Penyelesaian SPLTV Dengan Metode Eliminasi

Mencari penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel dengan metode eliminasi ini yaitu dengan cara menghilangkah salah satu variabel dari SPLTV tersebut.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLTV dengan cara eliminasi perhatikan contoh berikut.

Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut.

$\left\{\begin{matrix} 4x-3y+2z=40\\ 5x+9y-7z=47\\ 9x+8y-3z=97 \end{matrix}\right.$

Pembahasan

Langkah 1 : Untuk lebih memudahkan pembacaan buatlah label dari masing-masing persamaan pada SPLTV di atas.

4x - 3y + 2z = 40 ....... (1)

5x + 9y - 7z = 47 ....... (2)

9x + 8y - 3z = 97 ....... (3)

Langkah 2 : eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (2)

$\left.\begin{matrix} 4x-3y+2z=40\\ 5x+9y-7z=47\\ \, \end{matrix}\right|\begin{matrix} x5\\ x4\\ \, \end{matrix}\, \begin{matrix} 20x-15y+10z=200\, \, \, \, \, \, \, \\ \underline{20x+36y-28z=188}\, \, \, -\\ \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, -51y+38z=12......(4) \end{matrix}$

Langkah 3 : Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (3)

$\left.\begin{matrix} 4x-3y+2z=40\\ 9x+8y-3z=97\\ \, \end{matrix}\right|\begin{matrix} x9\\ x4\\ \, \end{matrix}\, \begin{matrix} 36x-27y+18z=360\, \, \, \, \, \, \, \\ \underline{36x+32y-12z=388}\, \, \, -\\ \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, -59y+30z=-28......(5) \end{matrix}$

Langkah 4 : Eliminasi y dari persamaan (4) dan (5)

$\left.\begin{matrix} -51y+38z=12\\ -59y+30z=-28\\ \, \end{matrix}\right|\begin{matrix} x59\\ x51\\ \, \end{matrix}\, \, \, \, \, \, \begin{matrix} -3009y+2242z=708\, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ \underline{-3009y+1530z=-1428}\, \, \, -\\ \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 712z=2136 \end{matrix}$

$z=\frac{2136}{712}=3$

Langkah 5 : Eliminasi z dari persamaan (4) dan (5)

$\left.\begin{matrix} -51y+38z=12\\ -59y+30z=-28\\ \, \end{matrix}\right|\begin{matrix} x30\\ x38\\ \, \end{matrix}\, \, \, \, \, \, \begin{matrix} -1530y+1140z=360\, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ \underline{-2242y+1140z=-1064}\, \, \, -\\ \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 712y=1424 \end{matrix}$

$y=\frac{1424}{712}=2$

Karena nilai y dan z sudah ditemukan, maka eliminasi salah satu variabel y atau z dari persamaan (1) dan (2) dilanjutkan ke persamaan (1) dan (3), misal eliminasi y

Langkah 6 : Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2)

$\left.\begin{matrix} 4x-3y+2z=40\\ 5x+9y-7z=47\\ \, \end{matrix}\right|\begin{matrix} x9\\ x3\\ \, \end{matrix}\, \begin{matrix} 36x-27y+18z=360\, \, \, \, \, \, \, \\ \underline{15x+27y-21z=141}\, \, \, +\\ \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 51x-3z=501......(6) \end{matrix}$

Langkah 7 : Eliminasi y dari persamaan (1) dan (3)

$\left.\begin{matrix} 4x-3y+2z=40\\ 9x+8y-3z=97\\ \, \end{matrix}\right|\begin{matrix} x8\\ x3\\ \, \end{matrix}\, \begin{matrix} 32x-24y+16z=320\, \, \, \, \, \, \, \\ \underline{27x+24y-9z=291}\, \, \, +\\ \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 59x+7z=611......(7) \end{matrix}$

Langkah 8 : Eliminasi z dari persamaan (6) dan (7)

$\left.\begin{matrix} 51x-3z=501\\ 59x+7z=611\\ \,\, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \end{matrix}\right|\begin{matrix} x7\\ x3\\ \,\, \, \, \end{matrix}\, \begin{matrix} 357x-21z=3507 \, \, \, \\ \, \, \underline{177x+21z=1833}\, \, +\\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 534x=5340 \end{matrix}$