Barisan dan Deret Geometri (Materi dan Pembahasan Soal)

BARISAN GEOMETRI

Apa itu barisan geometri ?

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki perbandingan suku-suku berurutannya tetap. Perbandingan suku-suku ini dinamakan dengan rasio (r).

Misal  adalah barisan geometri, maka perbandingan suku-suku berurutannya adalah 

 

Menentukan Rumus suku ke-n dari barisan geometri

.
.
.

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah

dengan

Un = besar suku ke-n

a = suku pertama

r = rasio barisan geometri

Contoh 1

Diketahui barisan geometri 2, 6, 18, 34, ... . Hitunglah :

a. Rasio

b. Rumus suku-ke-n

c. Besar suku ke-10

Pembahasan

a. Mencari rasio

Rasio dapat dicari dari perbandingan suku ke-2 dan suku ke-1 atau suku ke-3 dan suku ke-2 atau suku berurutan yang lain. Pada contoh ini rasio dicari dengan membandingkan suku ke-2 dan suku ke-1.

Jadi rasio dari barisan geometri diatas adalah 3

b. Rumus suku ke-n

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri diatas adalah 

c. Besar suku ke-10

     

    = 2x19683

    = 39366

Jadi besar suku ke-10 dari barisan geometri diatas adalah 39365





Contoh 2

Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-9 dari barisan bilangan dibawah ini.

a. 1, 4, 16, 24, ...

b. 5, 10, 20, 40, ...

c. 9, 27, 81, 243, ...

d. 

e. 81, 27, 9, 3, ...

Pembahasan

a. 1, 4, 16, 24, ...

Diketahui a = 1, dan r = 4

Ditanyakan : Un dan U9

    

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri diatas adalah 

Sehingga besar suku ke-9 adalah

    


b. 5, 10, 20, 40, ...

Diketahui a = 5, 

Ditanyakan : Un dan U9

     

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri diatas adalah 

Sehingga besar suku ke-9 adalah

    


c. 9, 27, 81, 243, ...

Diketahui a = 9, 

Ditanyakan : Un dan U9

    

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri diatas adalah 

Sehingga besar suku ke-9 adalah

   

   

   


d. 

Diketahui a =   dan 

Ditanyakan : Un dan U9

    

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geomteri diatas adalah 

    

    

    


e. 81, 27, 9, 3, ...

Diketahui a = 81 dan 

Ditanyakan : Un dan U9

    

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri diatas adalah 

Maka besar suku ke-9 adalah

    

    

    




Contoh 3

Selesaikan barisan geometri dibawah ini.

a. Suku ke-4 = 27 dan suku ke-6 243. Tentukan suku ke-8

b.  dan U5 = 8, tentukan U10

Pembahasan

a. Suku ke-4 = 27 dan suku ke-6 243. Tentukan suku ke-8

 

 ..... Persamaan (1)

 

 ...... Persamaan (2)

Subsitusi persamaan (1) ke persamaan (2)

Untuk r = 3 

Subtitusi r =3 ke persamaan (1)

a = 1

diperoleh barisan geometri berikut

1, 3, 9, 27, 81, 243, ...

Maka 

 

Untuk r = -3

subtitusi r = -3 ke persamaan 1

Diperoleh barisan geometri berikut

-1, 3, -9, 27, -81, 243, ...

Maka

Perhatikan bahwa walaupun menghasilkan U8 yang sama tetapi barisan geometrinya berbeda.


b.  dan U5 = 8, tentukan U10

 ...... Persamaan (1)

 

 ....... Persamaan (2)

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2)

Substitusi  ke persamaan (1) 

Maka 





DERET GEOMETRI

Apa itu deret geometri ?

Jika diketahui barisan geometri  maka deret geometri dituliskan menjadi . Jumlah dari n suku deret geometri dilambangkan dengan Sn, sehingga jumlah n suku deret geometri adalah 

Rumus Jumlah n suku deret geometri

Jika diketahui suku pertama dari deret geometri adalah a dengan rasio r, maka :

Jadi rumus jumlah n suku deret geometri adalah

Contoh 4

Tentukan hasil dari jumlah bilangan dibawah ini.

a. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... (sampai 10 suku)

b. 5 - 15 + 45 - 135 + ... (sampai 8 suku)

Pembahasan

a. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... (sampai 10 suku)

Diketahui a = 1, r = 2/1 = 2, maka

Ditanyakan S10

maka


b. 5 - 15 + 45 - 135 + ... (sampai 8 suku)

Diketahui a = 5 dan r = -15/5 = -3

Maka






Contoh 5 (Soal UN IPA tahun 2016)

Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian dengan panjang potongan-potongan tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek 10 cm dan terpanang 320 cm. Panjang tali sebelum dipotong adalah ....

A. 310 cm

B. 470 cm

C. 550 cm

D. 630 cm

E. 650 cm

Pembahasan

Perhatikan kalimat soal diatas.

Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian = n = 6

Potongan terpendek = a = 10

Potongan terpanjang = U6 = 320 cm

Ditanyakan panjang tali sebelum dipotong = S6 = ....?

U6 = 320

Maka

Jadi panjang tali sebelum dipotong adalah 630 cm

Kunci Jawaban : D


Contoh 6 (Soal UN IPA tahun 2017)

Suatu barisan geometri 16, 8, 4, 2, ... , maka jumlah n suku pertama adalah ....

A. 

B. 

C. 

D. 

E. 

Pembahasan

Diketahui : a = 16, r = 8/16 =1/2

Ditanyakan : Sn = ....?

    

    

    

    

    

    

Kunci Jawaban : C





Contoh 7 (Soal UN IPA Tahun 2017

Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 2 jam. Jika pada pukul 06.00 massa zat tersebut 1.600 gram, massa zat yang tersisa pada pukul 14.00 adalah....

A. 100 gram

B. 50 gram

C. 25 gram

D. 12,5 gram

E. 6,25 gram

Pembahasan

Soal ini merupakan penerapan barisan geometri pada peluruhan.

Perhatikan kalimat soal diatas.

Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam 2 jam = r = 1/2

pada pukul 06.00 massa zat tersebut 1.600 gram = a = 1.600

Maka zat radioaktif akan terjadi peluruhan pada jam

06.00, 08.00, 10.00, 12.00, 14.00

Diperoleh n = 5

Maka

    

    

Jadi pada pukul 14.00 zat radioaktif yang tersisa adalah 100 gram.

Kunci Jawaban : A


Contoh 8 (Soal UN IPS tahun 2017)

Pertambahan penduduk suatu kota setiap tahun diasumsikan mengikuti barisan geometri. Pada tahun 2011 pertambahannya sebanyak 4 orang dan pada tahun 2013 sebanyak 64 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2015 adalah….

A. 256 orang

B. 572 orang

C. 1024 orang

D. 2048 orang

E. 3032 orang

Pembahasan

Perhatikan barisan tahun pertambahan penduduk

2011, 2012, 2013, 2014, 2015 dari sini diperoleh n = 5

pada tahun 2011 pertambahan penduduk sebanyak 4 orang = a = 4

Pertambahan penduduk mengikuti barisan geometri, maka

    

    

Jadi pertumbuhan penduduk pada tahun 2015 adalah 1024 orang.

Kunci Jawaban : C

Post a Comment

Terimakasih untuk anda telah berkomentar di postingan ini

Previous Post Next Post