Permutasi | Materi Matematika Kelas 12 SMA/MA Semester Genap Kurikulum 2013

Salah satu penerapan kombinatorika  aturan pencacahan permutasi dalam kehidupan sehari-hari, adalah menghitung banyaknya cara penempatan petugas keamanan di beberapa titik lokasi diantara sejumlah petugas keamanan yang ada serta pengaturan shift waktunya, untuk penjadwalan dan pertanggungjawaban keamanan di suatu tempat, misalnya tempat tamasya atau kebun  binatang. Dengan manajemen jadwal yang baik keamanan masyarakat akan lebih terjamin dengan pengeluaran biaya yang minimal.

Sumber : https://islam.nu.or.id/post/read/90144/apakah-profesi-petugas-keamanan-gugurkan-kewajiban-shalat-jumat

Permutasi r Obyek Dari n Obyek Berbeda

Jika diberikan 𝑛 obyek berbeda, sebuah permutasi r dari 𝑛 obyek berbeda adalah sebuah jajaran dari r obyek yang urutannya diperhatikan (Jajaran adalah susunan dalam bentuk linier/lurus).

Permutasi r obyek dari n obyek berbeda dinotasikan dengan P(n,r) dirumuskan dengan : 

dimana n! = n x (n - 1) x (n - 2) x (n - 3) x ... x 3 x 2 x 1  (4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24)


Contoh 1

Hitunglah banyak bilangan 4 angka berbeda yang dapat dibentuk dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6

Jawab

Karena susunan 4 angka pembentuk bilangan memperhatikan urutan karena angka penyusun tidak boleh berulang, maka kasus ini adalah kasus permutasi.

Diketahui : n = 6 (Banyak angka), r = 4 (Banyak angka bilangan)

Maka 

Jadi Banyak bilangan yang dapat dibentuk adalah 360 buah






Contoh 2

Dari angka 1, 2, 3, 4, 5 akan disusun bilangan tiga angka dengan angka tak berulang. Hitunglah banyak bilangan yang dapat dibuat.

Jawab

Kejadian dari soal diatas diatas merupakan kejadian permutasi ditandai dengan kalimat angka tidak berulang yang berarti kejadiannya memperhatikan urutan dari angka yang muncul.

Dari soal diatas diketahui ada 5 angka penyusun = n = 5

Akan disusun tiga angka = r = 3

Maka banyak bilangan yang dapat dibuat adalah

            

            

Jadi banyak bilangan yang dapat dibentuk adalah 60 buah.


Contoh 3 (Soal UN 2019)

Zaki membuat sebuah alamat email. Untuk keperluan itu, ia memerlukan sebuh kata sandi (password) yang terdiri dari 8 karakter. Kata sandi dikatakan baik jika menggabungkan antara huruf dan angka. Zaki akan menggunakan namanya pada 4 karakter awal atau akhir secara berturut-turut, kemudian ditambahkan dengan 4 buah angka berbeda dari angka 0, 1, 2, ... , 9 secara acak. Misalnya ZAKI1234, ZAKI4321, 0321ZAKI, 3214ZAKI, dan lain-lain. Banyaknya kata sandi email yang dapat digunakan Zaki adalah ....

Pembahasan

Kejadian 1 : Kata ZAKI di awal password

Banyak susunan 4 angka dari 10 angka adalah 

Banyaknya password pada kejadian 1 adalah 5040 buah

Kejadian 2 : Kata ZAKI di akhir password

Bayaknya password pada kejadian 2 sama dengan banyak password pada kejadian 1 yaitu 5040 buah

Karena terjadinya kejadian 1 tidak mempengaruhi terjadinya kejadian 2 maka kasus ini menggunakan aturan penjumlahan, sehingga

Banyak total password = Kejadian 1 + kejadian 2

                                     = 5040 + 5040 = 10080 buah






Permutasi n obyek jika terdapat beberapa obyek yang sama

Banyaknya permutas dari n obyek jika terdapat n1 obyek yang sama, n2 obyek yang sama, ..., nr obyek yang sama adalah 


Contoh 1

Berapakah banyak susunan yang mungkin dari kata MATEMATIKA ?

Jawab

(Perhatikan huruf yang sama)
Banyak huruf = n = 10
Banyak huruf M = 2
Banyak guruf A = 3
Banyak huruf T = 2

Maka banyak susunan yang mungkin adalah


Jadi banyak susunan yang mungkin adalah 151.200 buah.


Contoh 2 (Soal UN 2018)

Arkan akan membuat password untuk alamat emailnya yang terdiri dari 5 huruf kemudian diikuti oleh dua angka yang berbeda. Jika huruf yang disusun berasal dari pembentuk kata pada namanya, maka banyaknya password yang dibuat adalah ....

A. 1800

B. 2160

C. 2700

D. 4860

E. 5400


Pembahasan

Kasus 1 : Jika pada password tidak membolehkan huruf kapital

Dari kata "Arkan" terdapat 2 huruf "a", maka banyak susunan dari huruf yang dapat dibentuk adalah

 

Banyak susunan 2 angka dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 adalah

              

Karena kejadian munculnya huruf diikuti dengan kejadian munculnya angka maka kasus ini menggunakan aturan perkalian, maka

Banyak password = Banyak susunan huruf x banyak susunan angka

                             = 60 . 90 = 5400 buah

Kasus 2 : Jika pada password membolehkan huruf kapital (karena password yang baik adalah password yang mengandung paling sedikit 1 huruf kapital, angka dan karakter khusus)

Dari kata "Arkan" dibedakan antara huruf "A" dan "a" sehingga banyak susunan huruf yang mungkin adalah 

Banyak susunan 2 angka dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 adalah

              

Karena kejadian munculnya huruf diikuti dengan kejadian munculnya angka maka kasus ini menggunakan aturan perkalian, maka

Banyak password = Banyak susunan huruf x banyak susunan angka

                             = 120 . 90 = 10800 buah






Permutasi Siklik

Perhatikan bahwa permutasi yang dibicarakan di atas adalah permutasi yang objek-objeknya dijajar atau disusun pada satu garis. Permutasi demikian ini dinamakan permutasi linear. Namun, jika objek-objek tersebut dijajar/disusun melingkar (pada suatu lingkaran) dan arah melingkarnya diperhatikan, misalnya searah putaran jarum jam, maka permutasi yang demikian dinamakan permutasi siklik.

Misal ada tiga objek a, b, dan c secara terurut dijajar melingkar menurut putaran jarum jam, maka permutasi sikliknya ditulis (abc). Dan jika berlawanan arah jarum jam, maka permutasi sikliknya ditulis (acb).

Dua permutasi siklik dikatakan ekuivalen (sama) jika permutasi yang satu dapat diperoleh dari permutasi yang lain melalui putaran. Misalnya, permutasi siklik (abc) ekuivalen dengan permutasi siklik (bca) dan (cab).

Jadi dari tiga buah permutasi linear abc, bca, dan cab diperoleh hanya satu permutasi siklik (abc). Demikian juga untuk tiga permutasi linear acb, cba, dan bac diperoleh hanya satu permutasi siklik (acb).

Dengan demikian terdapat dua permutasi-3 siklik dari tiga objek a, b, dan c, yaitu (abc) dan (acb).

Secara umum banyak permutasi siklik dari n obyek adalah (n - 1)!


Baca Juga :

Aturan Penjumlah dan Perkalian Kaidah Pencacahan

Kombinasi Kaidah Pencacahan

Konsep Dasar Peluang, Kejadian Tidak Saling Lepas dan Kejadian Saling Lepas


Contoh 1

Berapakah banyaknya permutasi atau susunan yang berbeda 5 orang duduk mengelilingi meja bundar?

Jawab

Diketahui n = 5, maka

Banyaknya permutasi siklik = (5 – 1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24


Contoh 2

Ada 6 orang duduk mengelilingi meja bundar. Jika ada dua orang teman yang harus duduk bersebelahan, maka banyak susunan yang berbeda yang mungkin adalah….

Jawab

Diketahui n = 5 karena ada dua orang yang duduk bersebelahan sehingga dua orang dihitung 1.

Ketika 2 orang duduk bersebelahan maka ada 2 susunan yang mungkin (A disebelah kiri dan B disebelah kanan atau sebaliknya)

Banyaknya susunan melingkar untuk kemungkinan pertama adalah (5 – 1)! = 4! = 24
Banyak susunan melingkar untuk kemungkinan kedua adalah (5 – 1)! = 4 ! = 24

Karena susunan pertama dan susunan kedua tidak saling memperngaruhi maka berlaku aturan penjumlahan.

Jadi

Banyak susunan yang mungkin = Banyak susunan 1 + banyak susunan 2 = 24 + 24 = 48


Contoh 3

Ani mempunyai 4 pernik besar dan 4 pernik kecil yang beraneka warna akan disusun menjadi sebuah gelang. Jika pernik kecil harus terdapat diantara pernik besar, maka banyak cara Ani menyusun pernik-pernik menjadi sebuah gelang adalah

Jawab

Banyak cara menyusun 4 pernik besar adalah (4 – 1)! = 3! = 6 susunan

Banyak cara menyusun 4 pernik kecil adalah 4! = 24 susunan, karena 1 pernik kecil selalu berada diantara dua pernik besar sehingga merupakan permutasi linier.

Karena banyak susunan pertama diikuti dengan susunan kedua, maka berlaku aturan perkalian sehingga

Banyak cara menyusun pernak pernik = 6 x 24 = 144


Selamat belajar semoga sukses. Untuk diskusi dan mendukung website ini mohon tinggalkan komentar pada kolom komentar dibawah.😀

Post a Comment

Terimakasih untuk anda telah berkomentar di postingan ini

Previous Post Next Post