Pembahasan Soal-Soal Matriks

Pembahasan Soal-Soal Matriks - Pada beberapa pembahasan sebelumnya sudah dibahas materi tentang matriks, dan pada pembahasan kali ini khusus membahas tentang soal-soal pada matriks yang bisa dijadikan salah satu alternatif untuk belajar bagi yang sedang mempelajari bahasan ini. Soal-soal ini juga sebagian besar pernah keluar di ujian-ujian, seperti UMPTN, SNMPTN, SBMPTN, ujian masuk perguruan tinggi dan ujian lainnya. Tulisan ini diambil dari berbagai sumber diantaranya, soal-soal UMPTN, SBMPTN, Ujian Nasional (UN), Ujian Nasional Berbasis Komputer (ANBK), Ujian Sekolah dan dari buku literatur lainnya. Berikut Pembahasan Soal-Soal Matriks.

Soal-Soal Matriks dan Pembahasannya

1. Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?M=\begin{pmatrix}-2 & 5 \\1 & -3 \\\end{pmatrix}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?KM=\begin{pmatrix}0 & -1 \\-2 & 3 \\\end{pmatrix}$ maka K =....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}4 & 3 \\-2 & 1 \\\end{pmatrix}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}1 & -2 \\3 & 4 \\\end{pmatrix}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}-1 & -2 \\3 & 4 \\\end{pmatrix}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}3 & -4 \\1 & -2 \\\end{pmatrix}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \\\end{pmatrix}$

Pembahasan

Cara 1. Menggunakan sifat-sifat perkalian dan kesamaan dua matriks

$https://latex.codecogs.com/svg.image?KM=\begin{pmatrix}0 & -1 \\-2 & 3 \\\end{pmatrix}$ untuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?M=\begin{pmatrix}-2 & 5 \\1 & -3 \\\end{pmatrix}$

Misal $https://latex.codecogs.com/svg.image?K=\begin{pmatrix}a & b \\c & d \\\end{pmatrix}$ , maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?KM=\begin{pmatrix}0 & -1 \\-2 & 3 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}a & b \\c & d \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 & 5 \\1 & -3 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1 \\-2 & 3 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}-2a+b & 5a-3b \\-2c+d & 5c-3d \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1 \\-2 & 3 \\\end{pmatrix}$

Dari kesamaan matriks diperoleh

*) Baris pertama kolom pertama

-2a + b = 0 ........(1)

*) Baris pertama kolom kedua

5a - 3b = -1 .......(2)

*) Baris kedua kolom pertama

-2c + d = -2 .......(3)

*) Baris kedua kolom kedua

5c - 3d = 3 .......(4)

Eliminasi variabel b dari persamaan (1) dan (2)

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left.\begin{matrix}-2a+b=0\\5a-3b=-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}x3 \\x1\end{matrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{matrix}-6a+3b=0\\\underline{5a-3b=-1}+\\-a=-1\\a=1\end{matrix}$

Subtitusi a = 1 ke persamaan (1)

-2a + b = 0

-2.1 + b = 0

b = 2

Eliminasi variabel d dari persamaan (3) dan (4)

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left.\begin{matrix}-2c+d=-2 \\5c-3d=3\end{matrix}\right|\begin{matrix}x3 \\x1\end{matrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{matrix}-6c+3d=-6 \\\underline{5c-3d=3}+\\-c=-3\\c=3\end{matrix}$

Substitusi c = 3 ke persamaan (3)

-2.3 + d = -2

-6 + d = -2

d = -2 + 6

d = 4

Jadi matrik K adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?K=\begin{pmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{pmatrix}$

Cara 2. Menggunakan Invers matriks

$https://latex.codecogs.com/svg.image?KM=\begin{pmatrix}0 & -1 \\-2 & 3 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?K=\begin{pmatrix}0 & -1 \\-2 & 3 \\\end{pmatrix}M^{-1}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}0 & -1 \\-2 & 3 \\\end{pmatrix}\frac{1}{detM}AdjM$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}0 & -1 \\-2 & 3 \\\end{pmatrix}\frac{1}{6-5}\begin{pmatrix}-3 & -5 \\-1 & -2 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}0 & -1 \\-2 & 3 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3 & -5 \\-1 & -2 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}0(-3)+(-1(-1)) & 0(-5)+(-1)(-2) \\(-2)(-3)+3(-1) & (-2)(-5)+3(-2)\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{pmatrix}$

Kunci Jawaban : E

2. Hasil kali $https://latex.codecogs.com/svg.image?A\begin{pmatrix}5 & -3 \\0 & 6 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10 & 30 \\35 & 27 \\\end{pmatrix}$ , Matriks A = ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}-1 & -1 \\4 & 7 \\\end{pmatrix}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}-2 & 4 \\7 & -1 \\\end{pmatrix}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}4 & -2 \\7 & -1 \\\end{pmatrix}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}7 & 2 \\-1 & 4 \\\end{pmatrix}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}7 & 2 \\4 & -1 \\\end{pmatrix}$

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?A\begin{pmatrix}5 & -3 \\0 & 6 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10 & 30 \\35 & 27 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?A=\begin{pmatrix}-10 & 30 \\35 & 27 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 & -3 \\0 & 6 \\\end{pmatrix}^{-1}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?A=\begin{pmatrix}-10 & 30 \\35 & 27 \\\end{pmatrix}\frac{1}{30}\begin{pmatrix}6 & 3 \\0 & 5 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?A=\frac{1}{30}\begin{pmatrix}-10.6+30.0 & -10.3+30.5 \\35.6+27.0 & 35.3+27.5\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?A=\frac{1}{30}\begin{pmatrix}-60 & 120 \\210 & 240\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?A=\begin{pmatrix}-2 & 4 \\7 & 8\end{pmatrix}$

Kunci Jawaban : Tidak ada yang benar

3. Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}4 & 2 \\5p+q & 5 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 2 \\7 & q+3 \\\end{pmatrix}$ , maka nilai p dan q adalah ....

A. p = 1 dan q = -2

B. p = 1 dan q = 2

C. p = -1 dan q = 2

D. p = 1 dan q = 8

E. p = 5 dan q = 2

Pembahasan

Dengan menggunakan kesamaan matriks sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}4 & 2 \\5p+q & 5 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 2 \\7 & q+3 \\\end{pmatrix}$

Dari baris kedua kolom kedua diperoleh

q + 3 = 5

q = 5 - 3

q = 2

Subtitusi q = 2 ke persamaan dari baris kedua kolom pertama

5p + q = 7

5p + 2 = 7

5p = 7 - 2

5p = 5

p = 5/5

p = 1

Jadi p = 1 dan q = 2

Kunci Jawaban : B

4. Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\4 & 5 \\\end{pmatrix}$ , $https://latex.codecogs.com/svg.image?B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\3 & 4 \\\end{pmatrix}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?C=\begin{pmatrix}-2 & 3 \\-1 & 4 \\\end{pmatrix}$ , maka (A + 2B) - (2B + 2C) adalah ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}6 & 5 \\2 & -6 \\\end{pmatrix}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}6 & -5 \\6 & -3 \\\end{pmatrix}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}6 & -5 \\6 & 13 \\\end{pmatrix}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}6 & -5 \\6 & 1 \\\end{pmatrix}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}6 & -5 \\2 & -3 \\\end{pmatrix}$

Pembahasan

(A + 2B) - (2B + 2C)

= A + 2B - 2B + 2C

= A + 2C

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}2 & 1 \\4 & 5 \\\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}-2 & 3 \\-1 & 4 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}2 & 1 \\4 & 5 \\\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4 & 6 \\-2 & 8 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}2+4 & 1-6 \\4+2 & 5-8 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}6 & -5 \\6 & -3 \\\end{pmatrix}$

Kunci Jawaban : B

5. Diketahui $https://latex.codecogs.com/svg.image?A=\begin{pmatrix}2a & 4 & 6 \\8 & 10 & b \\4c & 5 & 12 \\\end{pmatrix}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?B=\begin{pmatrix}8 & 4 & 6 \\8 & 10 & 4a \\b & 5 & 12 \\\end{pmatrix}$ . Jika A = B, maka c = ....

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

E. 7

Pembahasan

Dua buah matriks dikatakan sama jika memiliki ordo sama dan elemen-elemen yang bersesuaian sama.

A = B

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}2a & 4 & 6 \\8 & 10 & b \\4c & 5 & 12 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8 & 4 & 6 \\8 & 10 & 4a \\b & 5 & 12 \\\end{pmatrix}$

dari kesamaan matriks diatas diperoleh

*) Baris pertama kolom pertama

2a = 8

a = 8/2

a = 4

*) Baris kedua kolom ketiga

b = 4a

b = 4.4

b = 16

*) Baris ketiga kolom pertama

4c = b

4c = 16

c = 16/4

c = 4

Kunci Jawaban : B

6. Jika matriks $https://latex.codecogs.com/svg.image?A=\begin{pmatrix}a & 2 & 3 \\1 & a & 4 \\a & 2 & 5 \\\end{pmatrix}$ tidak memiliki invers maka nilai a = ....

A. -2 atau 2

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?-\sqrt{2}$ atau $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{2}$

C. -1 atau 1

D. 2

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?2\sqrt{2}$

Pembahasan

Suatu matriks dikatakan tidak memiliki invers jika determinannya sama dengan nol.

$https://latex.codecogs.com/svg.image?detA=\begin{vmatrix}a & 2 & 3 \\1 & a & 4 \\a & 2 & 5 \\\end{vmatrix}=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{vmatrix}a & 2 & 3 \\1 & a & 4 \\a & 2 & 5 \\\end{vmatrix}\begin{matrix}a & 2 \\1 & a \\a & 2 \\\end{matrix}=0$

$a.a.5+2.4.a+3.1.2-3.a.a-a.4.a-2.1.5=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?5a^{2}+8a+6-3a^{2}-8a-10=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?5a^{2}-3a^{2}+8a-8a+6-10=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2a^{2}-4=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?a^{2}-2=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( a+\sqrt{2} \right )\left ( a-\sqrt{2} \right )=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( a+\sqrt{2} \right )=0\, \, atau\, \, \left ( a-\sqrt{2} \right )=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?a=-\sqrt{2}\, \, atau\, \, a=\sqrt{2}$

Kunci Jawaban : B

7. Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?2\begin{pmatrix}-1 \\\frac{1}{2} \\\frac{1}{2}\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}4 \\0 \\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2 \\1 \\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\-3 \\-4\end{pmatrix}$ , maka k adalah ....

A. -4

B. -2

C. 2

D. 3

E. 4

Pembahasan

Ambil salah satu baris yang sama dari operasi matriks diatas. Misal akan diambil baris pertama dan dengan menggunaan kesamaan matriks diperoleh

2(-1) + 3(4) + 2k = 2

-2 + 12 + 2k = 2

10 + 2k = 2

2k = 2 - 10

2k = -8

k = -8/2

k = -4

Kunci Jawaban : A

8. Diketahui $https://latex.codecogs.com/svg.image?A=\begin{pmatrix}2 & 3 \\4 & 5 \\\end{pmatrix}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{pmatrix}$ .

(1) $https://latex.codecogs.com/svg.image?AI=\begin{pmatrix}2 & 3 \\4 & 5 \\\end{pmatrix}$

(2) $https://latex.codecogs.com/svg.image?IA=\begin{pmatrix}3 & 2 \\5 & 4 \\\end{pmatrix}$

(3) I . I = I

(4) AA = A

Pernyataan yang benar adalah....

A. (1), (2)

B. (1), (3)

C. (2), (4)

D. (1), (4)

E. (3), (4)

Pembahasan

AI = IA = A

I . I = I

AA $https://latex.codecogs.com/svg.image?\neq$ A

Jadi pernyataan yang benar adalah (1) dan (3)

Kunci Jawaban : B

9. Jika diketahui dua buah matriks $https://latex.codecogs.com/svg.image?A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\4 & -3 \\\end{pmatrix}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?B=\begin{pmatrix}3 \\2\end{pmatrix}$ , maka yang benar diantara hubungan berikut adalah....

A. BA = 3B

B. BA = 3A

C. AB = 3B

D. AB = 3A

E. 3AB = B

Pembahasan

Matriks A berordo 2x2 dan matriks B berordo 2x1, maka operasi yang bisa dilakukan adalah AB dan menghasilkan matriks ordo 2x1, sedangkan BA tidak bisa dilakukan. Sehingga kemungkinan yang benar adalah C atau E. Mari kita cek operasi AB.

$https://latex.codecogs.com/svg.image?AB=\begin{pmatrix}1 & 3 \\4 & -3 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 \\2\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}1.3+3.2 \\4.3-3.2\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}9 \\6\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=3\begin{pmatrix}3 \\2\end{pmatrix}$

Dari operasi diatas jelas terlihat bahwa AB = 3B

Kunci Jawaban : C

10. Diketahui matriks A dan matriks B berordo 2x2. Matriks $https://latex.codecogs.com/svg.image?(A+B)^{2}$ senilai dengan .....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?A^{2}+2AB+B^{2}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?A^{2}+AB+AB+B^{2}$

C. $AA+2AB+BB$

D. $A(A+B)+B(A+B)$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?A^{2}+2BA+B^{2}$

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left ( A+B\right )^{2}=\left ( A+B \right )\left ( A+B \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=A\left ( A+B \right )+B\left ( A+B \right )$

$=AA+AB+BA+BB$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=A^{2}+AB+BA+B^{2}$

Ingat bahwa $https://latex.codecogs.com/svg.image?AB\neq BA$ , $https://latex.codecogs.com/svg.image?AA=A^{2}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?BB=B^{2}$

Kunci Jawaban : D

11. Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}-1 & d \\-b & 3 \\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4 & -5 \\-3 & b \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -1 \\-4 & 3 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2c & 1 \\c & a+1 \\\end{pmatrix}$ , maka a = .....

A. -2

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?-\frac{4}{3}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{2}{3}$

D. 2

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?-\frac{2}{3}$

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}-1 & d \\-b & 3 \\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4 & -5 \\-3 & b \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -1 \\-4 & 3 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2c & 1 \\c & a+1 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}-1+4 & d-5 \\-b-3 & 3+b \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2.2c-1.c & 2.1-1(a+1) \\-4.2c+3.c & -4.1+3(a+1) \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}3 & d-5 \\-b-3 & 3+b \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3c & -a+1 \\-5c & 3a-1 \\\end{pmatrix}$

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

*) Baris pertama Kolom pertama

3 = 3c

c = 3/3

c = 1

*) Baris kedua kolom pertama

-b - 3 = -5c

-b - 3 = -5 . 1

-b - 3 = -5

-b = -5 + 3

-b = -2

b = 2

*) Baris kedua kolom kedua

3+b = 3a - 1

3 + 2 = 3a - 1

3a - 1 = 5

3a = 5 + 1

3a = 6

a = 6/3

a = 2

Kunci Jawaban : D

12. Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\-1 & 1 \\\end{pmatrix}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}$ maka (A + B)(A - B) - (A - B)(A + B) = .....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \\\end{pmatrix}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}-1 & 0 \\0 & 1 \\\end{pmatrix}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?4\begin{pmatrix}-1 & 0 \\0 & 1 \\\end{pmatrix}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?8\begin{pmatrix}-1 & 0 \\0 & 1 \\\end{pmatrix}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?16\begin{pmatrix}-1 & 0 \\0 & 1 \\\end{pmatrix}$

Pembahasan

(A + B)(A - B) - (A - B)(A + B)

= A(A - B) + B(A - B) - (A(A + B) - B(A + B))

= AA - AB + BA - BB -(AA + AB - BA - BB)

= AA - AB + BA - BB -AA - AB + BA + BB

= AA - AA - AB - AB + BA + BA - BB + BB

= - AB - AB + BA + BA

= -2AB + 2BA

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=-2\begin{pmatrix}1 & 1 \\-1 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\-1 & 1 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=-2\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & -1 \\\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}-1 & 1 \\1 & 1 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}-2 & -2 \\-2 & 2 \\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2 & 2 \\2 & 2 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}-4 & 0 \\0 & 4 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=4\begin{pmatrix}-1 & 0 \\0 & 1 \\\end{pmatrix}$

Kunci jawaban : C

13. Diketahui $https://latex.codecogs.com/svg.image?A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \\\end{pmatrix}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{pmatrix}$ jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?A^{2}=pA+qI$ , maka nilai p dan q adalah ....

A. p = 5 dan q = 2

B. p = 5 dan q = -2

C. p = -5 dan q = 2

D. p = 2 dan q = -5

E. p = 2 dan q = 5

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?A^{2}=pA+qI$

AA = pA + qI

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \\\end{pmatrix}=p\begin{pmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \\\end{pmatrix}+q\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}7 & 10 \\15 & 22 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p & 2p \\3p & 4p \\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}q & 0 \\0 & q \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}7 & 10 \\15 & 22 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p+q & 2p \\3p & 4p+q \\\end{pmatrix}$

Dengan menggunakan kesamaan dua matriks diperoleh :

Dari baris pertama kolom kedua

10 = 2p

p = 10/2

p = 5

Dari baris pertama kolom pertama

7 = p + q

5 + q = 7

q = 7 - 5

q = 2

Jadi p = 5 dan q = 2

Kunci Jawaban : A

14. Diketahui matriks $https://latex.codecogs.com/svg.image?A=\begin{pmatrix}1 & a+b \\b & c \\\end{pmatrix}$ , $https://latex.codecogs.com/svg.image?B=\begin{pmatrix}a-1 & 0 \\-c & d \\\end{pmatrix}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?C=\begin{pmatrix}1 & 0 \\1 & 1 \\\end{pmatrix}$ . Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?A+B^{T}=C^{2}$ , dengan $https://latex.codecogs.com/svg.image?B^{T}$ adalah transpose matriks B, maka d =....

A. -1

B. -2

C. 0

D. 1

E. 2

Pembahasan

Diketahui $https://latex.codecogs.com/svg.image?A=\begin{pmatrix}1 & a+b \\b & c \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?B=\begin{pmatrix}a-1 & 0 \\-c & d \\\end{pmatrix}\Leftrightarrow B^{T}=\begin{pmatrix}a-1 & -c \\0 & d \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?C=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{pmatrix}\Leftrightarrow C^{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\1 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\1 & 1 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\2 & 1 \\\end{pmatrix}$

Maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?A+B^{T}=C^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}1 & a+b \\b & c \\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a-1 & -c \\0 & d \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\2 & 1 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}1+a-1 & a+b-c \\b & c+d \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\2 & 1 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}a & a+b-c \\b & c+d \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\2 & 1 \\\end{pmatrix}$

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

*) dari baris pertama kolom pertama

a = 1

*) dari baris kedua kolom pertama

b = 2

*) dari baris pertama kolom kedua

a + b - c = 0

1 + 2 - c = 0

3 - c = 0

-c = -3

c = 3

*) dari baris kedua kolom kedua

c + d = 1

3 + d = 1

d = 1 - 3

d = -2

Kunci Jawaban : B

15. Diketahui matriks $https://latex.codecogs.com/svg.image?A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\4 & 3 \\\end{pmatrix}$ , bilangan x yang memenuhi persamaan |A - xI| = 0 jika |A - xI| determinan dari A - xI adalah .....

A. -1 atau 0

B. 5 atau 0

C. 1 atau 5

D. -1 atau 5

E. -1 atau -5

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?A-xI=\begin{pmatrix}1 & 2 \\4 & 3 \\\end{pmatrix}-x\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}1 & 2 \\4 & 3 \\\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x & 0 \\0 & x \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}1-x & 2 \\4 & 3-x \\\end{pmatrix}$

Sementara diketahui juga

|A - xI| = 0

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{vmatrix}1-x & 2 \\4 & 3-x \\\end{vmatrix}=0$

$(1-x)(3-x)-2.4=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?3-x-3x+x^{2}-8=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?-4x+x^{2}-5=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}-4x-5=0$

$(x-5)(x+1)=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x=5\, \, \textrm{atau}\, \, x=-1$

Kunci Jawaban : D

16. Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}4 & 1 \\3 & a \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & a \\2a + b & 7 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 15 \\7 & 20 \\\end{pmatrix}$ , maka b = ....

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}4 & 1 \\3 & a \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & a \\2a + b & 7 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 15 \\7 & 20 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}4(-1)+1(2a+b) & 4(a)+1(7) \\3(-1)+a(2a+b) & 3(a)+a(7) \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 15 \\7 & 20 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}-4+2a+b & 4a+7 \\-3+2a^{2}+ab & 10a \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 15 \\7 & 20 \\\end{pmatrix}$

*) Dari baris kedua kolom kedua

10a = 20

a = 20/10

a = 2

*) dari baris pertama kolom pertama

-4 + 2a + b = 1

-4 + 2(2) + b = 1

-4 + 4 + b = 1

b = 1

Kunci Jawaban : A

17. Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -2 \\1 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 3 \\5 & -2 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p \\ q\end{pmatrix}$ maka $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=....$

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}5 & 1 \\6 & -1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p \\ q\end{pmatrix}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}6 & -6 \\5 & -2 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p \\ q\end{pmatrix}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}-4 & 13 \\7 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p \\ q\end{pmatrix}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}9 & -1 \\13 & -12 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p \\ q\end{pmatrix}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}1 & -5 \\-4 & 3 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p \\ q\end{pmatrix}$

Pembahasan

Karena $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -2 \\1 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 3 \\5 & -2 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p \\ q\end{pmatrix}$

maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -2 \\1 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 3 \\5 & -1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p \\ q\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}3(2)-2(5) & 3(3)+(-2)(-2) \\1(2)+1(5) & 1(3)+1(-2) \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p \\ q\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}6-10 & 9+4 \\2+5 & 3-2 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p \\ q\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}-4 & 13 \\7 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p \\ q\end{pmatrix}$

Kunci Jawaban : C

18. Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?P\begin{pmatrix}6 & 7 \\8 & 9 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 3 \\4 & 5 \\\end{pmatrix}$ maka P = ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}3 & 2 \\2 & 1 \\\end{pmatrix}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}-3 & 2 \\-2 & 1 \\\end{pmatrix}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}1 & 2 \\2 & 3 \\\end{pmatrix}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}2 & 3 \\1 & 2 \\\end{pmatrix}$

E. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix}3 & -2 \\2 & -1 \\\end{pmatrix}$

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?P\begin{pmatrix}6 & 7 \\8 & 9 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 3 \\4 & 5 \\\end{pmatrix}$

Misal $https://latex.codecogs.com/svg.image?A=\begin{pmatrix}6 & 7 \\8 & 9 \\\end{pmatrix}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?B=\begin{pmatrix}2 & 3 \\4 & 5 \\\end{pmatrix}$ maka

$PA=B$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?PA.A^{-1}=B.A^{-1}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?P=B.A^{-1}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?P=\begin{pmatrix}2 & 3 \\4 & 5 \\\end{pmatrix}\frac{1}{(6)(9)-(7)(8)}\begin{pmatrix}9 & -7 \\-8 & 6 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}2 & 3 \\4 & 5 \\\end{pmatrix}\frac{1}{54-56}\begin{pmatrix}9 & -7 \\-8 & 6 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}2 & 3 \\4 & 5 \\\end{pmatrix}\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}9 & -7 \\-8 & 6 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2 & 3 \\4 & 5 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}9 & -7 \\-8 & 6 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}(2)(9)+3(-8) & (2)(-7)+ (3)(6) \\(4)(9)+5(-8) & (4)(-7)+(5)(6) \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}18-24 & -14+18 \\36-40 & -28+30 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-6 & 4 \\-4 & 2 \\\end{pmatrix}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\begin{pmatrix}3 & -2 \\2 & -1 \\\end{pmatrix}$

Kunci Jawaban : E

19. Coming soon 🙏🙏

Pembahasan Soal-Soal Matriks

Soal-Soal Matriks dan Pembahasannya

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Pembahasan Soal-Soal Matriks

Soal-Soal Matriks dan Pembahasannya

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form