Asimtot Datar Grafik Fungsi Aljabar

Macam-macam asimtot

Definisi Asimtot Datar

Jika $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=L$ atau $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=L$ , maka garis mendatar y = L dinamakan asimtot datar dari fungsi y = f(x)

Perhatikan fungsi rasional berikut :

$f(x)=\frac{a_{1}x^{m}+a_{2}x^{m-1}+a_{3}x^{m-2}+...+k_{1}}{b_{1}x^{n}+b_{2}x^{n-1}+b_{3}x^{n-2}+...+k_{2}},b_{1}\neq 0$

1. Jika m < n, maka $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0$ , dan asimtot datar dari fungsi f(x) adalah y = 0

2. Jika m = n, maka $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\frac{a_{1}}{b_{1}}$ , dan asimtot datar dari fungsi f(x) adalah $y=\frac{a_{1}}{b_{1}}$

3. Jika m > n, maka $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty$ , dan fungsi f(x) tidak memiliki asimtot datar

Contoh Soal

Tentukan asimtot datar dari fungsi berikut :

1. $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$

2. $f(x)=\frac{2x^{2}-5x+3}{4x^{2}-9}$

3. $f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+4}}$

4. $f(x)=-\frac{x^{3}}{\sqrt{4x^{6}+3}}$

Penyelesaian

1. $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$

Karena pangkat tertinggi variabel pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi variabel pada penyebut, maka $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{x^{2}+1}=0$ .

Sehingga diperoleh asimtot datar dari fungsi f(x) adalah y = 0

Jika digambarkan fungsi f(x) ini menggunakan aplikasi geogebra, maka diperoleh :

Perhatikan bahwa asimtot datar y = 0 memotong grafik fungsi $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$

2. $f(x)=\frac{2x^{2}-5x+3}{4x^{2}-9}$

Karena pangkat tertinggi variabel pembilang sama dengan pangkat tertinggi variabel penyebut, maka

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2x^{2}-5x+3}{4x^{2}-9}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Sehingga asimtot datar dari fungsi f(x) adalah $y=\frac{1}{2}$

Jika digambarkan fungsi f(x) ini menggunakan aplikasi geogebra, maka diperoleh :

Perhatikan bahwa asimtot datarnya tidak memotong grafik fungsi f(x). Dari penyelesaian soal no. 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa asimtot tidak selamanya tidak memotong grafik fungsi, tetapi asimtot juga bisa memotong grafik fungsi. Jadi dari sini bisa dipahami bahwa asimtot merupakan suatu nilai yang didekati secara terus menerus sampai tak hingga oleh grafik fungsi.

3. $f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+4}}$

Perhatikan bentuk akar pada penyebut, akan diambil variabel pangkat tertinggi saja yaitu $\sqrt{x^{2}}$ , dan ingat bahwa :

$\sqrt{x^{2}}=\begin{cases} x & \text{ jika } x\geq 0 \\ -x & \text{ jika } x< 0 \end{cases}$

sehingga diperoleh :

untuk $x\geqslant 0, \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{x}=1$ , maka asimtot datar dari fungsi f(x) adalah y = 1

dan untuk $x< 0, \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-x}{-\left ( -x \right )}=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-x}{x}=-1$ , maka asimtot datar dari fungsi f(x) adalah y = -1.

Jadi asimtot datar dari fungsi f(x) adalah y = 1 dan y = -1.

Jika digambarkan fungsi f(x) ini menggunakan aplikasi geogebra, maka diperoleh :

4. $f(x)=-\frac{x^{3}}{\sqrt{4x^{6}+3}}$

Perhatikan bentuk akar pada penyebut, akan diambil pangkat tertinggi saja.

$x\geqslant 0, \lim_{x\rightarrow \infty }-\frac{x^{3}}{\sqrt{4x^{6}+3}}=-\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{3}}{\sqrt{4x^{6}}}=-\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{3}}{2x^{3}}=-\frac{1}{2}$

$x< 0, \lim_{x\rightarrow -\infty }-\frac{x^{3}}{\sqrt{4x^{6}+3}}=-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x^{3}}{\sqrt{4x^{6}}}=-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-x^{3}}{-\left (-x^{3} \right )}=\frac{1}{2}$

Jadi asimtot fungsi f(x) adalah $y=\frac{1}{2}$ dan $y=-\frac{1}{2}$

Jika digambarkan fungsi f(x) ini menggunakan aplikasi geogebra, maka diperoleh :

Untuk pembahasan asimtot tegak silahkan klik LINK INI. Terimakasih

Asimtot Datar Grafik Fungsi Aljabar

Post a Comment

إرسال تعليق

نموذج الاتصال

Asimtot Datar Grafik Fungsi Aljabar

You might like

Post a Comment

إرسال تعليق

نموذج الاتصال