Invers Fungsi Aljabar dan Pembahasan Soal

Pengertian Invers Fungsi

Perhatikan gambar berikut

Misalkan f suatu fungsi dari A ke dalam B dan misalkan untuk suatu $a\in A$ petanya adalah $f(a)=b\in B$ , maka invers dari b (dinyatakan dengan $f^{-1}(b)$ ) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki $b\in B$ sebagai petanya.

Secara singkat, jika 𝑓 ∶ 𝐴 → B sedemikian hingga 𝑓 ∶ 𝑥 → f (x) maka yang dimaksud dengan invers fungsi b adalah :

$f^{-1}(b)=\left \{ x|x\in A,\, f(x)=b \right \}$

(Notasi $f^{-1}$ dibaca f invers)

Rumus khusus invers fungsi aljabar

1. Jika f(x) = ax + b, a $\neq$ 0, maka $f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$

2. Jika $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ , maka $f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}$

3. Jika $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dengan $x\geq -\frac{b}{2a}$ , maka $f^{-1}(x)=\frac{-b\pm \sqrt{4ax+b^{2}-4ac}}{2a}$

4. Jika $f(x)=\sqrt[n]{ax+b}$ , maka $f^{-1}(x)=\frac{x^{n}-b}{a}$

Invers dari Fungsi Komposisi

1. Misalkan fungsi h merupakan fungsi komposisi dari fungsi 𝑓 dan 𝑔 ditulis ℎ = 𝑔 ∘ 𝑓 maka invers dari fungsi h adalah fungsi invers dari fungsi komposisi ℎ dapat ditulis dengan notasi $h^{-1}=\left ( gof \right )^{-1}$ .

2. $\left ( fog \right )^{-1}=g^{-1}of^{-1}$

Dengan demikian untuk menentukan rumus invers fungsi dari fungsi komposisi, dapat dilakukan dengan dua cara yaitu:

a. Menentukan dulu rumus fungsi komposisi, kemudian menentukan inversnya.

b. Menentukan dulu inversnya masing-masing fungsi, kemudian dikomposisikan.

Contoh dan Pembahasan Soal

1. Tentukan invers dari f(x) = 2x + 1

Pembahasan

Cara 1 : Menggunakan rumus 1 diatas

Bentuk f(x) = 2x + 1 setara dengan bentuk f(x) = ax + b, maka diketahui

a = 2 dan b = 1, sehingga diperoleh

$f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$

$=\frac{x-1}{2}$

Cara 2 : menyatakan bentuk y = ax + b menjadi x = ....

f(x) = 2x + 1

y = 2x + 1

2x = y - 1

$x=\frac{y-1}{2}$

Sehingga diperoleh

$f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$

2. Tentukan invers dari f(x) = -3x - 4

Pembahasan

Cara 1

Diketahui a = -3 dan b = -4 sehingga diperoleh

$f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$

$f^{-1}(x)=\frac{x-(-4)}{-3}$

$f^{-1}(x)=\frac{x+4}{-3}$

Cara 2

y = -3x - 4

-3x = y + 4

$x=\frac{y+4}{-3}$

Jadi

$f^{-1}(x)=\frac{x+4}{-3}$

3. Soal UMBK MAN 2 Lombok Timur Tahun 2020

Diketahui $f(x)=\frac{5x+2}{3x-1},x\neq \frac{1}{3}$ , invers dari fungsi f(x) adalah ....

A. $\frac{3x+1}{5x+2},x\neq -\frac{2}{5}$

B. $\frac{3x-1}{5x-2},x\neq \frac{2}{5}$

C. $\frac{5x+2}{3x+1},x\neq -\frac{1}{3}$

D. $\frac{x-2}{3x-5},x\neq \frac{5}{3}$

E. $\frac{x+2}{3x-5},x\neq \frac{5}{3}$

Pembahasan

Cara 1 : Menggunakan rumus 2 diatas

Dari $f(x)=\frac{5x+2}{3x-1},x\neq \frac{1}{3}$ diketahui

a = 5, b = 2, c = 3 dan d = -1, maka

$f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}$

$f^{-1}(x)=\frac{-(-1)x+2}{3x-5}$

$f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3x-5},x\neq \frac{5}{3}$

Kunci Jawaban : E

Cara 2 : mengubah bentuk y = .... menjadi x = ...

$y=\frac{5x+2}{3x-1}$

$y(3x-1)=5x+2$

$3xy-y=5x+2$

$3xy-5x=y+2$

$x(3y-5)=y+2$

$x=\frac{y+2}{3y-5}$

Sehingga diperoleh

$f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3x-5},x\neq \frac{5}{3}$

4. Diketahui $f(x)=2x^{2}$ dan g(x) = 2x + 5. Tentukan $(fog)^{-1}(x)$

Pembahasan

Cara 1 : Menentukan rumus komposisi fungsi kemudian mencari inversnya

(fog)(x) = f(g(x))

= f(2x + 5)

= $2(2x+5)^{2}$

= $2(4x^{2}+20x+25)$

= $8x^{2}+40x+50$

Dengan menggunakan rumus 3 diatas diperoleh :

$(fog)^{-1}(x)=\frac{-b\pm \sqrt{4ax+b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-40\pm \sqrt{32x+1600-1600}}{16}$

$=\frac{-40\pm \sqrt{32x}}{16}$

$=\frac{-40\pm 4\sqrt{2x}}{16}$

$=\frac{-10\pm \sqrt{2x}}{4}$

Cara 2 Menentukan invers masing-masing fungsi kemudian baru dikomposisikan.

Cari invers dari fungsi f(x)

$y=2x^{2}$

$x^{2}=\frac{1}{2}y$

$x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}y}$

$x=\pm \frac{1}{2}\sqrt{2y}$

Maka

$f^{-1}(x)=\pm \frac{1}{2}\sqrt{2x}$

Cari invers dari fungsi g(x)

y = 2x + 5

2x = y - 5

$x=\frac{y-5}{2}$

maka

$g^{-1}(x)=\frac{x-5}{2}$

Komposisikan invers fungsi diatas

$(fog)^{-1}(x)=g^{-1}(x)of^{-1}(x)$

$=g^{-1}(f^{-1}(x))$

$=g^{-1}(\pm \frac{1}{2}\sqrt{2x})$

$=\frac{\pm \frac{1}{2}\sqrt{2x}-5}{2}$

$=\frac{\pm \sqrt{2x}-10}{4}$

$=\frac{-10\pm \sqrt{2x}}{4}$

Invers Fungsi Aljabar dan Pembahasan Soal

Pengertian Invers Fungsi

Rumus khusus invers fungsi aljabar

Invers dari Fungsi Komposisi

Contoh dan Pembahasan Soal

1 Comments

Post a Comment

Contact Form

Invers Fungsi Aljabar dan Pembahasan Soal

Pengertian Invers Fungsi

Rumus khusus invers fungsi aljabar

Invers dari Fungsi Komposisi

Contoh dan Pembahasan Soal

You might like

1 Comments

Post a Comment

Contact Form