Induksi Matematika dan Pembahasan Soal

Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku dalam matematika. Melalui induksi matematika kita dapat mengurangi langkah pembuktian yang sangat rumit untuk menemukan suatu kebenaran dari pernyataan matematika hanya dengan sejumlah langkah terbatas yang cukup mudah.

Perlu diingat bahwa dengan induksi matematika dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli, bukan untuk menentuka formula.

Prinsip Induksi Matematika

Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli. Pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut ini.

a. Langkah awal, P(1) benar.

b. Langkah induksi. Jika P(k) benar, maka P(k+1) benar untuk setiap k bilangan asli

Pada proses pembuktian dengan prinsip induksi matematika ada beberapa hal yang harus diperhatikan yaitu :

1. Untuk langkah awal tidak selalui dipilih untuk n = 1, n = 2 atau n = 3, tetapi dapat dipilih sembarang nilai n sedemikian hingga dapat mempermudah langkah awal dipenuhi.
2. Selanjutnya yang ditemukan pada langkah awal merupakan modal untuk langkah induksi. Artinya, jika P(1) benar maka P(2) benar, jika P(2) benar maka P(3) benar, demikian seterusnya hingga disimpulkan P(k) benar.
3. Dengan menggunakan P(k) benar, maka akan dibuktikan P(k+1) benar.
4. Jika P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka formula P(n) terbukti benar. Jika salah satu dari kedua prinsip tidak terpenuhi maka formula P(n) salah.

SOAL DAN PEMBAHASAN

Contoh 1

Buktikan dengan induksi matematika bahwa jumlah n bilangan ganjil positif yang pertama sama dengan 

Pembahasan

Dari pelajaran SMP/MTs diketahui bahwa rumus pola bilangan ganjil adalah 2n - 1, untuk n bilangan asli, maka jumlah n bilangan ganjil postif yang pertama adalah

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n - 1)

Akan dibuktikan bahwa :

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n - 1) = 

Kita tulis formula diatas menjadi

P(n) : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n - 1) = 

a. Langkah Awal 

Akan dibuktikan benar P(n) benar untuk n = 1

Untuk n = 1 maka

P(1) :  = 1

Jadi P(1) benar

b. Langkah induksi

Karena P(1) benar maka P(2) benar hingga untuk n = k juga benar untuk setiap k bilangan asli.

P(k) : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2k - 1) =  

Karena P(k) benar, akan dibuktikan bahwa untuk n = k + 1 juga benar

P(k+1) : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) =  

              1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = 

Bukti

Kita memulai dari P(k)

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2k - 1) = 

Tambahkan pada ruas kiri dan kanan dengan hasil substitusi k + 1 ke k pada (2k - 1)

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2k - 1)+(2(k+1) - 1) =  + (2 (k+1) - 1)

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2k - 1)+(2k+1) =  + 2k+1

                                                                    = 

                                                                    = P(k + 1)

(Terbukti)

Jadi P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n - 1) =  benar untuk semua n bilangan asli.

Contoh 2

Dengan induksi matematika buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + ... + n =  untuk setiap bilangan bulat n  1

Pembahasan

Kita tulis formula diatas menjadi

P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + n = 

a. Langkah awal

Akan dibuktikan P(n) benar untuk n = 2 (perhatikan bahwa pada contoh ini tidak memilih n = 1)

P(2) : 1 + 2 = 

                 3 = 3 (benar)

b. Langkah Induksi

Karena P(2) benar, maka P(3) juga benar hingga n = k juga benar untuk setiap k bilangan bulat k  1

P(k) : 1 + 2 + 3 + ... + k = 

Karena P(k) benar akan dibuktikan untuk n = k + 1 juga benar

P(k+1) : 1 + 2 + 3 + ... + k +( k+1) = 

Bukti

Kita mulai dari P(k)

1 + 2 + 3 + ... + k = 

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) =  + (k + 1)

                                             

                                             

                                             

                                              = P(k + 1)

(Terbukti)

Jadi benar bahwa P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + n =  untuk n  1

Contoh 3

1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) =  untuk setiap bilangan bulat n  1

Pembahasan

Formula diatas kita tulis menjadi

P(n) : 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) =  

a. Langkah awal

Akan dibuktikan P(n) benar untuk n = 3

P(3) : 1.2 + 2.3 + 3.4 = 

                  2 + 6 + 12 = 4.5

                              20 = 20 (benar)

b. Langkah induksi

Karena P(3) benar maka P(4) benar, hingga n = k juga benar

P(k) : 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) =  

Karena P(k) benar, maka akan dibuktikan untuk n = k + 1 juga benar

P(k+1) : 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1)+ (k + 1)(k + 2) = 

Bukti

Kita mulai dari P(k)

1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) = 

2 + 6 + 12 + ... + k(k + 1)+ (k + 1)(k + 2) = + (k + 1)(k + 2)

                

                

                

                = P(k + 1)

(Terbukti)

Jadi benar bahwa P(n) : 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) =  untuk setiap bilangan bulat n  1

Contoh 4

Dengan menggunakan induksi matematika buktikan rumus suku ke-n dari barisan berikut

5, 13, 21, 29, 37, 45, ...

Pembahasan

Barisan diatas merupakan barisan aritmatika, maka diketahui

a = 5 dan b = 13 - 5 = 8, maka rumus suku ke-n adalah :

Un = a + (n - 1) b

      = 5 + (n - 1)8

      = 5 + 8n - 8

      = 8n - 3

akan dibuktikan Un = 8n - 3 benar untuk setiap n bilangan asli

a. Langkah awal

Akan dibuktikan Un benar untuk n = 1

P(1) = U1 : 5 = 8.1 - 3

                   5 = 5 (benar)

b. Langkah Induksi

Karena U1 benar, maka U2 benar, hingga n = k juga benar

P(k) : Uk = 8k - 3

Karena Uk benar akan dibuktikan n = k+ 1 juga benar

P(k+1) : U(k+1) = 8(k + 1) - 3 = 8k + 5

Dengan menggunakan P(k) kita bisa menuliskan barisan diatas yaitu

5, 13, 21, 29, 37, 45, ..., (8k - 3)

akibatnya jika ditulis sebanyak k + 1 suku, barisan diatas menjadi

5, 13, 21, 29, 37, 45, ..., (8k - 3), (8k + 5)

sehingga diperoleh suku ke (k+1) barisan bilangan tersebut adalah U(k+1) = 8k + 5

Cek beda dari dua suku terakhir

b = (8k + 5) - (8k - 3) = 8 sama dengan beda dua suku pertama.

sehingga

P(k+1) : U(k+1) = 8k + 5 juga benar