Peluang Kejadian Saling Bebas dan Kejadian Bersyarat

PELUANG KEJADIAN SALING BEBAS

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A. Misalkan kita melambungkan dua buah dadu, maka angka yang muncul pada dadu pertama tidak mempengaruhi angka yang muncul pada dadu kedua.

Peluang kejadian saling bebas secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut
$P\left ( A\cap B \right )=P(A)\, x\, P(B)$
Keterangan
$P\left ( A\cap B \right )$ = Peluang kejadian bebas A dan B
P(A) = Peluang kejadian A
P(B) = Peluang kejadian B

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

Contoh 1

Pada pelemparan dua buah dadu secara bersamaan, tentukanlah :

a. Peluang muncul mata dadu 2 dan 5

b. Peluang muncul mata dadu berjumlah ganjil dan berjumlah prima

Pembahasan

a. Misal A = himpunan mata dadu 2 dan B = himpunan mata dadu 5, maka

A = {2} sehingga n(A) = 1 dan n(S) = 6

B = {5} sehingga n(B) = 1 dan n(S) = 6

Jadi peluang muncul mata dadu 2 dan 5 adalah

$P\left ( A\cap B \right )=P(A)\, x\, P(B)$

$=\frac{1}{6}.\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$

(Perhatikan bahwa n(S) = 6, mengapa demikian?)

b. Misal A = himpunan pasangan mata dadu berjumlah ganjil dan B = himpunan pasangan mata dadu berjumlah prima, maka :

A = {(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)}

sehingga diperoleh n(A) = 18

B = {(1,1), (1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3), (5,2), (5,6), (6,1), (6,5)}

sehingga diperoleh n(B) = 15

n(S) = 36

Maka peluang muncul mata dadu berjumlah ganjil dan berjumlah prima adalah

$P\left ( A\cap B \right )=P(A)\, x\, P(B)$

$=\frac{n(A)}{n(S)}.\frac{n(B)}{n(S)}$

$=\frac{18}{36}.\frac{15}{36}$

$=\frac{1}{2}.\frac{5}{12}$

$=\frac{5}{24}$

Contoh 2

Ada dua kotak masing-masing memuat bola warna merah dan putih. Kotak I memuat 5 bola warna merah dan 4 bola warna putih, sementara kotak II memuat 6 bola warna merah dan 3 bola warna putih. Jika masing-masing kotak diambi 2 bola sekaligus tentukan peluang terambilnya 1 bola merah dan 1 bola putih pada kotak I dan 2 bola merah pada kotak II.

Pembahasan

Misal A adalah kejadian pada kotak I yaitu pengambilan 1 bola merah dan 1 bola putih secara bersamaan

Banyak kejadian pengambilan 2 bola sekaligus dari 5 bola warna merah dan 4 bola warna putih adalah

$n(S)=C_{2}^{9}=\frac{9!}{2!7!}=\frac{9.8.7!}{2.7!}=9.4=36$

Banyak kejadian pengambilan 1 bola merah dan 1 bola putih dari 5 bola warna merah dan 4 bola warna putih adalah

$n(A)=C_{1}^{5}.C_{1}^{4}=\frac{5!}{1!4!}.\frac{4!}{1!3!}=5.4=20$

Sehingga diperoleh peluang terambilnya 1 bola merah dan 1 bola putih adalah

$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$

Misal B adalah kejadian pada kotak II yaitu pengambilan 2 bola merah sekaligus

Banyak kejadian pengambilan 2 bola sekaligus dari 6 bola warna merah dan 3 bola warna putih adalah

$n(S)=C_{2}^{9}=\frac{9!}{2!7!}=\frac{9.8.7!}{2.7!}=9.4=36$

Banyak kejadian pengambilan 2 bola merah sekaligus dari 6 bola warna merah dan 3 bola warna putih adalah

$n(B)=C_{2}^{6}.C_{0}^{3}=\frac{6!}{2!4!}.\frac{3!}{0!3!}=15.1=15$

Sehingga peluang terambilnya 2 bola merah sekaligus dari 6 bola warna merah dan 3 bola warna putih adalah

$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$

Peluang terambilnya 1 bola merah dan 1 bola putih pada kotak I dan 2 bola merah pada kotak II merupakan kejadian saling bebas, maka

$P\left ( A\cap B \right )=P(A)\, x\, P(B)$

$=\frac{5}{9}.\frac{5}{12}=\frac{25}{108}$

PELUANG KEJADIAN BERSYARAT

Peluang kejadian bersyarat menunjukkan besarnya kesempatan suatu peristiwa akan terjadi yang didahului oleh peristiwa lain yang bergantung terhadap peristiwa tersebut. Jika kejadian A dan B tidak saling bebas, kejadian B dipengaruhi oleh kejadian A atau kejadian B dengan syarat A, kejadian yang demikian dinamakan kejadian bersyarat.

Peluang dari kejadian bersyarat disebut peluang bersyarat, dirumuskan dengan:
$P\left ( B|A \right )=\frac{P\left ( A\cap B \right )}{P(A)}$
atau
$P\left ( A\cap B \right )=P(A)\, x\, P\left ( B|A \right )$
Keteraangan
P(B|A) = Peluang kejadian B dengan syarat A

Contoh 3

Di dalam sebuah kantong terdapat 6 kelereng hitam dan 5 kelereng putih. Dari dalam kantong tersebut diambil dua kelereng secara berturut-turut tanpa pengembalian. Tentukan peluang bahwa kelereng itu berwarna hitam!

Pembahasan

Misal H adalah kejadian terambilnya kelereng hitam pada pengambilan pertama

Pengambilan pertama

n(H) = 6

n(S) = 11

sehingga peluang terambilnya kelereng hitam pada pengambilan pertama adalah

$P(H)=\frac{n(H)}{n(S)}=\frac{6}{11}$

Pengambilan kedua dengan syarat pengambilan pertama kelereng warna hitam

n(H|H) = 5

n(S) = 10

sehingga diperoleh

$P(H|H)=\frac{n(H|H)}{n(S)}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

Sehingga peluang terambilnya kelereng hitam pada pengambilan pertama dan hitam pada pengambilan kedua adalah

$P(H\cap H|H)=P(H).P(H|H)=\frac{6}{11}.\frac{1}{2}=\frac{3}{11}$

Contoh 4

Di sebuah area parkir obyek wisata yang luas, terdapat 52 unit mobil pengunjung, yang diantaranya ada 4 unit berjenis Avanza dan 4 unit berjenis Kijang. Setiap mobil bisa keluar kapan saja tanpa terhalangi oleh mobil lain. Hanya tersedia satu pintu keluar yang bisa dilalui secara bergantian. Pada urutan pertama keluar berturut-turut dua unit mobil. Tentukan peluang bahwa yang keluar pertama adalah mobil Avansa dan yang kedua mobil Kijang!

Pembahasan

Misal S = Jumlah mobil seluruhnya maka

n(S) = 52

Misal A= Jumlah mobil Avanza, maka

n(A) = 4

Sehingga diperoleh

$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4}{52}$

Misal K = Jumlah mobil kijang maka

n(K) = 4

Peluang keluar kijang dengan syarat keluar pertama avanza adalah

$P(K|A)=\frac{n(K)}{n(S)}=\frac{4}{51}$

Jadi peluang keluar Avanza lalu diikuti oleh mobil Kijang adalah

$P(A\cap K)=P(A).P(K|A)$

$=\frac{4}{52}.\frac{4}{51}=\frac{16}{2652}=\frac{4}{663}$

Contoh 5 (Soal UN 2015)

Seorang penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan pinalti dengan peluang 3/5. Dalam sebuah kesempatan dilakukan 5 kali tendangan. Peluang penjaga gawang tersebut mampu menahan 3 kali tendangan pinalti tersebut adalah ….

A. $\frac{180}{625}$

B. $\frac{612}{625}$

C. $\frac{216}{625}$

D. $\frac{228}{625}$

E. $\frac{230}{625}$

Pembahasan

Kemungkinan keberhasilan penjaga gawang berhasil menahan tendangan pinalti adalah kombinasi dari 5 kali tendangan, berhasil 3 tendangan:

$C_{3}^{5}=\frac{5!}{3!2!}=5.2=10$

Peluang keberhasilan pada setiap tendangan adalah $\frac{3}{5}$ , sehingga diperoleh

Peluang berhasil menahan 3 kali = $\frac{3}{5}.\frac{3}{5}.\frac{3}{5}=\frac{27}{125}$

Peluang gagal pada setiap tendangan = $1-\frac{3}{5}$ = $\frac{2}{5}$

sehingga diperoleh

Peluang gagal menahan 2 kali = $\frac{2}{5}.\frac{2}{5}=\frac{4}{25}$

Jadi peluang penjawaga gawang tersebut menahan 3 kali tendangan = $10.\frac{27}{25}.\frac{4}{25}=\frac{216}{625}$

Kunci Jawaban C

Permutasi dan Permutasi Siklis Suatu Kejadian dan Pembahasan Soal

Kombinasi Dari Suatu Kejadian

Konsep Dasar Peluang, Kejadian Tidak Saling Lepas dan Kejadian Saling Lepas

Contoh 6 (Soal UN 2016)

Disebuah toko tersedia 1 lusin lampu, 2 diantaranya rusak. Ada 3 orang akan membeli masing-masing 1 lampu. Peluang pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak adalah ….

A. $\frac{1}{66}$

B. $\frac{1}{33}$

C. $\frac{3}{22}$

D. $\frac{1}{6}$

E. $\frac{2}{11}$

Pembahasan

Peristiwa ini adalah kejadian bersyarat, kejadian yang diharapkan adalah pembeli pertama mendapatkan lampu baik, pembeli kedua mendapatkan lampu baik, dan pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak.

Peluang kejadian pertama = $\frac{10}{12}$

Peluang kejadian kedua = $\frac{9}{11}$

Peluang kejadian ketiga = $\frac{2}{10}$

Peluang kejadian majemuk yaitu pembeli pertama mendapatkan lampu baik, pembeli kedua mendapatkan lampu baik, dan pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak

$=\frac{10}{12}.\frac{9}{11}.\frac{2}{10}=\frac{180}{1320}=\frac{3}{22}$

Kunci Jawaban C

Demikian pembahasan peluang kejadian saling bebas dan kejadian bersyarat, semoga bermanfaat. Amiin.

Peluang Kejadian Saling Bebas dan Kejadian Bersyarat