Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linier - Kuadrat

Salah satu langkah penting menyelesaikan sistem pertidaksamaan adalah membuat grafik, kemudian menemukan daerah penyelesaian pada grafik dari masing-masing pertidaksamaan, yang selanjutnya diidentifikasi daerah penyelesaian bersama dari seluruh pertidaksamaan penyusun sistem pertidaksamaan. Daerah irisan penyelesaian pertidaksamaan pembentuk sistem pertidaksamaan merupakan daerah yang berisi angka-angka yang memenuhi seluruh pertidaksamaan pembentuk pertidaksamaan, atau seringdisebut sebagai himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan.

Sistem pertidaksamaan dua variabel bentuk linear-kuadrat adalah suatu sistem pertidaksamaan dua variabel yang terdiri dari satu atau lebih pertidaksamaan linear dan satu atau lebih pertidaksamaan kuadrat. 

Secara umum sistem pertidaksamaan dua variabel bentuk linear-kuadrat adalah sebagai berikut :

dengan a, b, p, q, r . Tanda ">" atau "<" dapat diganti dengan tanda " " atau " "

Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear-kuadrat adalah semua himpunan (x, y) yang memenuhi semua pertidaksamaan pembentuk sistem pertidaksamaan tersebut. Apabila x dan y adalah bilangan real, maka ada tak hingga solusi yang bisa diwakili oleh suatu daerah arsiran yang memenuhi sistem pertidaksamaanya.

Secara umum langkah untuk menentukan daerah penyelesaian tersebut adalah: 

1. Membuat grafik fungsi masing-masing pertidaksamaan dan menentukan daerah penyelesaiannya
2. Menentukan irisan dari semua daerah penyelesaian semua grafik fungsi dan irisan ini merupakan daerah penyelesaiannya.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1

Tentukan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut.

Pembahasan

Langkah 1 : Gambar grafik 

Pada kesempatan ini saya tidak akan menjelaskan cara menggambarkan grafik fungsi diatas dengan cara manual, tetapi akan ditampilkan gambar grafik dari hasil aplikasi Geogebra seperti gambar berikut.

Grafik diatas garisnya dibuat nyambung karena ada tanda " " pada pertidaksamaan diatas. Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 

Langkah 2 : Gambar grafik 

Denganmenggunakan aplikasi geogebra diperoleh gambar grafik diatas sebagai berikut

Daerah yang diarsir pada grafik  merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan ini.

Perhatikan irisan dari kedua grafik diatas. Daerah yang diarsir dari irisan kedua grafik diatas merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidak samaan dua variabel diatas.

Jadi penyelesaian sistem pertidaksamaannya adalah semua nilai (x,y) yang berada pada daerah yang dibatasi oleh y = x – 3 dan yang dalam gambar di atas ditunjukkan dengan arsiran tebal diantara gambar fungsi y = x – 3 dan .

Contoh 2

Perhatikan grafik berikut

Manakah daerah berikut yang menunjukkan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 

A. I

B. II

C. III

D. IV

E. V

Pembahasan

Perhatikan pertidaksamaan pertama dari sistem pertidaksamaan diatas yaitu  

Pertidaksamaan ini dipecah menjadi dua pertidaksamaan yaitu 

 .......(1)

........(2)

Sistem pertidaksamaan diatas memiliki tiga pertidaksamaan yaitu pertidaksamaan (1), (2) dan pertidaksamaan

.......(3)

Perhatikan pertidaksamaan (1)

Grafik memotong sumbu x pada koordinat (1,0) dan memotong sumbu y pada koordinat (0,1)

karena pertidaksamaan memiliki tanda " " maka arsiran grafik ke atas

Gambar grafiknya sebagai berikut

Perhatikan pertidaksamaan (2)

Grafik memotong sumbu x di titik (3,0) dan memotong sumbu y pada titik (0,3).

Karena pertidaksamaan memiliki tanda " " maka arsiran grafik ke bawah

Gambar grafiknya jika digabungkan dengan grafik diatas adalah

Perhatikan pertidaksamaan (3)

Karena koefesien dari pangkat tertinggi < 0 maka kurva terbuka ke bawah.

Untuk mencari titik potong terhadap sumbu x, akan dicari pembuat nol fungsinya

(2 - x)(2 + x) = 0

x = 2 atau x = -2

Jadi titik potong terhadap sumbu x adalah (2,0) dan (-2,0)

Titip potong terhadap sumbu y adalah (0,4)

Sumbu simetri x = 0, maka koordinat titik puncak (0,4)

Karena pertidaksamaan memiliki tanda " " maka arsiran grafik berada di dalam kurva

Gambar grafiknya jika digabungkan dengan gambar grafik diatas adalah

Irisan arsiran dari ketiga grafik diatas merupakan daerah penyelesaian. Dan jika disamakan dengan grafik pada soal maka daerah penyelesaian ditandai dengan nomor III.

Jawaban (C)

Selanjutnya akan dibahas Sistem pertidaksamaan dua variabel kuadrat-kuadrat, dan dapat dipelajari pada LINK INI.