Persamaan Logaritma dan Pembahasan Soal

Pengertian Logaritma dan Persamaan Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (invers) dari eksponensiasi (pemangkatan).

Untuk a > 0, b > 0, dan $a\neq 1$ , berlaku $a^{x}=b\Leftrightarrow \, ^{a}\log b=x$

Sifat-Sifat Logaritma

Sebelum membahas persamaan logaritma, perlu untuk memahami sifat-sifat logaritma berikut.

$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log a=1$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log a^{n}=n$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log 1=0$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?a^{ ^{a}\log b}=b$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log (bc)=^{a}\log b+^{a}\log c$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log (\frac{b}{c})=\, ^{a}\log b-^{a}\log c$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log b^{n}=n\, \, ^{a}\log b$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log b=\frac{^{c}\log b}{^{c}\log a},c>0$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log b=\frac{1}{^{b}\log a}$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a^{m}}\log b^{n}=\frac{n}{m}\, \, ^{a}\log b$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log b\, .\, ^{b}\log c=\, ^{a}\log c$

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah suatu persamaan yang mengandung operasi logaritma dengan variabel pada bilangan pokok dan numerusnya. Misal $https://latex.codecogs.com/svg.image?\log x+3=\log x^{3}$ , $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{2}\log \left ( x-1 \right )=2+^{2}\log x^{2}$ dan sebagainya

Bentuk-bentuk persamaan logaritma beserta cara menyelesaikannya adalah sebagai berikut.

1. Bentuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log f(x)=\, ^{a}\log p$

Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log f(x)=\, ^{a}\log p$ , a > 0 dan $a\neq 1$ maka f(x) = p dengan syarat f(x) > 0

Contoh Soal dan Pembahasan

Tentukan penyelesaian dari

1. $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{2}\log \left ( x^{2}+3x-2 \right )=1$

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{2}\log \left ( x^{2}+3x-2 \right )=1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \, ^{2}\log \left ( x^{2}+3x-2 \right )=\, ^{2}\log 2$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \, x^{2}+3x-2=2$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \, x^{2}+3x-4=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \, \left ( x+4 \right )\left ( x-1 \right )=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \, x=-4\, \, \mathrm{atau}\, \, x=1$

Cek persyaratan f(x) > 0 untuk x = -4 dan x = 1

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x=-4\Rightarrow \left ( -4 \right )^{2}+3\left ( -4 \right )-2=16-12-2=2>0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x=1\Rightarrow 1^{2}+3.1-2=1+3-2=2>0$

Jadi penyelesaian dari persamaan logaritma diatas adalah x = -4 dan x = 1

2. Jika diketahui $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{2}\log 3=x$ , dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{2}\log 5=y$ . Hitunglah nilai dari $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{36}\log \sqrt{120}$

Pembahasan

Ubah terlebih dahulu bentuk dari $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{2}\log 3=x$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{2}\log 5=y$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{2}\log 3=x\Leftrightarrow \frac{\log 3}{\log 2}=x\Leftrightarrow \log 3=x\log 2$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{2}\log 5=y\Leftrightarrow \frac{\log 5}{\log 2}=y\Leftrightarrow \log 5=y\log 2$

Lakukan operasi aljabar pada soal yang ditanyakan dan subsitusi nilai log 3 dan log 5 diatas.

$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{36}\log \sqrt{120}=\frac{\log \sqrt{120}}{\log 36}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{\log \left ( 120 \right )^{\frac{1}{2}}}{\log 6^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{\frac{1}{2}\log \left ( 3.5.8 \right )}{2\log \left ( 2.3 \right )}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{1}{4}\frac{\log 3+\log 5+\log 8}{\log 2+\log 3}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{1}{4}\frac{\log 3+\log 5+3\log 2}{\log 2+\log 3}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{1}{4}\frac{x\log 2+y\log 2+3\log 2}{\log 2+x\log 2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{1}{4}\frac{\log 2\left ( x+y+3 \right )}{\log 2\left ( 1+x \right )}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{x+y+3}{4\left ( 1+x \right )}$

3. Diketahui persamaan $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{2}\log \left ( x^{2}+4x \right )=3$ . Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}$ merupakan akar-akar persamaan itu, tentukan nilai dari

a. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

b. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{2}{x_{1}}+\frac{2}{x_{2}}$

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{2}\log \left ( x^{2}+4x \right )=3$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \, ^{2}\log \left ( x^{2}+4x \right )=3\, ^{2}\log 2$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \, ^{2}\log \left ( x^{2}+4x \right )=\,^{2}\log 8$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \, x^{2}+4x=8$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \, x^{2}+4x-8=0$

Dalam hal ini syarat f(x) > 0 terpenuhi kearena $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+4x=8>0$

dari bentuk terakhir akan digunakan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat diperoleh

(Pembahasan jumlah kali dan hasil kali akar dapat dipelajari kembali DISINI)

a = 1, b = 4 dan c = -8, sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=\frac{-4}{1}=-4$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-8}{1}=-8$

Dengan demikian diperoleh

a. $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left ( -4 \right )^{2}-2\left ( -8 \right )=16+16=32$

b. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{2}{x_{1}}+\frac{2}{x_{2}}=\frac{2x_{1}+2x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{2\left ( x_{1}+x_{2} \right )}{x_{1}x_{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{2\left (-4 \right )}{-8}=\frac{-8}{-8}=1$

2. Bentuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log f(x)=\, ^{a}\log g(x)$

Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log f(x)=\, ^{a}\log g(x)$ , dengan a > 0 dan $a\neq 1$ maka f(x) = g(x) dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0

Contoh soal dan Pembahasan

1. Tentukan penyelesaian dari $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{2}\log \left ( x+2 \right )-^{4}\log \left ( 3x^{2}-x+6 \right )=0$

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{2}\log \left ( x+2 \right )-^{4}\log \left ( 3x^{2}-x+6 \right )=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \, ^{2}\log \left ( x+2 \right )=\, ^{4}\log \left ( 3x^{2}-x+6 \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \, \frac{\log \left ( x+2 \right )}{\log 2}=\, ^{4}\log \left ( 3x^{2}-x+6 \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \, \frac{2\log \left ( x+2 \right )}{2\log 2}=\, ^{4}\log \left ( 3x^{2}-x+6 \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \, \frac{\log \left ( x+2 \right )^{2}}{\log 4}=\, ^{4}\log \left ( 3x^{2}-x+6 \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \, ^{4}\log \left ( x+2 \right )^{2}=\, ^{4}\log \left ( 3x^{2}-x+6 \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \left ( x+2 \right )^{2}=3x^{2}-x+6$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow x^{2}+4x+4=3x^{2}-x+6$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow -2x^{2}+5x-2=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow 2x^{2}-5x+2=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \left ( 2x-1 \right )\left ( x-2 \right )=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\, \,\mathrm{ atau}\, \, x=2$

Cek persyaratan f(x) > 0 dan g(x) > 0 untuk setiap nilai x yang diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}>0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?g\left ( \frac{1}{2} \right )=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}-\frac{1}{2}+6=\frac{25}{2}>0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x=2\Rightarrow f(2)=2+2=4>0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?g(2)=3(2)^{2}-2+6=16>0$

Jadi penyelesaian dari persamaan logaritma diatas adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?x=\frac{1}{2}\, \, \mathrm{atau}\, \, x=2$

2. Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?\log \left ( y+2 \right )+2\log x=1$ . Tentukan nilai x.

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\log \left ( y+2 \right )+2\log x=1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \log \left ( y+2 \right )+\log x^{2}=\, \log 10$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow +\log x^{2}=\, \log 10-\log \left ( y+2 \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \log x^{2}=\, \log \frac{10}{y+2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow x^{2}=\frac{10}{y+2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{10}{y+2}}$

Baca Juga :

Fungsi logaritma

Pertidaksamaan logaritma dan pembahasan soal

Persamaan eksponen dan pembahasan soal

Fungsi eksponen

Pertidaksamaan eksponen dan pembahasan soal

3. Bentuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log f(x)=\, ^{b}\log f(x)$

Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log f(x)=\, ^{b}\log f(x)$ , dengan a > 0, $a\neq 1$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?a\neq b$ , maka f(x) = 1

Contoh soal dan Pembahasan

1. Himpunan penyelesaian dari persamaan $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{5}\log \left ( x^{2}+2x-14 \right )=\, ^{2}\log \left ( x^{2}+2x-14 \right )$

Pembahasan

Syarat penyelesaian persamaan $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{5}\log \left ( x^{2}+2x-14 \right )=\, ^{2}\log \left ( x^{2}+2x-14 \right )$ adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+2x-14=1$ . Dengan demikian diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}+2x-14=1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow x^{2}+2x-15=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \left ( x+5 \right )\left ( x-3 \right )=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow x=-5\, \, \mathrm{atau}\, \, x=3$

Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma diatas adalah {-5,3}

2. Tentukan penyelesaian dari persamaan $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{2}\log \left ( x^{2}-5x+7 \right )=\, ^{3}\log \left (x^{2}-5x+7 \right )$

Pembahasan

Syarat penyelesaian persamaan $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{2}\log \left ( x^{2}-5x+7 \right )=\, ^{3}\log \left (x^{2}-5x+7 \right )$ adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}-5x+7=1$ . Dengan demikian diperoleh :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}-5x+7=1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow x^{2}-5x+6=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \left ( x-3 \right )\left ( x-2 \right )=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow x=3\, \, \mathrm{atau}\, \, x=2$

Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma diatas adalah {2,3}

4. Bentuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{f(x)}\log g(x)=\, ^{f(x)}\log h(x)$

Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{f(x)}\log g(x)=\, ^{f(x)}\log h(x)$ maka g(x) = h(x) dengan syarat
a. f(x) > 0, g(x) > 0 dan h(x) > 0
b. $https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x)\neq 1$

Contoh Soal dan Pemahasan

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{x}\log \left ( x-1 \right )+\frac{1}{^{x+6}\log x}=2+\frac{1}{^{2}\log x}$

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?^{x}\log \left ( x-1 \right )+\frac{1}{^{x+6}\log x}=2+\frac{1}{^{2}\log x}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \,^{x}\log \left ( x-1 \right )+^{x}\log \left ( x+6 \right )=^{x}\log x^{2}+^{x}\log 2$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \,^{x}\log \left ( x-1 \right )\left ( x+6 \right )=^{x}\log 2x^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \, ^{x}\log \left ( x^{2}+5x-6 \right )=^{x}\log 2x^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow\, x^{2}+5x-6=2x^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow\, -x^{2}+5x-6=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow\, x^{2}-5x+6=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow\, \left ( x-2 \right )\left ( x-3 \right )=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow\, x=2\, \, \mathrm{atau}\, \, x=3$

Akan diperiksa apakah dari nilai x yang dipeoleh menyebabkan f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) > 0 dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x)\neq 1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x=2\Rightarrow f(2)=2>0\,\, \mathrm{dan}\, \, f(2)\neq 1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?g(2)=2^{2}+5(2)-6=8>0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?h(2)=2.2^{2}=8>0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x=3\Rightarrow f(3)=3>0\,\, \mathrm{dan}\, \, f(3)\neq 1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?g(3)=3^{2}+5(3)-6=18>0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?h(3)=2.3^{2}=18>0$

Jadi himpunan penyelesaian persamaan logaritma diatas adalah {2,3}

5. Bentuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?A\left\{^{a}\log x \right\}^{2}+B\left\{^{a}\log x \right\}+C=0$

Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?A\left\{^{a}\log x \right\}^{2}+B\left\{^{a}\log x \right\}+C=0$ dengan a > 0, $a\neq 1$ , dan A, B, C bilangan real, serta $https://latex.codecogs.com/svg.image?A\neq 0$ . Langkah-langkah penyelesaian bentuk ini adalah
1. Memisalkan $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log x$ sehingga terbentuk sebuah persamaan kuadrat.
2. Menyelesaikan (mencari akar) persamaan kuadrat yang terbentuk
3. Substitusikan akar persamaan kuadrat yang diperoleh ke permisalan awal
4. Nilai akar persamaan kuadrat yang memenuhi penyelesaian adalah yang menyebabkan nilai x > 0