Aturan Pencarian Turunan dan Pembahasan Soal

Seperti pada pembahasan pada postingan sebelum ini, bahwa proses pencarian turunan menggunakan definisi turunan $f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dapat memakan dan waktu dan membosankan, walaupun begitu bagi para pelajar yang baru memulai mempelajari turunan wajib memhami konsep tersebut.

Untuk memudahkan pencarian turunan dari fungsi aljabar sudah dikembangkan alat/rumusan yang akan memperpendek proses yang berkepanjangan. Rumusan tersebut memungkinkan untuk mencari turunan semua fungsi yang terlihat rumit dengan cepat.

ATURAN PENCARIAN TURUNAN

Misal f, u, v adalah fungsi yang terdefrensialkan dan k suatu konstanta, berlaku aturan (teorema) berikut ini :

1. Jika f(x) = k, maka f'(x) = 0 (Aturan konstanta)

2. Jika f(x) = x, maka f'(x) = 1 (Aturan fungsi Identitas)

3. Jika f(x) = kx, maka f'(x) = k

4. Jika $f(x)=x^{n}$ maka $f'(x)=nx^{n-1}$

5. Jika f(x) = ku(x), maka f'(x) = ku'(x)

6. Jika $f(x)=u(x)\pm v(x)$ maka $f'(x)=u'(x)\pm v'(x)$

7. Jika f(x) = u(x)v(x) maka f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

8. Jika $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^{2}}$

ATURAN RANTAI

Misal fungsi komposisi y = f(g(x), dengan u = g(x) sehingga y = f(u) dan turunan y terhadap x dinotasikan dengan $\frac{dy}{dx}$ , turunan y terhadap u dinotasikan dengan $\frac{dy}{du}$ , dan turunan u terhadap x dinotasikan dengan $\frac{du}{dx}$ , maka

$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

aturan ini juga berlaku jika fungsi komposisinya lebih dari dua fungsi, misal y = f(g(h(x)), dengan u = f(x), v = g(x), maka

$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dv}\frac{dv}{dx}$

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut.

1. $f(x)=x^{3}$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan no. 4, diketahui n = 3, maka

$f'(x)=3x^{3-1}$

$=3x^{2}$

2. $f(x)=x^{2}-5x+6$

Pembahasan

Dengan menggunakan gabungan aturan no 1 - 6 diperoleh

$f'(x)=2x^{2-1}-5x^{1-1}+0$

$=2x^{1}-5x^{0}$

$=2x-5.1$

$=2x-5$

3. $f(x)=x^{3}(x-5)$

Pembahasan

Cara 1 . Dengan menggunakan aturan no. 7

Diketahui

$u=x^{3}$ , maka $u'=3x^{2}$

v = x - 5, maka v' = 1

Sehingga

f'(x) = u'v + uv'

$=3x^{2}x-5)+x^{3}.1$

$=3x^{2}(x-5)+x^{3}.1$

$=3x^{2}.x-3x^{2}.5+x^{3}$

$=3x^{3}-15x^{2}+x^{3}$

$=4x^{3}-15x^{2}$

Cara 2. Dengan menjabarkan f(x) terlebih dahulu yaitu

$f(x)=x^{3}(x-5)$

$=x^{3}.x-x^{3}.5$

$=x^{4}-5x^{3}$

sehingga diperoleh

$f'(x)=4x^{3}-15x^{2}$

4. $f(x)=\frac{4x+1}{2x-1}$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan no. 8 diperoleh

Diketahui

u = 4x + 1, maka u' = 4

v = 2x - 1, maka v' = 2

sehingga

$f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$

$=\frac{4(2x-1)-(4x+1)2}{(2x-1)^{2}}$

$=\frac{(8x-4)-(8x+2)}{(2x-1)^{2}}$

$=\frac{8x-4-8x-2}{(2x-1)^{2}}$

$=\frac{-4-2}{(2x-1)^{2}}$

$=\frac{-6}{(2x-1)^{2}}$ (jika ingin dijabarkan lagi diperoleh)

$=-\frac{6}{4x^{2}-4x+1$

5. $f(x)=\frac{x+2}{2x^{2}-1}$

Pembahasan

Diketahui

$u=x+2\rightarrow u'=1$

$v=2x^{2}-1\rightarrow v'=2x$

sehingga diperolah

$f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$

$=\frac{1(2x^{2}-1)-(x+2)2x}{\left ( 2x^{2}-1 \right )^{2}}$

$=\frac{(2x^{2}-1)-(2x^{2}+4x)}{\left ( 2x^{2}-1 \right )^{2}}$

$=\frac{2x^{2}-1-2x^{2}-4x}{\left ( 2x^{2}-1 \right )^{2}}$

$=\frac{-1-4x}{\left ( 2x^{2}-1 \right )^{2}}$

6. $f(x)=\left ( x^{2}-4 \right )^{2}$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan rantai

Diketahui

$u=x^{2}-4\rightarrow \frac{du}{dx}=2x$

$y=u^{2}\rightarrow \frac{dy}{du}=2u$

sehingga diperoleh

$f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

$=2u.2x$

$=4ux$ (Substitusi nilai u diatas)

$=4(x^{2}-4)x$

$=4(x^{3}-4x)$

$=4x^{3}-16x$

Konsep Turunan Fungsi Untuk Mencari Persamaan Garis Singgung Kurva

Aplikasi Turunan Untuk Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Aplikasi Turunan Untuk Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Aljabar

Menghitung Kecepatan dan Percepatan Menggunakan Turunan Fungsi Aljabar

7. Soal UN Tahun 2015

Turunan pertama dari $f(x)=\left ( x^{2}+5x \right )^{3}$ adalah....

A. $f'(x)=\left ( x^{2}+5x \right )^{2}(2x+15)$

B. $f'(x)=\left ( x^{2}+5x \right )^{2}(6x+15)$

C. $f'(x)=( x^{2}+5x )(6x+15)$

D. $f'(x)=3( x^{2}+5x )^{2}$

E. $f'(x)=3( x^{2}+5x )$

Pembahasan

dengan menggunakan aturan rantai

Misal

$u=( x^{2}+5x )\rightarrow \frac{du}{dx}=2x+5$

$y=u^{3}\rightarrow \frac{dy}{du}=3u^{2}=3(x^{2}+5x)^{2}$

Sehingga diperoleh

$f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

$=3(x^{2}+5x)^{2}(2x+5)$

$=(x^{2}+5x)^{2}(6x+15)$

Kunci Jawaban B

8. $f(x)=\left ( \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x \right )^{4}$

Pembahasan

Misal

$u=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x\rightarrow \frac{du}{dx}=x-\frac{1}{3}$

$y=u^{4}\rightarrow \frac{dy}{du}=4u^{3}=4\left ( \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x \right )^{3}$

sehingga diperoleh

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

$=4\left ( \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x \right )^{3}\left ( x-\frac{1}{3} \right )$

$=\left ( \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x \right )^{3}\left ( 4x-\frac{4}{3} \right )$

9. $f(x)=\sqrt{2x^{3}-1}$

Penyelesaian

Bentuk f(x) diatas diubah terlebih dahulu ke bentuk perpangkatan yaitu

$f(x)=\left ( 2x^{3}-1 \right )^{\frac{1}{2}}$

Dari bentuk terakhir ini diketahui

$u=2x^{3}-1\rightarrow \frac{du}{dx}=6x^{2}$

$y=u^{\frac{1}{2}}\rightarrow \frac{dy}{du}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$

$=\frac{1}{2u^{\frac{1}{2}}}$

$=\frac{1}{2(2x^{3}-1)^{\frac{1}{2}}}$

$=\frac{1}{2\sqrt{2x^{3}-1}$

Sehingga diperoleh

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

$=\frac{1}{2\sqrt{2x^{3}-1}}.6x^{2}$

$=\frac{6x^{2}}{2\sqrt{2x^{3}-1}}$

$=\frac{3x^{2}}{\sqrt{2x^{3}-1}}$

10. $f(x)=2x^{2}(-3x+1)^{3}$

Pembahasan

Misal

$u=2x^{2}\to u'=4x$

$v=(-3x+1)^{3}\rightarrow v'=3(-3x+1)^{2}(-3)$

$=-9(-3x+1)^{2}$

(silahkan dicek menggunakan aturan rantai diatas)

Sehingga diperoleh

$f'(x)=u'v+uv'$

$=\left ( (4x)(-3x+1)^{3} \right )+\left ( (2x^{2})\left ( -9(-3x+1)^{2} \right ) \right )$

$=\left ( (4x)(-3x+1)^{3} \right )-\left ( (18x^{2})\left ( (-3x+1)^{2} \right ) \right )$

$=(-3x+1)^{2}\left ( 4x(-3x+1)-18x^{2} \right )$

$=(-3x+1)^{2}\left ( -12x^{2}+4x-18x^{2} \right )$

$=(-3x+1)^{2}\left ( -30x^{2}+4x \right )$

Demikian pembahasan tentang aturan pendarian turunan dan pembahasan soal, semoga bisa membantu dalam menyelesaikan soal-soal turunan. Berikutnya akan dibahas Penyelesaian masalah turunan yang berkaitan dengan gradien garis dan masalah sehari-hari.

Aturan Pencarian Turunan dan Pembahasan Soal

ATURAN PENCARIAN TURUNAN

ATURAN RANTAI

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Aturan Pencarian Turunan dan Pembahasan Soal

ATURAN PENCARIAN TURUNAN

ATURAN RANTAI

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form