkan kedalam tabel berikut

Tablet

Vitamin A

Vitamin B

Variabel

Tablet A

5 unit

3 unit

x

Tablet B

10 unit

1 unit

y

Jumlah kebutuhan

20 unit

5 unit

 


Sehingga pertidaksamaannya menjadi

Pertidaksamaan vitamin A

disederhanakan menjadi

 

Pertidaksamaan vitamin B

Kemudian untuk nilai x dan y tidak mungkin bernilai negatif, maka, x  0 dan y  0.

Persamaan fungsi obyektifnya adalah 

Z(x,y) = 1500x + 2000y

atau 

Z(x,y) = 3x + 4y (dalam ratusan)

Sistem pertidaksamaan linier dua variabelnya adalah

Z(x,y) = 3x + 4y

Perhatikan tanda yang digunakan, karena permasalahan ini ingin meminimalkan fungsi obyektif maka digunakan tanda "  "

Gambar grafik dan daerah penyelesaiannya adalah





Contoh Soal 3

Sebuah toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga. Rangkaian I memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga anyelir, Rangkaian II memerlukan 20 tangkai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir. Persediaan bunga mawar dan bunga anyelir masing-masing 200 tangkai dan 100 tangkai. Rangkaian I dijual seharga Rp 200.000,00 dan Rangkaian II dijual seharga Rp100.000,00 per rangkaian.

Modelkan masalah di atas dalam bentuk model matematika. Kemudian gambarkan grafik model matematikanya dan tentukan daerah penyelesaiannya.

Pembahasan

Permasalahan diatas jika dibuatkan tabel seperti tabel berikut.

Rangkaian

Bunga Mawar

Bunga Anyelir

Variabel

Rangkaian 1

10 tangkai

15 tangkai

x

Rangkaian 2

20 tangkai

5 tangkai

y

Banyak persediaan

200 tangkai

100 tangkai

 

 Sehingga bisa dibuatkan sistem persamaan linier dua variabelnya yaitu 

Fungsi obyektif Z(x,y) = 200.000x + 100.000y

                                 = 2x + y (dalam ratusan ribu)

Perhatikan tanda yang digunakan, karena permasalahan ini ingin memaksimalkan fungsi obyektif maka digunakan tanda "  "

Akan dicari titik potong x + 2y = 20 dan 3x + y = 20

x + 2y = 20 ......(1)

3x + y = 20 ......(2)

dari persamaan (1)

x + 2y = 20

x = 20 - 2y ......(3)

substitusi persamaan (3) ke persamaan (2)

3x + y = 20

3(20 - 2y) + y = 20

60 - 6y + y = 20

-5y = 20 - 60

-5y = -40

y = 8

substitusi y = 8 ke persamaan (3)

x = 20 - 2y

x = 20 - 2.8

x = 20 - 16

x = 4

Jadi titik potong kedua garis adalah (4,8)

Grafik fungsi pertidaksamaan dan daerah hasilnya adalah



Demikian pembahasan cara menyusun model matematika dan menentukan daerah penyelesaian dari program linier. Semoga bermanfaat.

2 Comments

Terimakasih untuk anda telah berkomentar di postingan ini

Post a Comment

Terimakasih untuk anda telah berkomentar di postingan ini

Previous Post Next Post