Pembahasan Soal Ujian Program Linier

Berikut ini diberikan soal-soal program linier dan pembahasannya yang diambil dari soal-soal yang pernah diujikan.

Soal 1 (Soal UN Matematika IPA 2017/2018)

Perhatikan gambar berikut !

Sistem pertidaksamaan linier yang sesuai dengan daerah penyelesaian yang diarsir adalah

A. 3x + 5y $\leq$ 15, 4x + 7y $\geq$ 28, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0

B. 3x + 5y $\geq$ 15, 4x + 7y $\leq$ 28, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0

C. 5x + 3y $\geq$ 15, 4x + 7y $\geq$ 28, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0

D. 5x + 3y $\leq$ 15, 4x + 7y $\leq$ 28, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0

E. 5x + 3y $\leq$ 15, 4x + 7y $\geq$ 28, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0

Pembahasan

Cara cepat menentukan persamaan garis lurus, perhatikan gambar berikut.

Keterangan gambar

Angka yang merupakan titik potong di sumbu y dikalikan x dan angka yang merupakan titik potong di sumbu x dikalikan y dan di sama dengannya kalikan kedua angka tersebut

Pada garis warna merah

5x + 3y = 5.3

5x + 3y = 15

Dari soal diketahui arsiran garis ini ke bawah maka diperoleh pertidaksamaannya adalah

5x + 3y $\leq$ 15

Pada garis warna biru

4x + 7y = 4.7

4x + 7y = 28

Dari soal diketahui arsiran garis ini ke atas maka diperoleh pertidaksamaannya adalah

4x + 7y $\geq$ 28

Jadi sistem pertidaksamaan linier dua variabel dari gambar diatas adalah

5x + 3y $\leq$ 15, 4x + 7y $\geq$ 28, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0

Kunci Jawaban : E

Soal 2 (Soal UN Matematika IPA 2017/2018)

Untuk membuat 1 liter minuman jenis A diperlukan 2 kaleng soda dan 1 kaleng susu, sedangkan untuk membuat 1 liter minuman jenis B diperlukan 2 kaleng soda dan 3 kaleng susu. Tersedia 40 kaleng soda dan 30 kaleng susu. Jika 1 liter minuman jenis A dijual seharga Rp30.000,00 dan 1 liter minuman jenis B dijual seharga Rp50.000,00, pendapatan maksimum dari hasil penjualan kedua jenis minuman tersebut adalah ….

A. Rp. 500.000,00

B. Rp. 540.000,00

C. Rp. 600.000,00

D. Rp. 700.000,00

E. Rp. 720.000,00

Pembahasan

Permasalahan diatas disajikan dalam bentuk tabel berikut

Misal Minuman jenis A = x

Minuman jenis B = y

Jenis Minuman	Soda	Susu	Variabel
Minuman Jenis A	2 kaleng	1 kaleng	x
Minuman Jenis B	2 kaleng	3 kaleng	y
Jumlah persediaan	40 kaleng	30 kaleng

Sistem pertidaksamaan linier dua variabel dari tabel diatas adalah

$\left\{\begin{matrix} 2x+2y\leq 40\\ x+3y\leq 30\\ x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$

Bisa disederhanakan menjadi

$\left\{\begin{matrix} x+y\leq 20\\ x+3y\leq 30\\ x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$

Fungsi obyektifnya

Z(x,y) = 30000x + 50000y

= 3x + 5y (dalam puluhan ribu)

Ingat (karena kita ingin meminimumkan fungsi obyektif maka pertidaksamaan kendalanya bertanda $\leq$ )

Gambar grafik fungsi dari sistem pertidaksamaan linier diatas adalah

Jika dilihat dari garis selidik, maka fungsi obyektif maksimum di titik (15,5) dimana nilai maksimum dari titik tersebut adalah

Z(x,y) = 3x + 5y

Z(15,5) = 3.15 + 5.5 = 45 + 25 = 70 (dalam puluhan ribu)

= 700.000,00

Untuk pembahasan masalah garis selidik silahkan dibaca kembali di LINK INI.

Kunci Jawaban : D

Soal 3 (Soal UN Matematika IPS 2017/2018) (Soal aslinya dalam bentuk pilihan ganda, tetapi penulis ubah menjadi soal uraian)

Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variabel 3x + 5y $\geq$ 15, 2x + 5y $\geq$ 10, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0

Pembahasan

Langkah 1 : menggambar grafik pertidaksamaan 3x + 5y $\geq$ 15

Titik potong terhadap sumbu x adalah (5,0)

titik potong terhadap sumbu y adalah (0,3)

Tanda pertidaksamaan $\geq$ berarti arsiran grafik keatas.

Gambar grafiknya adalah

Langkah 2 : Gambar grafik fungsi 2x + 5y $\geq$ 10

Titik potong terhadap sumbu x adalah (5,0)

Titik potong terhadap sumbu y adalah (0,2)

Tanda pertidaksamaan $\geq$ berarti arsiran grafik keatas.

Gambar grafik x $\geq$ 0

Gambar grafik y $\geq$ 0

Gambar grafiknya akhir adalah

Jadi daerah yang diarsir tebal biru merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas.

Soal 4 (Soal Ujian Madrasah Berbasis Komputer 2019/2020)

Nilai maksimum f(x,y) = 5x + 2y dari daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini adalah....

A. 10

B. 16

C. 20

D. 40

E. 50

Pembahasan

Gambar grafik setelah ditambahkan koordinat titik-titik potongnya terhadap sumbu koordinat adalah

Untuk titik A(3,0) nilai f = 15 sehingga persamaan garis selidiknya adalah

5x + 2y = 15

Untuk titik C(10,0) nilai f = 50 sehingga persamaan garis selidiknya adalah

5x + 2y = 50

Untuk titik B(0,8) nilai f = 16 sehingga persamaan garis selidiknya adalah

5x + 2y = 16

Untuk titik D(0,10) nilai f = 20 sehingga persamaan garis selidiknya adalah

5x + 2y = 20

Jika digambarkan grafik garis selidiknya seperti gambar berikut

Dari grafik terlihat bahwa f(x,y) = 5x + 2y maksimal di titik (10,0) karena garis selidik 5x + 2y = 50 hanya memotong titik itu di daerah penyelesaian.

Maka nilai maksimal fungsi obyektifnya adalah 50.

Kunci Jawaban : E

Soal 5 (Soal USBN 2017/2018)

Perhatikan sistem pertidaksamaan berikut

$\left\{\begin{matrix} y-x\leq 2\\ x+2y\geq 4\\ 5x+2y\leq 10\\ x\geq 0;y\geq 0 \end{matrix}\right.$

Gambar grafik dari persamaan linier penyusun sistem pertidaksamaan linier dua variabel diatas adalah

Daerah hasil pertidaksamaan diatas ditunjukkan oleh daerah ....

A. I

B. II

C. III

D. IV

E. V

Pembahasan

Arsiran dari grafik sistem pertidaksamaan diatas adalah

Dari gambar diatas jelas terlihat bahwa irisan dari daerah penyelesaian semua kendala dari sistem pertidaksamaan linier dua variabel diatas adalah daerah IV.

Kunci Jawaban : D

Soal 6 (Soal USBN 2017/2018)

Pada tanah seluas 21.000 meter persegi dibangun perumahan dengan dua tipe. Tipe A dengan luas 150 meter persegi dan tipe B dengan luas 100 meter persegi. Jumlah rumah yang dibangun tidak lebih dari 150 unit. Jika laba untuk setiap rumah tipe A Rp. 10.000.000,00 dan setiap rumah tipe B Rp. 5.000.000,00, maka laba maksimum yang diperoleh adalah....

A. Rp. 1.400.000,00

B. Rp. 1.350.000,00

C. Rp. 1.300.000,00

D. Rp. 1.250.000,00

E. Rp. 1.200.000,00

Pembahasan

Permasalahan pada soal diatas disajikan dalam bentuk tabel berikut

Tipe Rumah	Tipe A	Tipe B	Kendala
Bangunan Rumah	150	100	21.000
Jumlah	x	y	150

Karena dari permasalahan ini ingin memaksimumkan fungsi obyektif, maka tanda pertidaksamaannya adalah $\leq$ .

Sistem pertidaksamaannya adalah

$\left\{\begin{matrix} 150x+100y\leq 21.000\\ x+y\leq 150\\ x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$

disederhanakan menjadi

$\left\{\begin{matrix} 3x+2y\leq 420\\ x+y\leq 150\\ x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$

Fungsi obyektifnya

Z(x,y) = 10.000.000x + 5.000.000y

= 2x + y (dalam jutaan)

Menggambar grafik pertidaksamaan

Untuk $3x+2y\leq 420$

Titik potong terhadap sumbu x adalah (140,0)

Titik potong terhadap sumbu y adalah (0,210)

Untuk $x+y\leq 150$

Titik potong terhadap sumbu x adalah (150,0)

Titik potong terhadap sumbu y adalah (0,150)

Titik potong kedua garis adalah (120,30)

Gambar grafiknya adalah

Kita akan cek nilai optimum fungsi obyektif dengan metode garis selidik

Untuk titik (0,0) diperoleh Z = 0 maka persamaan garis selidik pertama adalah

2x+y = 0

Untuk titik (140,0) diperoleh Z = 280 maka persamaan garis selidik pertama adalah

2x+y = 280

Untuk titik (120,30) diperoleh Z = 270 maka persamaan garis selidik pertama adalah

2x+y = 270

Untuk titik (0,150) diperoleh Z = 150 maka persamaan garis selidik pertama adalah

2x+y = 150

Gambar grafik dengan garis selidik sebagai berikut

Jika dilihat dari garis selidik diatas maka garis selidik 2x + y = 280 berada paling luar dan melalui titik (140,0), maka nilai maksimum fungsi obyektif adalah 280 dalam jutaan

Jadi laba maksimum yang diperoleh adalah Rp. 280.000.000,00

Kunci Jawaban : Tidak ada yang benar

Pembahasan Soal Ujian Program Linier

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Pembahasan Soal Ujian Program Linier

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form