Soal Turunan Fungsi Aljabar Menggunakan Definisi Turunan

Pada bahasan Turunan Fungsi Aljabar ini kita akan memulainya dari konsep yang paling dasar yaitu definisi dari turunan fungsi aljabar, sehingga semua penyelesaian soal-soal pada bahasan ini akan menggunakan definisi tersebut. Mungkin nantinya dalam penyelesaian soal akan terlihat bertele-tele, tetapi seyogyanya, seorang pelajar harus menguasai hal ini terlebih dahulu sebelum mempelajari teorema-teorema dan sifat-sifat yang berhubungan dengan turunan fungsi aljabar ini.

Definisi Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi f adalah fungsi lain f' (dibaca f aksen) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah
$f'(c)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$
asalkan limit ini ada

Bentuk diatas juga berlaku untuk sembarang nilai x yaitu

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Contoh Soal dan Pembahasan

Gunakan $f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ untuk menentukan turunan di x dari soal berikut

a. $f(x)=2x+1$

b. $f(x)=3x^{2}+4$

c. $f(x)=\alpha x+\beta$

d. $f(x)=x^{2}+x+1$

e. $f(x)=ax^{2}+bx+c$

f. $f(x)=\frac{2}{x}$

g. $f(x)=\frac{6}{x^{2}+1}$

h. $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$

Pembahasan

a. $f(x)=2x+1$

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(2(x+h)+1)-(2x+1)}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{2x+2h+1-2x-1}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{2h}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}2=2$

b. $f(x)=3x^{2}+4$

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\left ( 3(x+h)^{2}+4 \right )-(3x^{2}+4)}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\left ( 3(x^{2}+2xh+h^{2}) \right )+4-3x^{2}-4}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{3x^{2}+6xh+3h^{2}+4-3x^{2}-4}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{6xh+3h^{2}}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{h(6x+3h)}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}6x+3h$

$=6x+3.0$

$=6x$

c. $f(x)=\alpha x+\beta$

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\alpha (x+h)+\beta -(\alpha x+\beta )}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\alpha x+\alpha h+\beta -\alpha x-\beta }{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\alpha h }{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\alpha$

$=\alpha$

d. $f(x)=x^{2}+x+1$

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\left ( (x+h)^{2}+(x+h)+1 \right )-(x^{2}+x+1)}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}+x+h+1-x^{2}-x-1}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{2xh+h^{2}+h}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{h(2x+h+1)}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}2x+h+1$

$=2x+0+1$

$=2x+1$

e. $f(x)=ax^{2}+bx+c$

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\left (a(x+h)^{2}+b(x+h)+c \right )-(ax^{2}+bx+c)}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\left ( a(x^{2}+2xh+h^{2})+bx+bh+c \right )-ax^{2}-bx-c}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{ax^{2}+2axh+ah^{2}+bx+bh+c-ax^{2}-bx-c}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}=\frac{2axh+ah^{2}+bh}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{h(2ax+ah+b)}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}2ax+ah+b$

$=2ax+a.0+b$

$=2ax+b$

(Dari pembahasan soal a - e, perhatikan pola yang terbentuk ini akan menjadi dasar pada aturan pencarian turunan selanjutnya)

Konsep Turunan Fungsi Untuk Mencari Persamaan Garis Singgung Kurva

Aplikasi Turunan Untuk Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Aplikasi Turunan Untuk Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Aljabar

Menghitung Kecepatan dan Percepatan Menggunakan Turunan Fungsi Aljabar

f. $f(x)=\frac{2}{x}$

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{2}{x+h}-\frac{2}{x}}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{2x-2(x+h)}{(x+h)x}}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{2x-2(x+h)}{(x^{2}+xh)}}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{2x-2x-2h}{(x^{2}+xh)h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{-2h}{(x^{2}+xh)h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{-2}{(x^{2}+xh)}$

$=\frac{-2}{(x^{2}+x.0)}$

$=-\frac{2}{x^{2}}$

g. $f(x)=\frac{6}{x^{2}+1}$

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{6}{(x+h)^{2}+1}-\frac{6}{x^{2}+1}}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{6(x^{2}+1)-6((x+h)^{2}+1)}{((x+h)^{2}+1)(x^{2}+1)}}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(6x^{2}+6)-(6(x^{2}+2xh+h^{2}+1))}{h(x^{2}+2xh+h^{2}+1)(x^{2}+1)}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{6x^{2}+6-6x^{2}-12xh+h^{2}-6}{h(x^{2}+2xh+h^{2}+1)(x^{2}+1)}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{-12xh+h^{2}}{h(x^{2}+2xh+h^{2}+1)(x^{2}+1)}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{h(-12x+h)}{h(x^{2}+2xh+h^{2}+1)(x^{2}+1)}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{-12x+h}{(x^{2}+2xh+h^{2}+1)(x^{2}+1)}$

$=\frac{-12x+0}{(x^{2}+2x.0+0^{2}+1)(x^{2}+1)}$

$=\frac{-12x}{(x^{2}+1)(x^{2}+1)}$

$=\frac{-12x}{(x^{2}+1)^{2}}$

h. $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{(x+h)-1}{(x+h)+1}-\frac{x-1}{x+1}}{h}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{((x+h)-1)(x+1)-((x-1)((x+h)+1))}{h((x+h)+1)(x+1)}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}=\frac{(x^{2}+x+hx+h-x-1)-(x^{2}+hx+x-x-h-1)}{h((x+h)+1)(x+1)}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(x^{2}+hx+h-1)-(x^{2}+hx-h-1)}{h((x+h)+1)(x+1)}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{x^{2}+hx+h-1-x^{2}-hx+h+1}{h((x+h)+1)(x+1)}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{h+h}{h((x+h)+1)(x+1)}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{2h}{h((x+h)+1)(x+1)}$

$=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{2}{((x+h)+1)(x+1)}$

$=\frac{2}{((x+0)+1)(x+1)}$

$=\frac{2}{(x+1)(x+1)}$

$=\frac{2}{(x+1)^{2}}$

Demikian pembahasan cara menyelesaikan soal turunan fungsi aljabar menggunakan definisi turunan. Penyelesaian dengan cara ini tidak sulit hanya saja dibutuhkan ketelitian, seperti yang disampaikan diawal cara ini cukup bertele-tele tetapi harus dipelajari dan dikuasai karena ini merupakan dasar dari penyelesaian turunan yang lebih praktis pada lanjutan materi turunan ini.

Soal Turunan Fungsi Aljabar Menggunakan Definisi Turunan

Definisi Turunan Fungsi Aljabar

Contoh Soal dan Pembahasan

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Soal Turunan Fungsi Aljabar Menggunakan Definisi Turunan

Definisi Turunan Fungsi Aljabar

Contoh Soal dan Pembahasan

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form