Konsep Barisan dan Deret Aritmatika dan Pembahasan Soal

BARISAN ARITMATIKA

Apa itu Barisan Artimatika?

Barisan aritmatika adalah susunan bilangan atau barisan bilangan yang memiliki selisih setiap suku yang berurutan tetap. Selisih suku berurutan ini dinamakan beda (b). Dengan kata lain bahwa suatu barisan bilangan dikatakan barisan aritmatika jika selisih suku berurutannya tetap.

Misal $U_{1},U_{2},U_{3},U_{4},...,U_{n}$ adalah barisan aritamatika maka beda suku-suku berurutannya adalah $b=U_{2}-U_{1}=U_{3}-U_{2}=U_{4}-U_{3}=...=U_{n}-U_{n-1}$

Menentukan Besar Suku Ke-n dari Barisan Aritmatika

Misal suatu barisan bilangan $U_{1},U_{2},U_{3},U_{4},...,U_{n}$ adalah barisan aritmatika dengan besar suku pertamanya adalah a dengan beda b, maka :

$U_{1}=a$

$U_{2}=U_{1}+b=a+b$

$U_{3}=U_{2}+b=(a+b)+b=a+2b$

$U_{4}=U_{3}+b=(a+2b)+b=a+3b$

$U_{5}=U_{4}+b=(a+3b)+b=a+4b$

$U_{n}=U_{n-1}+b=(a+(n-2)b)+b=a+(n-1)b$

Penjelasan Pola diatas

Jadi secara umum rumus besar suku ke-n dari barisan aritmatika adalah

CONTOH DAN PEMBAHASAN SOAL

Contoh 1

Diketahui suatu barisan aritmatika 0,3, 6, 9, 12, 15, ...

Hitunglah :

a. Beda

b. Rumus suku ke-n

c. Besar suku ke-100

Pembahasan

Diketahui : a = 0

a. beda = b = U2 - U1 = 3 - 0 = 3 (beda juga dapat dicari dari sembarang suku yang berurutan misal 12 - 9 = 3)

b. Rumus suku ke-n

$U_{n}=a+(n-1)b$

= 0 + (n-1)3

=3n - 3

Jadi rumus suku ke-n dari barisan aritmatika diatas adalah Un = 3n - 3

c. Besar suku ke-100 (n =100)

$U_{n}=a+(n-1)b$

$U_{100}=0+(100-1)3$

= 99x3

= 297

Tips cara cepat menentukan rumus suku ke-n dari barisan aritamatika. Misal U9 = a + 8b, U20 = a + 19b, U100 = a + 99b dan seterusnya. Perhatikan bahwa 9-1=8, 20-1=19 dan 100-1=99

Contoh 2

Bila a, b, c merupakan suku berurutan yang membentuk barisan aritmatika, buktikan bahwa ketiga suku berurutan berikut ini juga membentuk barisan aritmatika $\frac{1}{bc},\frac{1}{ca},\frac{1}{ab}$

Pembahasan

a, b, c merupakan suku berurutan barisan aritmatika. Misal beda dari barisan diatas adalah k, maka

b - a = k dan c - b = k

Perhatikan barisan $\frac{1}{bc},\frac{1}{ca},\frac{1}{ab}$ merupakan suku berurutan. Misal $k_{1}$ adalah selisih suku ke-2 dan suku ke-1 dan $k_{2}$ adalah selisih suku ke-3 dan suku ke-2, akan dibuktikan $k_{1}$ = $k_{2}$

$k_{1}=\frac{1}{ca}-\frac{1}{bc}$

$=\frac{b}{abc}-\frac{a}{abc}$

$=\frac{b-a}{abc}$

$=\frac{k}{abc}$

$k_{2}=\frac{1}{ab}-\frac{1}{ca}$

$=\frac{c}{abc}-\frac{b}{abc}$

$=\frac{c-b}{abc}$

$=\frac{k}{abc}$

Karena $k_{1}$ = $k_{2}$ maka barisan $\frac{1}{bc},\frac{1}{ca},\frac{1}{ab}$ merupakan barisan aritmatika (Terbukti).

Contoh 3

Setiap hari Badil menabung sisa uang jajannya. Hari pertama ia menabung sebesar Rp. 1.000 dan hari-hari selanjutnya selalu bertambah Rp. 500 dari hari sebelumnya. Hitunglah banyak uang di tabungan Badil pada hari ke-10.

Pembahasan

Diketahui a = 1.000 dan b = 500

Ditanyakan U10

Maka

U10 = a + (n - 1)b

= 1000 + (10 - 1)500

= 1000 + (9)500

= 1000 + 4500

= 5500

Jadi uang Badil pada hari ke-10 adalah Rp. 5.500.

Contoh 4

Dari sebuah barisan aritmatika diketahui U2 = 12 dan U6 = 32. Hitunglah :

a. Besar suku pertama dan beda

b. Rumus suku ke-n

c. Besar suku ke-25

Pembahasan

a. Besar suku pertama dan beda

U2 = 12

a + b = 12

a = 12 - b .......(1)

U6 = 32

a + 5b = 32 .....(2)

Subtitusi persamaan (1) ke persamaan (2)

a + 5b = 32

12 - b + 5b = 32

4b = 32 - 12

4b = 20

b = 20/4

b = 5

Substitusi b = 5 ke persamaan (1)

a = 12 - b

a = 12 - 5

a = 7

Jadi besar suku pertama a = 7 dan beda b = 5

b. Rumus suku ke-n

Un = a + (n - 1)b

= 7 + (n-1)5

= 7 + 5n - 5

= 5n + 2

Jadi rumus suku ke-n dari barisan aritmatika diatas adalah Un = 5n + 2

c. Besar Suku ke-25

Un = a + (n - 1)b

U25 = 7 + (25 - 1)5

= 7 + (24)5

= 7 + 120

= 127

Jadi besar suku ke-25 dari barisan aritmatika diatas adalah 127

Tips cara cepat mencari beda dari barisan aritmatika jika diketahui besar suku yang tidak berurutan. Misal Ux = p dan Uy = q, Ux dan Uy tidak berurutan, maka $b=\frac{q-p}{y-x}$

DERET ARITMATIKA

Apa itu deret aritmatika ?

Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku dari barisan aritmatika. Bentuk umum dari deret aritmatika adalah $U_{1}+U_{2}+U_{3}+...+U_{n}$ . Jumlah suku ke-n dari deret aritmatika dilambangkan dengan $S_{n}$ Sehinga $S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+...+U_{n}$

Menentukan Rumus Jumlah Suku Ke-n dari Deret Aritmatika

Untuk menentukan rumus Jumlah suku ke-n dari deret geometri perhatikan uraian berikut.

Keterangan proses penjumlah diatas

Rumus Sn kedua merupakan rumus Sn pertama yang penulisannya dibalik dari akhir ke awal

Penjumlahan pada ruas kiri

Sn + Sn = 2Sn

Penjumlahan pada ruas kanan

Penjumlahan ke-1 : suku ke-1 dengan suku ke-(n)

a+(a+(n-1)b) = 2a+(n-1)b

Penjumlahan ke-2 : Penjumlahan suku ke-2 dengan suku ke-(n-1)

(a+b)+(a+(n-2)b) = a+b+a+bn-2b

= a+a+bn+b-2b

= 2a+bn-b

= 2a+(n-1)b

Penjumlahan ke-3 : Penjumlahan suku ke-3 dengan suku ke-(n-2)

(a+2b)+(a+(n-3)b) = a+2b+a+bn-3b

= a+a+bn+2b-3b

= 2a+bn-b

= 2a+(n-1)b

Penjumlahan ke-4 dan seterusnya mengikuti pola diatas dan menghasilkan 2a+(n-1)b

Penjumlahan ke-(n-2) : Penjumlahan suku ke-(n-2) dengan suku ke-3

(a+(n-3)b)+(a+2b) = a+bn-3b+a+2b

= a+a+bn+2b-3b

= 2a+bn-b

= 2a+(n-1)b

Penjumlahan ke-(n-1) : Penjumlahan suku ke-(n-1) dengan suku ke-2

(a+(n-2)b)+(a+b) = a+bn-2b+a+b

= a+a+bn+b-2b

= 2a+bn-b

= 2a+(n-1)b

Penjumlahan ke-n : Penjumlagan suku ke-n dengan suku ke-1

(a+(n-1)b)+a = a+a+(n-1)b = 2a+(n-1)b

Jadi rumus jumlah suku ke-n dari deret aritmatika adalah

$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1)b \right )$

Keterangan :

Sn = Jumlah suku ke-n

a = Suku pertama

b = beda

Perhatikan rumus diatas, dan ingat bahwa Un = a+(n-1)b, maka

$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1)b \right )$

$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+(a+(n-1)b) \right )$

$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+U_{n} \right )$

Jadi rumus lain dari jumlah suku ke-n deret aritmatika adalah

$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+U_{n} \right )$

dengan Un adalah besar suku ke-n.

Contoh Soal 1

Hitunglah jumlah seratus suku pertama dari bilangan asli.

Pembahasan

Deret seratus suku pertama bilangan asli adalah :

1+2+3+4+5+...+100

Diketahui

a = 1

b = 2-1 = 1

n = 100

Un = 100

ditanyakan : S100 = ....?

Cara 1 : menggunakan rumus pertama

$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1)b \right )$

$S_{100}=\frac{100}{2}\left ( 2.1+(100-1)1 \right )$

$=50\left ( 2+(99)1 \right )$

$5=0\left ( 2+99 \right )$

$=50\left ( 101 \right )$

$=5050$

Jadi jumlah seratus suku pertama dari bilangan asli adalah 5050.

Cara 2 : mengunakan rumus kedua

$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+U_{n} \right )$

$S_{100}=\frac{100}{2}\left ( 1+100 \right )$

$=50\left ( 101 \right )$

$=5050$

Jadi jumlah seratus suku pertama dari bilangan asli adalah 5050.

Contoh Soal 2

Jumlah 3 bilangan genap berurutan adalah 90. Hitunglah jumlah bilangan terkecil dan terbesarnya.

Pembahasan

3 bilangan genap berurutan merupakan barisan aritmatika

Diketahui S3 = 90, n = 3

Ditanyakan : Jumlah bilangan terkecil dan terbesar

Dari rumus $S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+U_{n} \right )$ bahwa (a+Un) merupakan jumlah suku terkecil dan terbesar maka

$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+U_{n} \right )$

$S_{3}=\frac{3}{2}\left ( a+U_{n} \right )$

$90=\frac{3}{2}\left ( a+U_{n} \right )$

$\left ( a+U_{n} \right )=90\frac{2}{3}$

$\left ( a+U_{n} \right )=60$

Jadi Jumlah suku terkecil dan terbesar dari deret aritmatika tersebut adalah 60.

Contoh 3

Suatu barisan aritmatika suku ke-8 = 22 dan suku ke-12 = 34. Hitunglah jumlah 24 suku pertama dari deret tersebut.

Pembahasan

Diketahui

U8 = 22

n = 24

U12 = 34

Ditanyakan : S24 = ....?

U8 = 22

a+7b = 22 .... (1)

$b=\frac{U_{12}-U_{8}}{12-8}$

$b=\frac{34-22}{12-8}$

$b=\frac{12}{4}$

$b=3$

Substitusi b = 3 ke persamaan (1)

a+7b=22

a+(7.3)=22

a+21=22

a=1

maka

$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1)b \right )$

$S_{24}=\frac{24}{2}\left ( 2.1+(24-1)3 \right )$

= 12(2+(23)3)

= 12(2+69)

= 12(71)

= 852

Jadi jumlah 24 suku pertama dari deret aritmatika tersebut adalah 852.

Contoh 4 (Soal UN IPA Tahun 2016)

Suatu barisan aritmatika memiiki suku kedua adalah 8, suku keempat adalah 14 dan suku terakhir adalah 23. Jumlah semua suku barisan tersebut adalah ....

A. 56

B. 77

C. 98

D. 105

E. 112

Pembahasan

Diketahui U2 = 8, U4 = 14 dan Un = 23

Ditanyakan Sn = ....?

Cara 1

U2 = 8

a + b = 8

a = 8 - b .............(persamaan 1)

U4 = 14

a + 3b = 14 .........(persamaan 2)

Substitusi persamaan 1 ke persamaan 2

a + 3b = 14

8 - b + 3b = 14

2b = 14 - 8

2b = 6

b = 6/2 = 3

substitusi b = 3 ke persamaan 1

a = 8 - b = 8 - 3 = 5

Perhatikan bahwa Un = 23

Un = 23

a + (n - 1)b = 23

5 + (n-1)3 = 23

5 + 3n - 3 = 23

3n = 23 + 3 - 5

3n = 21

n = 21/3 = 7

Maka

$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1)b \right )$

$S_{7}=\frac{7}{2}\left ( 2.5+(7-1)3 \right )$

$=\frac{7}{2}\left ( 10+18 \right )$

$=\frac{7}{2}\left ( 28 \right )$

$=7.14=98$

Cara 2

$b=\frac{U_{4}-U_{2}}{4-2}$

$=\frac{14-8}{4-2}$

$=\frac{6}{2}=3$

U2 = 8

a + b = 8

a = 8 - b ......(persamaan 1)

Subtitusikan b = 3 ke persamaan 1

a = 8 - 3 = 5

Perhatikan bahwa

Un = 23

a + (n - 1)b = 23

5 + (n-1)3 = 23

5 + 3n - 3 = 23

3n = 23 + 3 - 5

3n = 21

n = 21/3 = 7

Maka

$S_{n}=\frac{n}{2}(a+U_{n})$

$S_{7}=\frac{7}{2}(5+23)$

$=\frac{7}{2}(28)$

$=7.14=98$

Kunci Jawaban : C

Contoh 5 (Soal UN 1PS tahun 2018)

Seorang ayah menabung uangnya dirumah. Setiap bulan besar tabungan bertambah secara tetap dimulai dari bulan pertama Rp50.000,00, bulan kedua Rp55.000,00, bulan ketiga Rp60.000,00, dan seterusnya. Jumlah tabungan selama 10 bulan adalah ....

A. Rp500.000,00

B. Rp550.000,00

C. Rp600.000,00

D. Rp700.000,00

E. Rp725.000,00

Pembahasan

Tabungan bertambah secara tetap, maka kegiatan menabung ini membentuk barisan aritmatika.

Diketahui : a = 50.000, b = 55.000 - 50.000 = 5.000

Ditanyakan : S10 = .... ?

$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1)b \right )$

$S_{10}=\frac{10}{2}\left ( 2x50.000+(10-1)5.000 \right )$

$=5(100.000+45.000)=5(145.000)=725.000$

Jadi banyak tabungan selama 10 bulan adalah Rp725.000,00

Kunci Jawaban : E

Untuk pembahasan soal lainnya yang sesuai dengan kurikulum merdeka pokok bahasan barisan dan deret aritmatika dapat dipelajari melalui link https://www.sambimatika.my.id/2022/10/pembahasan-soal-barisan-dan-deret.html

Konsep Barisan dan Deret Aritmatika dan Pembahasan Soal

BARISAN ARITMATIKA

Apa itu Barisan Artimatika?

Menentukan Besar Suku Ke-n dari Barisan Aritmatika

CONTOH DAN PEMBAHASAN SOAL

DERET ARITMATIKA

Apa itu deret aritmatika ?

Menentukan Rumus Jumlah Suku Ke-n dari Deret Aritmatika

1 Comments

Post a Comment

Contact Form

Konsep Barisan dan Deret Aritmatika dan Pembahasan Soal

BARISAN ARITMATIKA

Apa itu Barisan Artimatika?

Menentukan Besar Suku Ke-n dari Barisan Aritmatika

CONTOH DAN PEMBAHASAN SOAL

DERET ARITMATIKA

Apa itu deret aritmatika ?

Menentukan Rumus Jumlah Suku Ke-n dari Deret Aritmatika

You might like

1 Comments

Post a Comment

Contact Form