Kombinasi Dari Suatu Kejadian dan Pembahasan Soal

DEFINISI KOMBINASI

Pada aturan pencacahan kombinasi, urutan kejadian tidaklah diperhatikan. Perhatikan pernyataan berikut:

“Diberikan 𝑛-obyek berbeda. Sebuah kombinasi 𝑘 dari 𝑛-obyek berbeda adalah jajaran dari 𝑘-obyek yang urutannya tidak diperhatikan”

Perhatikan Contoh Kasus berikut

Misalkan dari 4 bersaudara Asep (A), Beni (B), Caca (C) dan Deni (D) akan diundang 2 orang untuk mewakili rapat keluarga besar. Ada berapa cara memenuhi undangan tersebut? Bagaimana jika yang diundang 3 orang dari 4 bersaudara itu?

Jika diundang 2 orang untuk mewakili rapat keluarga besar itu, maka yang mungkin hadir adalah (A,B), (A,C), (A,D), (B,C), (B,D), (C,D). Jika sudah ada (A,B) maka tidak boleh dimasukkan lagi (B,A) karena (A,B) = (B,A).

Jadi jika diundang 2 orang maka ada 6 cara untuk menghadiri undangan tersebut.

Jika diundang 3 orang untuk mewakili rapat keluarga besar, maka yang mungkin hadir adalah (A,B,C), (A,B,D), (A,C,D) dan (B,C,D) dimana (A,B,C) = (A,C,B) = (B,C,A) =(B,A,C) = (C,A,B )= (C,B,A).

Jadi jika diundang 3 orang maka ada 4 cara untuk menghadiri undangan tersebut.

Dari contoh kasus diatas dapat simpulkan bahwa kombinasi r dari n obyek dirumuskan :

$C_{r}^{n}=C\left ( n,r \right )=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

CONTOH DAN PEMBAHASAN

Contoh 1

Berapa banyaknya cara untuk memilih 3 siswa SMP dan 4 siswa SMA dari 18 siswa SMP dan 20 siswa SMA untuk bernyanyi?

Pembahasan

Banyaknya cara memilih 3 siswa SMP dari 18 siswa SMP adalah

$C_{3}^{18}=\frac{18!}{3!(18-3)!}$

$=\frac{18.17.16.15!}{3.2.1.15!}$

$=3.17.16=816$

Banyaknya cara memilih 4 siswa SMA dari 20 siswa SMA adalah

$C_{4}^{20}=\frac{20!}{4!(20-4)!}$

$=\frac{20.19.18.17.16!}{4.3.2.1.16!}$

= 5.19.3.17 = 4.845

Karena kejadian pemilihan 3 siswa SMP dilanjutkan dengan pemilihan siswa SMA maka banyak cara memilih 3 siswa SMP dan 4 siswa SMA adalah

$C_{3}^{18}.C_{4}^{20}=816.4845=3.953.520$

Contoh 2 (Soal UN 2016)

Dalam sebuah ujian terdapat 10 soal, dari nomor 1 sampai nomor 10. Peserta wajib mengerjakan soal nomor 1, 3, 5 serta hanya mengerjakan 8 dari 10 soal yang tersedia. Banyak cara peserta ujian memilih soal yang dikerjakan adalah … .

A. 21

B. 28

C. 45

D. 48

E. 56

Pembahasan

Soal wajib dikerjakan sebanyak 8 dari 10 soal dan yang sudah ditentukan nomor soalnya adalah soal nomor 1, 3 dan 5 sebanyak 3 soal, sehingga sisa soal wajib yang harus dipilih adalah 5 soal dari 7 soal, sehingga banyak cara memilih soal yang dikerjakan adalah

$C_{5}^{7}=\frac{7!}{5!(7-5)!}$

$=\frac{7.6.5!}{5!2.1}=7.3=21$

Kunci Jawaban A

Contoh 3 (Soal UN 2017)

Dalam suatu ulangan siswa harus mengerjakan 8 soal dari 10 soal yang tersedia dengan syarat nomor 7, 8, 9, dan 10 wajib dikerjakan. Banyak cara siswa mengerjakan soal sisa adalah ... .

A. 6

B. 15

C. 24

D. 30

E. 45

Pembahasan

Soal harus dikerjakan sebanyak 8 dari 10 soal dan yang sudah ditentukan nomor soalnya adalah soal nomor 7, 8, 9 dan 10 sebanyak 4 soal, sehingga sisa soal yang harus dikerjakan adalah 4 soal dari 6 soal, sehingga banyak cara siswa mengerjakan soal sisa adalah

$C_{4}^{6}=\frac{6!}{4!(6-4)!}$

$=\frac{6.5.4!}{4!2.1}=3.5=15$

Kunci jawaban B

Contoh 4 (Soal UN 2018)

Dalam suatu kelompok diskusi yang beranggotakan 4 pria dan 6 wanita, akan dipilih 3 orang secara acak untuk mempresentasikan hasil diskusinya. Banyaknya cara memanggil 1 pria dan 2 wanita adalah … .

A. 12

B. 19

C. 34

D. 60

E. 120

Pembahasan

Kejadian 1. Pemanggilan 1 dari 4 pria

Banya cara memanggil 1 dari 4 pria adalah

$C_{1}^{4}=\frac{4!}{1!(4-1)!}$

$=\frac{4.3!}{1!3!}=4$

Kejadian 2. Pemanggilan 2 dari 6 wanita

Banyak cara memanggul 2 dari 6 wanita adalah

$C_{2}^{6}=\frac{6!}{2!(6-2)!}$

$=\frac{6.5.4!}{2.1.4!}=3.5=15$

Karena kejadian 1 diikuti dengan kejadian dua maka banyak kejadian 1 dan 2 menggunakan aturan perkalian.

Jadi banyak cara memanggil 1 pria dan 2 wanita adalah

$C_{1}^{4}.C_{2}^{6}=4.15=60$

Kunci jawaban D

Permutasi dan Permutasi Siklis Suatu Kejadian dan Pembahasan Soal

Konsep Dasar Peluang, Kejadian Tidak Saling Lepas dan Kejadian Saling Lepas

Peluang Kejadian Saling Bebas dan Kejadian Bersyarat

Contoh 5 (Soal UN 2019)

Pada suatu rumah sakit tersedia 2 ruang terapi untuk penderita stroke dengan kapasitas pasien 3 orang per ruang. Jika ada 5 pasien ingin masuk ruang terapi pada waktu yang bersamaan dan tidak boleh ada ruang terapi yang kosong, banyaknya cara menempatkan … .

A. 2

B. 5

C. 10

D. 15

E. 20

Pembahasan

Ada dua cara menempatkan pasien

Cara 1. Menempatkan 3 orang pasien di ruang 1 kemudian 2 orang sisanya ditempatkan di ruang 2

Banyak cara menempatkan pasien adalah

$C_{3}^{5}.C_{2}^{2}=\frac{5!}{3!(5-2)!}.\frac{2!}{2!(2-2)!}$

$=\frac{5.4.3!}{3!2!}.\frac{2!}{2!.1!}=5.2.1=10$

(Mengapa menggunakan perkalian?)

Cara 2. Menempatkan 3 orang pasien di ruang 2 kemudian 2 orang sisanya di tempatkan di ruang 1

$C_{3}^{5}.C_{2}^{2}=\frac{5!}{3!(5-2)!}.\frac{2!}{2!(2-2)!}$

$=\frac{5.4.3!}{3!2!}.\frac{2!}{2!.1!}=5.2.1=10$

Karena kejadian cara 1 tidak mempengaruhi terjadinya kejadian cara 2 maka banyak cara menempatkan pasien menggunakan aturan penjumlahan, sehingga

Total cara menempatkan pasien = Banyak cara 1 + Banyak cara 2

= 10 + 10 = 20

Kunci Jawaban E

Contoh 6 (Soal UN 2019)

Pada saat praktikum kimia terdapat 7 larutan, terdiri dari 4 larutan 𝑃 dan 3 larutan 𝑄. Jika dari larutan tersebut dipilih tiga larutan secara acak, banyak cara memilih 2 larutan 𝑃 dan 1 larutan 𝑄 adalah … .

A. 7

B. 9

C. 12

D. 18

E. 21

Pembahasan

Banyak cara memilih 2 dari 4 larutan P adalah

$C_{2}^{4}=\frac{4!}{2!.2!}=\frac{4.3.2.1}{2.2}=3.2=6$

Banyak cara memilih1 dari 3 larutan Q adalah

$C_{1}^{3}=\frac{3!}{1!.2!}=\frac{3.2!}{1!.2!}=3$

Sehingga banyak cara memilih 2 larutan 𝑃 dan 1 larutan 𝑄 adalah

$C_{2}^{4}.C_{1}^{3}=6.3=18$

Kunci Jawaban D

Demiikian pembahasan kombinasi dari suatu kejadian dan pembahasan soal, semoga bermanfaat. Amiin.

Kombinasi Dari Suatu Kejadian dan Pembahasan Soal

DEFINISI KOMBINASI

CONTOH DAN PEMBAHASAN

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Kombinasi Dari Suatu Kejadian dan Pembahasan Soal

DEFINISI KOMBINASI

CONTOH DAN PEMBAHASAN

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form