Konsep Translasi Matriks Transformasi dan Pembahasan Soal

Transformasi telah dikenal sejak lama yakni dimulai dari zaman babilonia, kemudian pada zaman yunani, para ahli aljabar muslim abad ke-9 sampai ke-15 dan dilanjutkan matematikawan eropa abad ke-18 sampai dua dekade pertama abad ke-19. Keberaturan dan pengulangan pola memberikan dorongan untuk mempelajari bagaimana dan apa yang tak berubah oleh suatu transformasi. Transformasi geometri adalah suatu fungsi yang mengaitkan antar setiap titik di bidang dengan suatu aturan tertentu. Pengaitan ini dapat dipandang secara aljabar atau geometri.

Jika seluruh titik suatu obyek geometri dipindahkan menurut suatu aturan, akan didapatkan bayangan dari gambar asli. Proses ini dinamakan transformasi. Setiap titik pada obyek asli memiliki pasangan dengan titik pada bayangannya. Dalam geometri, transformasi merupakan prosedur yang spesifik yang memindahkan titik-titik pada bidang ke titik-titik yang berbeda.

Suatu transformasi merupakan sebuah korespondensi satu-satu antara dua himpunan 𝑆 dan 𝑆’, sedemikian sehingga setiap titik di himpunan 𝑆 berkorespondensi dengan satu dan hanya satu titik di himpunan 𝑆’, yang disebut sebagai peta (bayangan).

Transformasi yang tidak mengubah bentuk dinamakan isometri. Pada isometri, jarak setiap dua titik pada bangun bayangan sama dengan jarak dua titik pada bangun asalnya, sehingga bangun yang dihasilkan kongruen dengan bangun aslinya. Transformasi isometri di antaranya adalah transformasi identitas (peta dan prapeta berimpit), pergeseran (translasi), perputaran (rotasi) dan pencerminan (refleksi).

Transformasi yang merubah jarak atau merubah bentuk dinamakan transformasi non isometri atau transformasi yang mengubah bentuk. Salah satu transformasi yang mengubah bentuk adalah perbesaran atau dilatasi.

SIFAT DAN RUMUS TRANSLASI (PERGESERAN)

Sifat
Bangun yang digeser (Translasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran
Rumus
Titik A(x,y) ditranslasi oleh T(a,b) menghasilkan bayangan A'(x',y') ditulis dengan
$A(x,y)\xrightarrow[]{T\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}}A'(x',y')$
$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$
Sehingga diperoleh hubungan
$x'=x+a$
$y'=y+a$

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASANNYA

Contoh 1

Tunjukkan dengan gambar pada bidang kartesius, pergeseran obyek berikut oleh translasi T

a. Titik A(2,-6) ditranslasi oleh T(5,7)

b. Ruas garis PQ dengan P(-3,-2) dan Q(0,-6) ditranslasi oleh T(-2,4)

c. Segitiga STU dengan S(-14,4), T(-12,-3) dan U(-11,-9) ditranslasi oleh T(5,5)

Pembahasan

Gambar dari soal diatas sebagai berikut

Contoh 2

a. Titik A(2,3) ditranslasikan dengan matriks T(-3,4), tentukan bayangan A!

b. Titik A(-2,-7) ditranslasikan dengan matriks T(-2,5), Tentukan bayangan A!

Pembahasan

a. Titik A(2,3) ditranslasikan dengan matriks T(-3,4), tentukan bayangan A!

$A(2,3)\xrightarrow[]{T\begin{pmatrix} -3\\ 4 \end{pmatrix}}A'(x',y')$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\ 7 \end{pmatrix}$

Jadi bayangan titik A adalah A'(-1,7)

b. Titik A(-2,-7) ditranslasikan dengan matriks T(-2,5), Tentukan bayangan A!

$A(-2,-7)\xrightarrow[]{T\begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix}}A'(x',y')$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ -7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}$

Jadi bayangan titik A adalah A'(-4,-2)

Contoh 3

Tentukan koordinat hasil pergeseran titik oleh translasi T berikut

a. Titik A(-2,5) oleh translasi $T_{1}(-1,-3)$ dilanjutkan dengan translasi $T_{2}(0,5)$

b. Titik B(1,-3) oleh translasi $T_{1}(-2,-4)$ dilanjutkan dengan translasi $T_{2}(-2,-4)$

c. Titik C(-3,2) oleh translasi $T_{1}(-1,5)$ dianjutkan dengan translasi $T_{2}(-1,4)$

d. Titik D(4,5) oleh translasi $T_{1}(-1,-2)$ dilanjutkan dengan translasi $T_{2}(-1,-3)$

e. Titik E(1,3) oleh translasi $T_{1}(1,3)$ dilanjutkan dengan translasi $T_{2}(1,3)$

Pembahasan

a. Titik A(-2,5) oleh translasi $T_{1}(-1,-3)$ dilanjutkan dengan translasi $T_{2}(0,5)$

$A(x,y)\xrightarrow[]{T_{1}\begin{pmatrix} a_{1}\\ b_{1} \end{pmatrix}}A'(x',y')\xrightarrow[]{T_{2}\begin{pmatrix} a_{2}\\ b_{2} \end{pmatrix}}A''(x'',y'')$

$\begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 7 \end{pmatrix}$

Jadi bayangan titik A adalah A''(-3,7)

b. Titik B(1,-3) oleh translasi $T_{1}(-2,-4)$ dilanjutkan dengan translasi $T_{2}(-2,-4)$

$\begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ -4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ -11 \end{pmatrix}$

Jadi bayangan titik B adalah B''(-3,-11)

c. Titik C(-3,2) oleh translasi $T_{1}(-1,5)$ dianjutkan dengan translasi $T_{2}(-1,4)$

$\begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5\\ 11 \end{pmatrix}$

Jadi bayangan titik C adalah C''(-5,11)

d. Titik D(4,5) oleh translasi $T_{1}(-1,-2)$ dilanjutkan dengan translasi $T_{2}(-1,-3)$

$\begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}$

Jadi bayangan titik D adalah D''(2,4)

e. Titik E(1,3) oleh translasi $T_{1}(1,3)$ dilanjutkan dengan translasi $T_{2}(1,3)$

$\begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 9 \end{pmatrix}$

Jadi bayangan titik E adalah E''(3,9)

Contoh 4

Tentukan koordinat titik asal oleh translasi berikut.

a. Titik A(x,y) ditranslasi oleh T(-1,-6) menjadi A'(7,-4)

b. Titik B(x,y) ditranslasi oleh T(1,5) menjadi B'(-10,-2)

c. Titik C(x,y) ditranslasi oleh T(-4,6) menjadi C'(10,-3)

d. Titik D(x,y) ditranslasi oleh T(-5,-9) menjadi D'(5,9)

e. Titik E(x,y) ditranslasi oleh T(-1,-6) menjadi E'(1,6)

Pembahasan

a. Titik A(x,y) ditranslasi oleh T(-1,-6) menjadi A'(7,-4)

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 7\\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ -6 \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh

7 = x -1

x = 7 + 1 = 8

-4 = y - 6

y = -4 + 6 = 2

Jadi koordinat titik asalah dari A' adalah A(8,2)

b. Titik B(x,y) ditranslasi oleh T(1,5) menjadi B'(-10,-2)

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -10\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 5 \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh

-10 = x + 1

x = -10 - 1 = -11

-2 = y + 5

y = -2 - 5 = -7

Jadi koordinat titik asal dari B' adalah B(-11,-7)

c. Titik C(x,y) ditranslasi oleh T(-4,6) menjadi C'(10,-3)

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 10\\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4\\ 6 \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh

10 = x - 4

x = 10 + 4 = 14

-3 = y + 6

y = -3 - 6 = -9

Jadi koordinat titik asal dari C' adalah C(14,-9)

d. Titik D(x,y) ditranslasi oleh T(-5,-9) menjadi D'(5,9)

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 5\\ 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -5\\ -9 \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh

5 = x - 5

x = 5 + 5 = 10

9 = y - 9

y = 9 + 9 = 18

Jadi koordinat titik asal dari D' adalah D(10,18)

e. Titik E(x,y) ditranslasi oleh T(-1,-6) menjadi E'(1,6)

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1\\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ -6 \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh

1 = x - 1

x = 2

6 = y - 6

y = 12

Jadi koordinat titik asal dari E' adalah E(2,12)

Contoh 5

Dengan menggunakan konsep, tentukan hasil pergeseran fungsi-fungsi berikut oleh translasi T.

a. Garis y = 2 ditranslasi oleh T(1,-1)

b. Garis 2y - 3x + 6 = 0 ditranslasi oleh T(4,-1)

c. Parabola $y=x^{2}-3x+2$ ditranslasi oleh T(2,1)

d. Parabola $x=y^{2}-2y-2$ ditranslasi oleh T(-2,2)

e. Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+2y-3=0$ ditranslasi oleh T(-3,-2)

Pembahasan

a. Garis y = 2 ditranslasi oleh T(1,-1)

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+1\\ y-1 \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh

x' = x + 1

x = x' - 1 .............. (1)

y' = y - 1

y = y' + 1 .............(2)

Substitusi persamaan (2) ke garis y = 2

y' + 1 = 2

y' = 2 - 1 = 1

Jadi bayangan dari y = 2 ditranslasi oleh T(1,-1) adalah y = 1

b. Garis 2y - 3x + 6 = 0 ditranslasi oleh T(4,-1)

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+4\\ y-1 \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh

x' = x + 4

x = x' - 4 .............(1)

y' = y - 1

y = y' + 1 ............. (2)

Substitusi persamaan (1) dan (2) ke garis

2y - 3x + 6 = 0

2(y' + 1) - 3(x' - 4) + 6 = 0

2y' + 2 - 3x' + 12 + 6 = 0

2y' - 3x' + 20 = 0

Jadi bayangan dari garis 2y - 3x + 6 = 0 ditranslasi oleh T(4,-1) adalah 2y - 3x + 20 = 0

c. Parabola $y=x^{2}-3x+2$ ditranslasi oleh T(2,1)

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+2\\ y+1 \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh

x' = x + 2

x = x' - 2 ............(1)

y' = y + 1

y = y' - 1 ............ (2)

substitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan parabola

$y=x^{2}-3x+2$

$y'-1=(x'-2)^{2}-3(x'-2)+2$

$y'=x'^{2}-4x'+4-3x+6+2+1$

$y'=x'^{2}-7x'+13$

Jadi bayangan parabola $y=x^{2}-3x+2$ ditranslasi oleh T(2,1) adalah $y=x^{2}-7x+13$

d. Parabola $x=y^{2}-2y-2$ ditranslasi oleh T(-2,2)

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x-2\\ y+2 \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh

x' = x - 2

x = x' + 2 .....................(1)

y' = y + 2

y = y' - 2 ...................... (2)

Substitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan parabola

$x=y^{2}-2y-2$

$x'+2=(y'-2)^{2}-2(y'-2)-2$

$x'=y'^{2}-4y'+4-2y'+4-2-2$

$x'=y'^{2}-6y'+4$

Jadi bayangan parabola $x=y^{2}-2y-2$ ditranslasi oleh T(-2,2) adalah $x=y^{2}-6y+4$

e. Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+2y-3=0$ ditranslasi oleh T(-3,-2)

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x-3\\ y-2 \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh

x' = x - 3

x = x' + 3 ..................(1)

y' = y - 2

y = y' + 2 ..................(2)

Substitusi persamaan (1) dan (2) persamaan lingkaran

$x^{2}+y^{2}-2x+2y-3=0$

$(x'+3)^{2}+(y'+2)^{2}-2(x'+3)+2(y'+2)-3=0$

$x'^{2}+6x'+9+y'^{2}+4y'+4-2x'-6+2y'+4-3=0$

$x'^{2}+y'^{2}+6x'-2x'+4y'+2y'+9+4-6+4-3=0$

$x'^{2}+y'^{2}+4x'+6y'+8=0$

Jadi bayangan Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+2y-3=0$ ditranslasi oleh T(-3,-2) adalah $x^{2}+y^{2}+4x+6y+8=0$

Demikian pembahasan konsep translasi matriks transformasi dan pembahasan soal, semoga bermanfaat. Amiin.

Konsep Translasi Matriks Transformasi dan Pembahasan Soal

SIFAT DAN RUMUS TRANSLASI (PERGESERAN)

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASANNYA

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Konsep Translasi Matriks Transformasi dan Pembahasan Soal

SIFAT DAN RUMUS TRANSLASI (PERGESERAN)

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASANNYA

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form