Soal dan Pembahasan Jarak Titik ke Titik Pada Bangun Ruang

Soal 1

Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, hitunglah jarak titik A ke titik F.

Alternatif Penyelesaian

Gambar dari kubus ABCD.EFGH sebagai berikut

Diketahui panjang rusuk kubus = a = 4 cm

Ditanyakan : Jarak titik A ke titik F

Jawab

Jarak titik A ke titik F ada panjang garis AF.

Untuk menghitung panjang gari AF akan digunakan teorema Pythagoras yaitu :

$AF=\sqrt{AB^{2}+BF^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{2.4^{2}}=4\sqrt{2}$

Jadi jarak titik A ke Titik F adalah $4\sqrt{2}$ cm

Soal 2

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, jika titik P berada ditengah-tengah rusuk AB dan titik Q berada ditengah-tengah rusuk FG. Hitunglah jarak titik P dan Q.

Alternatif penyelesaian

Gambar kubus ABCD.EFGH tersebut adalah

Diketahui PB = ½ AB = ½ x 4 = 2 cm

PB = BR = 2 cm QR = 4 cm
Ditanyakan : PQ = …..?

Jawab
Perhatikan segitiga PBR

$PR=\sqrt{PB^{2}+BR^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Perhatikan segitiga PRQ

$PQ=\sqrt{PR^{2}+RQ^{2}}=\sqrt{\left ( 2\sqrt{2} \right )^{2}+4^{2}}=\sqrt{8+16}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$

Jadi jarak titi P ke titik Q adalah $2\sqrt{6}$ cm

Soal 3

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, jika titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah AB dan AD, titik R adalah titik potong EG dan HF dan titik S adalah titik potong AC dan PQ. Hitunglah Jarak titik S ke titik R.

Alternatif Penyelesaian

Gambar kubus diatas sebagai berikut

Diketahui : AB = 8 cm, AP = ½ AB, AQ = ½ AD

Ditanyakan : Jarak titik S dan ke titik R

Perhatikan segitiga DOA dan segitiga ASQ. Dari konsep kesebangunan diperoleh :

$\angle OAD=\angle SAQ$ (Sudut berimpit)

$\angle DOA=\angle QSA$ (Sudut Sehadap)

$\angle ODA=\angle SQA$ (Sudut Sehadap)

Titik Q di tengah-tengah rusuk AD maka dan titik P ditengah-tengah rusuk AB, maka

$\frac{AQ}{AD}=\frac{AS}{AO}=\frac{SQ}{OD}$

Karena sudut-sudut yang bersesuaian dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama dari segitiga DOA dan segitiga ASQ, maka dikatakan segitiga DOA sebangun dengan segitiga ASQ. Sehingga diperoleh

$\frac{AQ}{AD}=\frac{AS}{AO}$

$\frac{4}{8}=\frac{AS}{4\sqrt{2}}$

$AS=\frac{4.4\sqrt{2}}{8}=\frac{16\sqrt{2}}{8}=2\sqrt{2}$

Panjang OS = AO – AS $=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

Maka jarak titik S dan R adalah panjang garis SR

$SR=\sqrt{OR^{2}+OS^{2}}=\sqrt{8^{2}+\left ( 2\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{64+8}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$

Jadi jarak titik S ke titik R adalah $6\sqrt{2}$ cm

Soal 4

Diketahui limas beraturan T.ABC dengan bidang alas berbentuk segitiga sama sisi. TA tegak lurus dengan bidang alas. Jika panjang AB = $4\sqrt{2}$ cm dan TA = 4 cm, tentukan jarak antara titik T dan C.

Alternatif penyelesaian

Gambar dari bangun limas beraturan T.ABC sebagai berikut

Diketahui AB = $4\sqrt{2}$ cm, TA = 4 cm

Ditanyakan : Jarak titik T ke titik C

Jawab

Jarak titik T ke titik C adalah Panjang garis TC

$TC=\sqrt{TA^{2}+AC^{2}}=\sqrt{4^{2}+\left ( 4\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{16+32}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

Jadi jarak titik T ke titik C adalah $4\sqrt{3}$ cm

Soal 5

Perhatikan limas segi enam beraturan berikut. Diketahui panjang AB = 10 cm dan TA = 13 cm. Titik O merupakan titik tengah garis BE. Tentukan jarak titik T ke titik O.

Alternatif penyelesaian

Diketahui BE = 2 . AB = 2 . 10 = 20 cm

OB = ½ BE = ½ . 20 = 10 cm

TB = TA = 13 cm

Sehingga jarak titik T ke titik O adalah panjang garis TO

$TO=\sqrt{TB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{13^{2}-10^{2}}=\sqrt{169-100}=\sqrt{69}$

Jadi jarak titik T ke titik O adalah $\sqrt{69}$ cm

Soal 6

Perhatikan bangun dibawah. Jika diketahui panjang AB = 5 cm, AE = BC = EF = 4 cm, maka tentukan :

a. Jarak titik A ke titik C

b. Jarak titik E ke titik C

c. Jarak titik A ke titik G

Alternatif penyelesaian

a. Jarak titik A ke titik C adalah panjang garis AC

$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+4^{2}}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$

Jadi jarak titik A ke Titik C adalah $\sqrt{41}$ cm

b. Jarak antara titik E ke titik C adalah panjang garis EC

$EC=\sqrt{AE^{2}+AC^{2}}=\sqrt{4^{2}+\left ( \sqrt{41}\right )^{2}}=\sqrt{16+41}=\sqrt{57}$

Jadi jarak titik E ke Titik C adalah $\sqrt{57}$ cm

c. Jarak titik A ke titik G adalah panjang garis AG

Perhatikan segitiga EFG

FG = BC = 4 cm, maka

$EG=\sqrt{EF^{2}+FG^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2}$

Sehingga jarak titik A ke titik G adalah

$AG=\sqrt{AE^{2}+EG^{2}}=\sqrt{4^{2}+\left ( 4\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{16+32}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

Jadi jarak titik A ke Titik G adalah $4\sqrt{3}$ cm

Soal 7

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Jika titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga PB = 2a, dan titik Q pada perpanjangan FG sehingga QG = a. Tentukan jarak titik P ke titik Q.

Alternatif Penyelesaian

Gambar dari kubus diatas sebagai berikut

Perhatikan segitiga BFQ, diperoleh :

FQ = FG + GQ = a + a = 2a

Sehingga

$BQ=\sqrt{BF^{2}+FQ^{2}}=\sqrt{a^{2}+\left ( 2a \right )^{2}}=\sqrt{5a^{2}}=a\sqrt{5}$

Perhatikan segitiga QBP adalah segitiga siku-siku maka

$PQ=\sqrt{BQ^{2}+BP^{2}}=\sqrt{\left ( a\sqrt{5} \right )^{2}+\left ( 2a \right )^{2}}=\sqrt{9a^{2}}=3a$

Jadi jarak titik P ke titik Q adalah 3a cm

Soal 8

Panjang rusuk dari limas segitiga beraturan T.ABC sama dengan 16 cm. Jika P pertengahan AT dan Q pertengahan BC, tentukan Jarak titikP ke titik Q.

Alternatif Penyelesaian

Gambar dari limas pada soal diatas sebagai berikut.

Diketahui :

AP = ½ AT = ½ 16 = 8 cm

BQ = ½ BC = ½ 16 = 8 cm

Ditanyakan : Jarak titik P ke titik Q

Jawab

Perhatikan segitiga AQB

$AQ=\sqrt{AB^{2}-BQ^{2}}=\sqrt{16^{2}-8^{2}}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}$

Segitiga APQ merupakan segitiga siku-siku di titil P, sehingga

$PQ=\sqrt{AQ^{2}-AP^{2}}=\sqrt{\left ( 8\sqrt{3} \right )^{2}-8^{2}}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$

Jadi jarak titik P ke titik Q adalah $8\sqrt{2}$ cm

Soal 9

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. S merupakan proyeksi titik C pada bidang AFH. Tentukan jarak titik A ke titik S.

Alternatif penyelesaian

Gambar dari kubus pada soal diatas sebagai berikut.

Perhatikan segitiga ACE dan segitiga ACS, kedua segitiga tersebut sebangun, sehingga berlaku.

$AC^{2}=CS.CE$

$CS=\frac{AC^{2}}{CE}=\frac{\left ( a\sqrt{2} \right )^{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{2a^{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{2}{3}a\sqrt{3}$

Perhatikan segitiga ACS, diperoleh :

$AS=\sqrt{AC^{2}-CS^{2}}=\sqrt{\left ( a\sqrt{2} \right )^{2}-\left ( \frac{2}{3}a\sqrt{3} \right )^{2}}$

$AS=\sqrt{2a^{2}-\frac{4}{3}a^{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}a^{2}}=\frac{a}{3}\sqrt{6}$

Jadi jarak titik A ke titik S adalah $\frac{a}{3}\sqrt{6}$ cm

Soal 10

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Jika titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga PB = 2a, dan titik Q pada perpanjangan FG sehingga QG = a, hitunglah jarak titik P ke titik Q.

Alternatif penyelesaian

Gambar kubus dari soal diatas sebagai berikut.

Dari soal dan gambar diketahui

PB = 2a

QG = RC = a sehingga BR = 2a

RQ = a

Perhatikan segitiga PBR diperoleh :

$PR=\sqrt{PB^{2}+BR^{2}}=\sqrt{\left ( 2a \right )^{2}+\left ( 2a \right )^{2}}=\sqrt{8a^{2}}=2a\sqrt{2}$

Perhatikan segitiga PRQ

$PQ=\sqrt{PR^{2}+QR^{2}}=\sqrt{\left ( 2a\sqrt{2} \right )^{2}+a^{2}}=\sqrt{8a^{2}+a^{2}}=\sqrt{9a^{2}}=3a$

Jadi jarak titik P ke titik Q adalah 3a

Menghitung jarak titik ke garis pada bangun ruang dengan cara kesamaan luas segitiga

Menghitung jarak titik ke garis pada bangun ruang menggunakan aturan cosinus

Menghitung jarak titik ke bidang pada bangun ruang

Soal dan pembahasan jarak titik ke garis pada bangun ruang

Pembahasan soal jarak titik ke bidang pada bangun ruang

Jarak garis ke garis pada bangun ruang

Jarak garis ke bidang pada bangun ruang

Cara menghitung jarak bidang ke bidang pada bangun ruang

Soal 11

Kamar suatu ruangan mempunyai ukuran 5m × 3m x 4m (p x l x t). Di tengah pertemuan dua dinding dipasang lampu. Hitunglah Jarak terjauh antara lampu dan pojok ruangan.

Alternatif Penyelesaian

Gambar ruangan tersebut sebagai berikut

Dari gambar dapat kita lihat titik pojok ke lampu yang memiliki jarak yang sama adalah

DT = HT, AT = ET, BT = FT dan CT = GT

Kita akan hitung satu persatu jarak diatas.

Untuk menghitung panjang DT perhatikan segitiga DCT

$DT=\sqrt{DC^{2}+CT^{2}}=\sqrt{5^{2}+2^{2}}=\sqrt{29}$

Untuk menghitung panjang AT perhatikan segitiga ABC dan segitiga ACT

Dari segitiga ABC, hitunglah panjang AC

$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+3^{2}}=\sqrt{34}$

Dari segitiga ACT, hitunglah panjang AT

$AT=\sqrt{AC^{2}+CT^{2}}=\sqrt{\left ( \sqrt{34} \right )^{2}+2^{2}}=\sqrt{38}$

Untuk menghitung panjang BT perhatikan segitiga BCT

$BT=\sqrt{BC^{2}+CT^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$

Dari perhitung diatas diperoleh jarak titik pojok ke lampu

DT = HT = $\sqrt{29}$

AT = ET = $\sqrt{38}$

BT = FT = $\sqrt{13}$

CT = GT = 2

Terlihat bahwa jarak terjauh adalah AT = ET = $\sqrt{38}$ meter

Soal 12

Dua buah titik A dan B berpisah dalam jarak d. Jika koordinat titik A(3,-2) dan B(-3,4), maka tentukanlah jarak antara titik A dan B.

Alternatif Penyelesaian

$d=\sqrt{\left ( x_{2}-x_{1} \right )^{2}+\left ( y_{2}-y_{1} \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -3-3 \right )^{2}+\left ( 4-\left ( -2 \right ) \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left ( -6 \right )^{2}+\left ( 6 \right )^{2}}$

$=\sqrt{36 +36}$

$=\sqrt{2.36}$

$=6\sqrt{2}$

Soal 13

Pada ruangan berbentuk kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm, seekor cecak hendak merayap di dinding dari titik A ke titik G. Berapa jarak terpendek yang dapat ditempuh cecak?

Alternatif Penyelesaian

Lintasan cecak dapat digambarkan sebagai berikut.

Untuk memudahkan perhitungan dinding ADHE dibuat lurus dengan diniding CDHE yaitu dinding DA'E'H sehingga lintasan cecak adalah panjang garis A'G.

Dari soal dan gambar diketahui

A'C = A'D + DC

= a + a = 2a

CG = a

sehingga dapat dihitung panjang garis A'G yaitu

$A'G =\sqrt{A'C^{2}+CG^{2}}$

$=\sqrt{\left ( 2a \right )^{2}+a^{2}}$

$=\sqrt{4a^{2}+a^{2}}$

$=\sqrt{5a^{2}}$

$=a\sqrt{5}$

Jadi panjang terpendek lintasan cecak adalah $a\sqrt{5}$ cm.

Untuk mempelajari pembahasan soal jarak titik ke garis silahkan klik DISINI

Untuk pembahasan cara menghitung jarak titik ke titik menggunakan aplikasi Geogebra dapat dipelajari melalui link https://www.sambimatika.my.id/2022/09/cara-menghitung-jarak-titik-ke-titik-menggunakan-aplikasi-geogebra.html

Demikian pembahasan beberapa soal pada sub pokok bahasan jarak titik ke titik pada bangun ruang. Komentar dan saran sangat diharapkan untuk perbaikan dan pengembangan website ini. Selamat belajar dan tetap semangat. Terimakasih.

Soal dan Pembahasan Jarak Titik ke Titik Pada Bangun Ruang

2 تعليقات

إرسال تعليق

نموذج الاتصال

Soal dan Pembahasan Jarak Titik ke Titik Pada Bangun Ruang

You might like

2 تعليقات

إرسال تعليق

نموذج الاتصال