Konsep Barisan dan Deret Geometri dan Pembahasan Soal

BARISAN GEOMETRI

Apa itu barisan geometri ?

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki perbandingan suku-suku berurutannya tetap. Perbandingan suku-suku ini dinamakan dengan rasio (r).

Misal $U_{1},U_{2},U_{3},...,U_{n}$ adalah barisan geometri, maka perbandingan suku-suku berurutannya adalah $r=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{U_{3}}{U_{2}}=...=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}$

Menentukan Rumus suku ke-n dari barisan geometri

$U_{1}=a$

$U_{2}=U_{1}r=ar$

$U_{3}=U_{2}r=ar.r=ar^{2}$

$U_{4}=U_{3}r=ar^{2}.r=ar^{3}$

$U_{n-1}=U_{n-2}r=ar^{n-3}.r=ar^{n-2}$

$U_{n}=U_{n-1}r=ar^{n-2}.r=ar^{n-1}$

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah

$U_{n}=ar^{n-1}$

dengan

Un = besar suku ke-n

a = suku pertama

r = rasio barisan geometri

CONTOH DAN PEMBAHASAN SOAL

Contoh 1

Diketahui barisan geometri 2, 6, 18, 34, ... . Hitunglah :

a. Rasio

b. Rumus suku ke-n

c. Besar suku ke-10

Pembahasan

a. Mencari rasio

Rasio dapat dicari dari perbandingan suku ke-2 dan suku ke-1 atau suku ke-3 dan suku ke-2 atau suku berurutan yang lain. Pada contoh ini rasio dicari dengan membandingkan suku ke-2 dan suku ke-1.

$r=\frac{U_{2}}{U_{1}}$

$=\frac{6}{2}=3$

Jadi rasio dari barisan geometri diatas adalah 3

b. Rumus suku ke-n

$U_{n}=ar^{n-1}$

$=2.3^{n-1}$

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri diatas adalah $U_{n}=2.3^{n-1}$

c. Besar suku ke-10

$U_{n}=ar^{n-1}$

$U_{10}=2.3^{10-1}$

$=2.3^{9}$

= 2x19683

= 39366

Jadi besar suku ke-10 dari barisan geometri diatas adalah 39365

Contoh 2

Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-9 dari barisan bilangan dibawah ini.

a. 1, 4, 16, 24, ...

b. 5, 10, 20, 40, ...

c. 9, 27, 81, 243, ...

d. $\frac{1}{25},\frac{1}{5},1,5,...$

e. 81, 27, 9, 3, ...

Pembahasan

a. 1, 4, 16, 24, ...

Diketahui a = 1, dan r = 4

Ditanyakan : Un dan U9

$U_{n}=ar^{n-1}$

$=1.4^{n-1}=4^{n-1}$

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri diatas adalah $U_{n}=4^{n-1}$

Sehingga besar suku ke-9 adalah

$U_{9}=4^{9-1}$

$=4^{8}=65536$

b. 5, 10, 20, 40, ...

Diketahui a = 5, $r=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{10}{5}=2$

Ditanyakan : Un dan U9

$U_{n}=ar^{n-1}$

$=5.2^{n-1}$

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri diatas adalah $U_{n}=5.2^{n-1}$

Sehingga besar suku ke-9 adalah

$U_{9}=5.2^{9-1}$

$=5.2^{8}=5.256=1280$

c. 9, 27, 81, 243, ...

Diketahui a = 9, $r=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{27}{9}=3$

Ditanyakan : Un dan U9

$U_{n}=ar^{n-1}$

$=9.3^{n-1}$

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri diatas adalah $U_{n}=9.3^{n-1}$

Sehingga besar suku ke-9 adalah

$U_{n}=9.3^{n-1}$

$U_{9}=9.3^{9-1}$

$=9.3^{8}$

$=9.6561$

$=59049$

d. $\frac{1}{25},\frac{1}{5},1,5,...$

Diketahui a = $\frac{1}{25}$ dan $r=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{25}}=\frac{1}{5}x25=5$

Ditanyakan : Un dan U9

$U_{n}=ar^{n-1}$

$=\frac{1}{25}.5^{n-1}$

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geomteri diatas adalah $U_{n}=\frac{1}{25}.5^{n-1}$

$U_{9}=\frac{1}{25}.5^{9-1}$

$=\frac{1}{25}.5^{8}$

$=\frac{1}{25}.390625$

$=15625$

e. 81, 27, 9, 3, ...

Diketahui a = 81 dan $r=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{27}{81}=\frac{1}{3}$

Ditanyakan : Un dan U9

$U_{n}=ar^{n-1}$

$=81.\left ( \frac{1}{3} \right )^{n-1}$

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri diatas adalah $U_{n}=81.\left ( \frac{1}{3} \right )^{n-1}$

Maka besar suku ke-9 adalah

$U_{9}=81.\left ( \frac{1}{3} \right )^{9-1}$

$=81.\left ( \frac{1}{3} \right )^{8}$

$=81.\frac{1}{6561}$

$=\frac{1}{81}$

Contoh 3

Selesaikan barisan geometri dibawah ini.

a. Suku ke-4 = 27 dan suku ke-6 243. Tentukan suku ke-8

b. $U_{2}=2\sqrt{2}$ dan U5 = 8, tentukan U10

Pembahasan

a. Suku ke-4 = 27 dan suku ke-6 243. Tentukan suku ke-8

$U_{4}=27$

$ar^{3}=27$

$a=\frac{27}{r^{3}}$ ..... Persamaan (1)

$U_{6}=243$

$ar^{5}=243$ ...... Persamaan (2)

Subsitusi persamaan (1) ke persamaan (2)

$\frac{27}{r^{3}}r^{5}=243$

$27r^{2}=243$

$r^{2}=\frac{243}{27}$

$r^{2}=9$

$r=\pm \sqrt{9}$

$r=\pm 3$

Untuk r = 3

Subtitusi r =3 ke persamaan (1)

$a=\frac{27}{r^{3}}$

$a=\frac{27}{3^{3}}$

a = 1

diperoleh barisan geometri berikut

1, 3, 9, 27, 81, 243, ...

Maka

$U_{8}=ar^{7}$

$U_{8}=1.3^{7}$

$U_{8}=2187$

Untuk r = -3

subtitusi r = -3 ke persamaan 1

$a=\frac{27}{r^{3}}$

$a=\frac{27}{(-3)^{3}}$

$a=\frac{27}{-27}$

$a=-1$

Diperoleh barisan geometri berikut

-1, 3, -9, 27, -81, 243, ...

Maka

$U_{8}=ar^{7}$

$U_{8}=(-1)(-3)^{7}$

$U_{8}=(-1)(-2187)$

$U_{8}=2187$

Perhatikan bahwa walaupun menghasilkan U8 yang sama tetapi barisan geometrinya berbeda.

b. $U_{2}=2\sqrt{2}$ dan U5 = 8, tentukan U10

$U_{2}=2\sqrt{2}$

$ar=2\sqrt{2}$

$a=\frac{2\sqrt{2}}{r}$ ...... Persamaan (1)

$U_{5}=ar^{4}$

$U_{5}=8$

$ar^{4}=8$ ....... Persamaan (2)

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2)

$\frac{2\sqrt{2}}{r}r^{4}=8$

$2\sqrt{2}r^{3}=8$

$r^{3}=\frac{8}{2\sqrt{2}}$

$r^{3}=2\sqrt{2}$

$r=\left ( 2\sqrt{2} \right )^{\frac{1}{3}}$

$r=\left ( 2.2^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{3}}$

$r=2^{\frac{1}{3}}.\left ( 2^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{3}}$

$r=2^{\frac{1}{3}}.2^{\frac{1}{6}}$

$r=2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}$

$r=2^{\frac{3}{6}}$

$r=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$

Substitusi $r=\sqrt{2}$ ke persamaan (1)

$a=\frac{2\sqrt{2}}{r}$

$a=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$a=2$

Maka

$U_{10}=ar^{9}$

$U_{10}=2.(\sqrt{2})^{9}$

$U_{10}=2.(\sqrt{2})^{8}.\sqrt{2}$

$U_{10}=2.2^{\frac{8}{2}}.\sqrt{2}$

$U_{10}=2.2^{4}.\sqrt{2}$

$U_{10}=2.16.\sqrt{2}$

$U_{10}=32\sqrt{2}$

DERET GEOMETRI

Apa itu deret geometri ?

Jika diketahui barisan geometri $U_{1},U_{2},U_{3},...,U_{n}$ maka deret geometri dituliskan menjadi $U_{1}+U_{2}+U_{3}+...+U_{n}$ . Jumlah dari n suku deret geometri dilambangkan dengan Sn, sehingga jumlah n suku deret geometri adalah $S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+...+U_{n}$

Rumus Jumlah n suku deret geometri

Jika diketahui suku pertama dari deret geometri adalah a dengan rasio r, maka :

$\begin{matrix} S_{n}=a\, \, \, +\,\, \, ar\, \,\, +\, \, \, ar^{2}\, \, \, +\,\, \, ar^{3}\,\, \, +\,\, \, ...\, \, \, +\, \, \, ar^{n-1} \\ \underline{-rS_{n}=\, \, \, \, \, \, -ar-ar^{2}-ar^{3}-ar^{4}-...-ar^{n-1}-ar^{n}}\, \, \, + \\ S_{n}-rS_{n}=a+(ar-ar)+(ar^{2}-ar^{2})+(ar^{3}-ar^{3}+...+(ar^{n-1}-ar^{n-1})-ar^{n} \end{matrix}$

$S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n}$

$S_{n}(1-r)=a(1-r^{n})$

$S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$

Jadi rumus jumlah n suku deret geometri adalah

$S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r},r\neq 1$

Contoh 4

Tentukan hasil dari jumlah bilangan dibawah ini.

a. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... (sampai 10 suku)

b. 5 - 15 + 45 - 135 + ... (sampai 8 suku)

Pembahasan

a. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... (sampai 10 suku)

Diketahui a = 1, r = 2/1 = 2, maka

Ditanyakan S10

maka

$S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$

$S_{10}=\frac{1(1-2^{10})}{1-2}$

$S_{10}=\frac{1-1024}{1-2}$

$S_{10}=\frac{-1023}{-1}$

$S_{10}=1023$

b. 5 - 15 + 45 - 135 + ... (sampai 8 suku)

Diketahui a = 5 dan r = -15/5 = -3

Maka

$S_{8}=\frac{5((-3)^{8}-1)}{-3-1}$

$S_{8}=\frac{5(6561-1)}{-4}$

$S_{8}=\frac{5(6560)}{-4}$

$S_{8}=\frac{32800}{-4}$

$S_{8}=-8200$

Contoh 5 (Soal UN IPA tahun 2016)

Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian dengan panjang potongan-potongan tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek 10 cm dan terpanang 320 cm. Panjang tali sebelum dipotong adalah ....

A. 310 cm

B. 470 cm

C. 550 cm

D. 630 cm

E. 650 cm

Pembahasan

Perhatikan kalimat soal diatas.

Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian = n = 6

Potongan terpendek = a = 10

Potongan terpanjang = U6 = 320 cm

Ditanyakan panjang tali sebelum dipotong = S6 = ....?

U6 = 320