Fungsi Logaritma

Pada pembahasan sebelum ini kita sudah mempelajari fungsi eksponen yang sangat erat kaitannya dengan fungsi logaritma, untuk mengawali pembahasan fungsi logaritma ini perhatikan gambar grafik dibawah, bandingkan dengan grafik fungsi eksponen.

Perhatikan gambar grafik fungsi berikut

Pengertian Fungsi Logaritma

Logaritma adalah ivers atau belikan dari perpangkatan (eksponen). Jika terdapat fungsi eksponen f yang memetakan bilangan real x ke $https://latex.codecogs.com/svg.image?a^{x}$ (ditulis $https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x)=a^{x}$ , dengan a > 0 dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?a\neq 1$ ), inversnya adalah fungsi logaritma g yang mengawankan bilangan real x ke $https://latex.codecogs.com/svg.image?^{a}\log x$ (ditulis $https://latex.codecogs.com/svg.image?g(x)=\, ^{a}\log x$ )

Dari grafik fungsi $https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x)=2^{x}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?g(x)=\, ^{2}\log x$ dan tabel diatas terlihat adanya korespondensi satu-satu antara x dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x)=2^{x}$ .Dengan demikian dikatakan bahwa fungsi eksponen $https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x)=2^{x}$ merupakan fungsi bijektif. Karena fungsi $https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x)=2^{x}$ merupakan fungsi bijektif, terdapat fungsi invers g(x) yang memetakan setiap anggota $https://latex.codecogs.com/svg.image?\left\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,2,4 \right\}$ dengan tepat satu anggota {-2, -1, 0, 1, 2}.

Sifat-sifat Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma $https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\, ^{a}\log x$ memiliki grafik yang selalu memotong sumbu X di titik (1,0).
Fungsi logaritma $https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\, ^{a}\log x$ selalu kontinu di semua titik.
Sumbu Y pada grafik fungsi $https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\, ^{a}\log x$ bertindak sebagai asimtot.
Fungsi logaritma $https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\, ^{a}\log x$ merupakan fungsi satu-satu dan pada.
fungsi logaritma $https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\, ^{a}\log x$ merupakan fungsi monoton naik untuk a > 1 dan fungsi monoton turun untuk 0 < a < 1.
Grafik fungsi $https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\, ^{a}\log x$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\, ^{\frac{1}{a}}\log x$ setangkup (simetri) dengan sumbu X.

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Diketahui $https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x)=\, ^{2}\log \left ( x^{2}-2x+1 \right )$ . Tentukan titik potong grafik fungsi f dengan a) sumbu X dan b) sumbu Y.

Pembahasan

a) Grafik fungsi logaritma memotong sumbu X jika f(x) = 0

f(x) = 0

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \,^{2}\log \left ( x^{2}-2x+1 \right )=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \,^{2}\log \left ( x^{2}-2x+1 \right )=\, ^{2}\log 1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \,x^{2}-2x+1=1$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \,x^{2}-2x=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \,x\left ( x-2 \right )=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Leftrightarrow \, x=0\, \,\mathrm{atau}\, \, x=2$

Jadi grafik fungsi logaritma memotong sumbu X di titik (0,0) dan (2,0)

b) Grafik fungsi logaritma memotong sumbu Y jika x = 0

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x=0\Rightarrow f(0)=\, ^{2}\log \left ( 0^2 -2.0+1\right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\, ^{2}\log 1=0$

Jadi grafik fungsi logaritma memotong sumbu Y di titik (0,0)

2. Diketahui $https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x)=\frac{^{3}\log x}{1-2\, ^{3}\log x}$ . Tentukan $https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x)+f\left ( \frac{3}{x} \right )$

Pembahasan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f\left ( \frac{3}{x} \right )=\frac{^{3}\log \left ( \frac{3}{x} \right )}{1-2\, ^{3}\log \left ( \frac{3}{x} \right )}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{^{3}\log 3-\, ^{3}\log x}{1-2\left ( ^{3}\log 3-\, ^{3}\log x \right )}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{1-\, ^{3}\log x}{1-2\left ( 1-\, ^{3}\log x \right )}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{1-\, ^{3}\log x}{1-2+2\, ^{3}\log x}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{1-\, ^{3}\log x}{-1+2\, ^{3}\log x}$

sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x)+f\left ( \frac{3}{x} \right )=\frac{^{3}\log x}{1-2\, \, ^{3}\log x}+\frac{1-^{3}\log x}{-1+2\, \, ^{3}\log x}$