Asimtot Miring pada Bentuk Aljabar

Pada pembagian fungsi aljabar $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ atau fungsi rasional kemungkinan memiliki asimtot miring jika hasil pembagiannya berbentuk linier atau dengan kata lain pangkat tertinggi variabel f(x) lebih satu dari pangkat tertinggi variabel g(x).

$y=\frac{f(x)}{g(x)}=H(x)+S(x)=ax+b+S(x)$

dimana H(x) = hasil bagi, S(x) = sisa, maka asimtot miring dari $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ adalah y = ax+b

Jadi disini kita harus mengingat kembali pembagian pada bentuk polinomial yaitu dengan cara pembagian bersusun atau cara horner yang sudah dipelajari di kelas 11.

Contoh

Tentukan asimtot miring dari fungsi berikut.

1. $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x+2}$

2. $y=\frac{x^{4}-2x^{3}+3}{x^{3}+2}$

3. $y=\frac{x+2}{x^{2}+3x+2}$

4. $y=\frac{x^{2}}{1-\sqrt{1+x^{2}}}$

5. $y=\frac{x^{3}-2x^{2}}{2x+\sqrt{x^{4}-2}}$

Penyelesaian

1. $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x+2}$

kita akan melakukan pembagian dengan cara bersusun atau cara horner.

Jadi hasil pembagiannya adalah

$y=\frac{x^{2}+2x+3}{x+2}=x+\frac{3}{x+2}$

Perhatikan sisanya,

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3}{x+2}=0$

sehingga asimtot miringnya adalah y = x.

2. $y=\frac{x^{4}-2x^{3}+3}{x^{3}+2}$

Dengan pembagian bersusun diperoleh :

Jadi hasil pembagiannya adalah

$y=\frac{x^{4}-2x^{3}+3}{x^{3}+2}=x-2+\frac{-2x+7}{x^{3}+2}$

Perhatikan sisanya,

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{-2x+7}{x^{3}+2}=0$

sehingga asimtot miringnya adalah $y=x-2$

3. $y=\frac{x<a href=$

Karena pangkat tertinggi variabel pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi variabel penyebut, maka fungsi $y=\frac{x+2}{x^{2}+3x+2}$ tidak memiliki asimtot miring.

4. $y=\frac{x^{2}}{1-\sqrt{1+x^{2}}}$

Perhatikan bentuk akar pada penyebut, kita akan ambil variabel pangkat tertinggi saja sehingga diperoleh

$y=\frac{x^{2}}{1-\sqrt{x^{2}}}$