Asimtot Tegak Grafik Fungsi Aljabar

2. Asimtot Tegak

Definisi asimtot tegak

Jika x = c merupakan asimtot tegak dari grafik fungsi f(x) jika salah satu dari pernyataan berikut benar :

$\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)=\infty$ $\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=\infty$ $\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=-\infty$

Contoh soal

Tententukan asimtot tegak dari fungsi berikut

1. $f(x)=\frac{1}{x}$

2. $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$

3. $f(x)=\frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}$

4. $f(x)=\frac{1}{x^{2}-x-6}$

5. $f(x)=\frac{x-2}{x^{2}-x-2}$

Penyelesaian

1. $f(x)=\frac{1}{x}$

Perhatikan penyebut dari f(x), tentukan pembuat nol fungsi dari penyebut yang menyebabkan nilai f(x) = $\infty$ yaitu x = 0

Kemudian akan dicek pada x = 0 diperoleh

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty$ dan $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}=\infty$

Karena memenuhi salah satu dari ketentuan diatas maka asimtot tegak dari $f(x)=\frac{1}{x}$ adalah x = 0

Grafik fungsi $f(x)=\frac{1}{x}$ sebagai berikut.

2. $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$

Perhatikan penyebut dari f(x), tentukan pembuat nol fungsi dari penyebut yang menyebabkan nilai f(x) = $\infty$ yaitu x = 0

Kemudian akan dicek pada x = 0 diperoleh

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{1}{x^{2}}=\infty$ dan $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x^{2}}=\infty$

Karena memenuhi limit kiri sama dengan dengan limit kanan maka $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}=\infty$

Jadi asimtot tegak dari $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ adalah x = 0

Grafik fungsi $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ sebagai berikut.

3. $f(x)=\frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}$

Perhatikan penyebut dari f(x), tentukan pembuat nol fungsi dari penyebut yang menyebabkan nilai f(x) = $\infty$ yaitu x = -1

Kemudian akan dicek pada x = -1 diperoleh

$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}=\infty$ dan $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}=\infty$

Karena memenuhi limit kiri sama dengan dengan limit kanan maka $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}=\infty$

Jadi asimtot tegak dari $f(x)=\frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}$ adalah x = -1

Grafik fungsi $f(x)=\frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}$ sebagai berikut.

4. $f(x)=\frac{1}{x^{2}-x-6}$

Perhatikan penyebut dari f(x), tentukan pembuat nol fungsi dari penyebut yang menyebabkan nilai f(x) = $\infty$ dengan cara memfaktorkan yaitu

$f(x)=\frac{1}{x^{2}-x-6}=\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x+2 \right )}$ .

Pembuat nol fungsi penyebut adalah x = -2 dan x = 3

Kemudian akan dicek pada x = -2 dan x = 3 diperoleh

$\lim_{x\rightarrow -2^{-}}\frac{1}{x^{2}-x-6}=\infty$ dan $\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\frac{1}{x^{2}-x-6}=\infty$

$\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\frac{1}{x^{2}-x-6}=\infty$ dan $\lim_{x\rightarrow 3^{+}}\frac{1}{x^{2}-x-6}=\infty$

Karena memenuhi limit kiri sama dengan dengan limit kanan maka

$\lim_{x\rightarrow -2}\frac{1}{x^{2}-x-6}=\infty$ dan $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{1}{x^{2}-x-6}=\infty$

Jadi asimtot tegak dari $f(x)=\frac{1}{x^{2}-x-6}$ adalah x = -2 dan x = 3

Grafik fungsi $f(x)=\frac{1}{x^{2}-x-6}$ sebagai berikut.

5. $f(x)=\frac{x-2}{x^{2}-x-2}$

Langkah pertama adalah melakukan pemfaktoran dan menyederhanakan bentuk fungsi f(x).

$f(x)=\frac{x-2}{x^{2}-x-2}=\frac{x-2}{\left ( x-2 \right )\left ( x+1 \right )}=\frac{1}{x+1}$

Perhatikan pemfaktoran penyebut diatas, x = 2 bukan merupakan asimtot tegak walapun merupakan pembuat nol fungsi penyebut karena $\lim_{x\rightarrow 2^{-}}\frac{x-2}{x^{2}-x-2}\neq \infty$ dan $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{x-2}{x^{2}-x-2}\neq \infty$ . Titik ini dinamakan hole.