Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Kuadrat-Kuadrat dan Aplikasinya

Sistem pertidaksamaan dua variabel kuadrat-kuadrat adalah suatu sistem pertidaksamaan dua variabel yang terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan kuadrat.

Bentuk umum sistem pertidaksamaan dua variabel kuadrat-kuadrat adalah

dengan a, b, c, p, q, r  ,  dan 

Tanda "  " atau "  " bisa diganti dengan tanda "<" atau ">"

Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan dua variabel bentuk kuadrat-kuadrat adalah semua himpunan (x, y) yang memenuhi semua pertidaksamaan. Apabila x dan y adalah bilangan real, maka ada tak hingga solusi yang bisa diwakili oleh suatu daerah arsiran yang memenuhi sistem pertidaksamaan.

Langkah-langah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan dua variabel kuadrat-kuadrat adalah :

1. Menetukan daerah penyelesaian dari setiap pertidaksamaan
2. Menetukan irisan daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem petidaksamaan berikut

Pembahasan

Langkah 1 : Menggambar grafik dan menentuk daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 

Karena koefesien dari sama  dengan 1 > 0 maka kurva terbuka ke atas 

Grafik memotong sumbu x jika y = 0, maka :

 

(x - 2)(x + 1) = 0

x - 2 = 0 atau x + 1 = 0

     x = 2               x = -1

Jadi titik potong terhadad sumbu x adalah (-1,0) dan (2,0)

Grafik memotong sumbu y jika x = 0, maka

y = -2

Jadi titik potong terhadap sumbu y adalah (0,-2)

Koordinat titik balik

= 

= 

= 

= 

Gambar grafiknya

untuk cek daerah penyelesaian ambil titik (0,0)

 (benar)

jadi daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0) dan ditunjukkan dengan gambar berikut.

Langkah 2 : Menggambar grafik fungsi 

Koefesien  sama dengan -2 <0, maka grafik terbuka ke bawah

Grafik memotong sumbu x jika y = 0

(2x +1)(-x + 1) = 0

2x + 1 = 0 atau -x + 1 = 0

        x = -1/2            x = 1

Jadi titik potong terhadap sumbu x adalah (-1/2,0) dan (1,0)

Grafik memotong sumbu y jika x = 0 maka y = 1

Jadi titik potong terhadap sumbu y adalah (0,1)

Koordinati titik balik

Gambar grafik fungsinya

Untuk cek daerah penyelesaiannya kita cek titik (0,0)

0 < 1 (benar) 

jadi daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0) dan ditunjukkan dengan gambar berikut.

Langkah 3 : Menentukan irisan daerah penyelesaian dari kedua grafik fungsi diatas, seperti gambar berikut

Jadi penyelesaian sistem pertidaksamaannya adalah semua nilai (x,y) yang berada pada daerah yang dibatasi oleh  dan yang dalam gambar di atas ditunjukkan dengan arsiran tebal diantara gambar fungsi  dan 

Contoh 2

Minyak sering berada di bagian tanah yang dibatasi lapisan batuan menyerupai parabola. Misalkan seorang ahli geologi telah menemukan formasi yang mengandung minyak dalam bentuk fungsi kuadratik yang memodelkan lapisan batuan, yaitu y = –0,0001 – 600 dan y = –0,0002 – 700, di mana x mewakili jarak horizontal dari pusat formasi dan y mewakili kedalaman di bawah permukaan tanah. Manakah diantara kedalaman tanah berikut yang memiliki kemungkinan paling besar tanahnya mengandung minyak?

A. 520 meter

B. 545 meter

C. 630 meter

D. 710 meter

E. 735 meter

Pembahasan

Dalam masalah di atas terlihat bahwa daerah yang mengandung minyak berada di bawah lapisan tanah yang dibatasi oleh persamaan y = –0,0001 – 600, dan di atas tanah yang dibatasi oleh persamaan y = –0,0002 – 700. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa lapisan tanah yang memuat minyak dipenuhi oleh sistem pertidaksamaan berikut.

Berikut ilustrasi grafis daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas

Kedalaman tanah yang memiliki kemungkinan terbesar tanahnya mengandung minyak adalah kedalaman dimana lapisan tanahnya berada pada daerah penyelesaian (diarsir), yaitu dibawah y = –0.0001 – 600 dan di atas y = –0.00002 – 700. Dari kelima altenatif jawaban di atas, hanya alternatif jawaban C yang kedalaman tanahnya dibawah y = –0.0001 – 600 dan di atas y = –0.00002 – 700. Dengan demikian, pilihan jawaban yang paling tepat adalah C.