Cara Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Aljabar

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI ALJABAR

Salah satu penggunaan turunan fungsi adalah untuk menentukan nilai minimun dan maksimum fungsi. Untuk membahas topik ini. perhatikan gambar berikut.

Aplikasi Turunan Untuk Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Aljabar

Dari gambar diatas, perhatikan sifat berikut

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki turunan pertama dan kedua pada , sehingga

  1. Jika , maka titik  disebut titik stasioner/titik kritis/titik balik 
  2. Jika  dan , maka titik  disebut titik balik minimum fungsi
  3. Jika  dan , maka titik  disebut titik balik maksimum fungsi
  4. Jika , maka titik  disebut titik belok fungsi


Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh soal 1

Jika  adalah turunan pertama fungsi f(x) dan   adalah turunan keduanya, maka tentukan turunan kedua fungsi-fungsi berikut

1. f(x) = 3x - 2


Jawab

f '(x) = 3x

f ''(x) = 3


2. 


Jawab


3. 


Jawab


4. 


Jawab


5. 


Jawab


Contoh Soal 2

Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum jika ada fungsi-fungsi berikut

1. 


Jawab

Langkah 1. Menentukan pembuat nol fungsi

Fungsi f(x) memotong sumbu x jika f(x) = 0

x(x - 2) = 0

x = 0 atau x - 2 = 0

                      x = 2

Jadi kurva memotong sumbu x di titik (0,0) dan (2,0)


Langkah 2. Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun

Fungsi naik jika f '(x) > 0

2x - 2 > 0

2x > 2

x > 1

Fungsi turun jika f '(x) < 0

2x - 2 < 0

2x < 2

x < 1

Jadi interval fungsi naik adalah {x | x > 1 dengan x bilangan real}

Interval fungsi turun adalah {x |x < 1 dengan x bilangan real}


Langkah 3 : Menentukan titik stasioner

Titik stasioner diperoleh jika f '(x) = 

2x = 2

x = 1

Substitusikan x = 1 ke fungsi f(x)

Jadi titik stasioner fungsi  adalah (1, -1)


Langkah 4. Menentukan jenis titik stasioner

Cara 1. Uji jenis titik stasioner juga dapat dilakukan dengan uji selang yaitu

Dari Uji selang terlihat bahwa pada x = 1 gradien = 0 dan merupakan nilai absis yang menyebabkan fungsi bernilai minimum, maka

Jadi nilai minimum fungsi adalah f(1) = -1

Cara 2 : Turunan kedua

Kita akan uji titik stasioner ke turunan kedua yaitu jika f ''(x) > 0 maka titik (x,f(x)) adalah titik balik minimum fungsi

f ''(x) = 2

f ''(x) > 0

Karena f ''(x) > 0, maka titik (1, -1) adalah titik balik minimum

Sehingga nilai minimum fungsi  adalah f(1) = -1

Fungsi tidak memiliki nilai maksimum.

Jika grafik fungsi  digambarkan sebagai berikut


2. 


Jawab

Langkah 1 : Menentukan pembuat nol fugsi

Akan dicek nilai diskriminannya apakah grafik memotong sumbu x atau tidak

    

    

    

    

    

Karena D < 0 maka grafik tidak memotong sumbu x


Langkah 2. Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun

Fungsi naik jika f '(x) > 0

Jadi fungsi naik pada interval {x | , x bilangan ril}

Fungsi turun jika f '(x) < 0

Jadi fungsi turun pada interval {x | , x bilangan ril}


Langkah 3 : Menentukan titik stasioner

Titik stasioner atau titik balik diperoleh jika f '(x) = 

substitusi  ke fungsi 

 

                        

                        

                        

                        

Jadi titik stasioner atau titik balik adalah 


Langkah 4. Menentukan jenis titik stasioner

Cara 1 : Uji selang

Terlihat bahwa pada  gradien = 0, titik sebelumnya gradien positif artinya grafik naik dan titik sesudahnya gradien negatif artinya grafik turun.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa pada  terjadi nilai f(x) maksimum, sehingga

 

                        

                        

                        

                        

Jadi  merupakan nilai maksimum fungsi


Cara 2 : Uji turunan kedua

Kita akan uji titik stasioner/titik balik ke turunan kedua yaitu jika f ''(x) < 0 maka titik (x,f(x)) adalah titik balik maksimum fungsi

f ''(x) = -1

f ''(x) < 0

Karena f ''(x) < 0, maka titik  adalah titik balik maksimum

Jika grafik fungsi  digambarkan sebagai berikut





Baca Juga :

Menyelesaikan Soal Turunan Menggunakan Definisi Turunan

Aturan Pencarian Turunan dan Pembahasan Soal

Konsep Turunan Fungsi Untuk Mencari Persamaan Garis Singgung Kurva

Aplikasi Turunan Untuk Menentukan Interval Fungsi Naik dan Turun

Menghitung Kecepatan dan Percepatan Menggunakan Turunan Fungsi Aljabar


3. 

Langkah 1 . Menentukan titik potong terhadap sumbu x

 

x = 0 atau x = 1 atau x = -1

Jadi grafik memotong sumbu x di titik (-1,0), (0,0) dan (1,0)


Langkah 2 : Menentukan interval naik dan turun

Fungsi naik jika f '(x) > 0

Perhatikan garis bilangan berikut

Jadi fungsi naik pada interval  atau  

Fungsi turun jika  f '(x) < 0

 

Perhatikan garis bilangan berikut

Jadi grafik turun pada interval 



Langkah 3 : Menentukan titik stasioner

Titik stasioner atau titik balik diperoleh jika f '(x) = 

Substitusi  ke persamaan 

 

= - 0,38

Koordinat titik balik pertama adalah  atau (0,58 ; -0,38)

= 0,38

Koordinat titik balik kedua adalah atau (-0,58 ;0,38)


Langkah 4. Uji jenis titik stasioner

Aka dilakukan uji selang yaitu


Jika dilihat uji selang tersebut, maka fungsi tidak memiliki nilai maksimum ataupun nilai minimum. Tetapi jika dibatasi Daerah asalnya yaitu -1 < x < 1 maka 

Nilai maksimum = 

Nilai Minimum = 

Jika grafik fungsi  sebagai berikut

4. Sebuah bola dilambungkan ke atas. Jika lintasan bola berbentuk parabola dengan persamaan lintasan  dan dengan mengabaikan percepatan gravitasi bumu dan kecepatan awal bola, hitunglah tinggi maksimal dari bola tersebut.

Jawab

Langkah 1 . Menentukan titik stasioser lintasan bola yaitu jika h'(t) = 0

h'(t) = 0

-2t + 1 = 0

-2t = -1

subtitusi  ke persamaan lintasan bola 

                            

                            

                            

Langkah 2 : Uji Nilai stasioner yaitu lintasan bola memiliki nilai maksimal jika h''(t) < 0

h''(t) = -2

karena h''(t) < 0 maka  merupakan nilai maksimal lintasan bola.

Jadi tinggi maksimal bola adalah  satuan tinggi.


Demikian pembahasan aplikasi turunan untuk menentukan nilai maksimum dan minimum funhsi aljabar. Semoga pembahasan ini bermanfaat.

Post a Comment

Terimakasih untuk anda telah berkomentar di postingan ini

Previous Post Next Post