Pola Bilangan dan Pembahasan Soal

PENGERTIAN POLA BILANGAN

Pola bilangan adalah suatu susunan yang terdiri dari bilangan-bilangan teratur dan membentuk suatu pola tersendiri. Pola bilangan juga disebut barisan bilangan.

Rumus suku ke-n dari beberapa pola bilangan dapat dilihat dari tabel berikut.

No	Pola Bilangan	Rumus Suku ke-n
1.	Pola Bilangan Asli 1, 2, 3, 4, 5, …	Un = n
2.	Pola Bilangan Genap 2, 4, 6, 8, 10, …	Un = 2n
3.	Pola Bilangan Ganjil 1, 3, 5, 7, 9, …	Un = 2n – 1
3.	Pola Bilangan Persegi 1, 4, 9, 16, …	Un = n²
4.	Pola Bilangan Persegi Panjang 2, 6, 12, 20, 30, …	Un = (n + 1) n
5.	Pola Bilangan Segitiga 1, 3, 6, 10, 15, …	Un = ((n + 1) n)/2
6.	Pola Bilangan Segitiga Pascal 1, 2, 4, 8, 16, 32, …	Un = 2^n-1
7.	Pola Bilangan Fibonacci adalah suatu barisan bilangan yang merupakan hasil penjumlahan dua bilangan sebelumnya, ditemukan oleh Leonardo da Pisa atau dikenal dengan Fibonacci. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …	$Bilangan Fibonacci definiskan secara rekursif yaitu$ $F_{n}=\left\{\begin{matrix} 0\, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Jika\, \, n=0\\ 1\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Jika\, \, n=1\\ F_{(n-1)}+F_{(n-2)}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \end{matrix}\right.$ $Bilangan Fibonacci juga dapat dinyatan dengan$ $F_{n}=\frac{x_{1}^{n}-x_{2}^{n}}{\sqrt{5}}$ dengan x1 dan x2 merupakan akar dari persamaan $x^{2}-x-1=0$ atau $F_{n}=\frac{\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{n}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{n}}{\sqrt{5}}$

CONTOH DAN PEMBAHASAN SOAL

Contoh 1

Tentukan suku ke-n dari barisan berikut.

a. $\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{6},\frac{7}{8},...$

b. -2, 4, -8, 16, -32, ...

Pembahasan

a. Perhatikan pembilang dari barisan tersebut. Pembilang merupakan bilangan ganjil. Suku ke-n dari bilangan ganjil adalah 2n - 1.

Perhatikan penyebut dari barisan tersebut. Penyebut merupakan bilangan genap. Suku ke-n dari bilangan genap adalah 2n.

Maka suku ke-n dari pola bilangan $\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{6},\frac{7}{8},...$ adalah

$U_{n}=\frac{2n-1}{2n}$

b. Perhatikan tanda dari pola bilangan diatas (-, +, -, +, -, ...). Pola tanda ini dapat dirumuskan menjadi $(-1)^{n}$

Perhatikan susunan bilangan tanpa melihat tanda : 2, 4, 8, 16, 32 merupakan perpangkatan bilangan 2 untuk setiap bilangan asli yaitu $(2)^{n}$

Sehingga rumus suku ke-n dari barisan -2, 4, -8, 16, -32, ... adalah

$U_{n}=(-1)^{n}(2)^{n}$

Contoh 2

Tentukan pola barisan pada $\frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{12},\frac{1}{20},\frac{1}{30},\frac{1}{42},...,\frac{1}{9900}$ . Tentukan banyak suku pada barisan tersebut.

Pembahasan

Untuk mencari pola dari barisan bilangan diatas perhatikan penjelasan berikut ini.

Jika Un adalah suku ke-n sebuah barisan dengan n = 1,2,3, ... Maka barisan diatas dapat disajikan dalam tabel berikut

Suku ke	Nilai	Pola
$U_{1}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}=\frac{1}{1^{2}+1}$
$U_{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}=\frac{1}{2^{2}+2}$
$U_{3}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}=\frac{1}{3^{2}+3}$
$U_{4}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{1}{20}=\frac{1}{4^{2}+4}$
$U_{5}$	$\frac{1}{30}$	$\frac{1}{30}=\frac{1}{5^{2}+5}$
$U_{6}$	$\frac{1}{42}$	$\frac{1}{42}=\frac{1}{6^{2}+6}$
...	...	...
$U_{n}$	?	$?=\frac{1}{n^{2}+n}$