Konsep Dilatasi Matriks Transformasi dan Pembahasan Soal

Sifat-sifat pada Dilatasi (Perkalian)

Bangun yang diperbesar dan diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.

Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.
jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
Jika -1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
Jika k = -1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
Jika k < - 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

Rumus Dilatasi (Perkalian)

Jika A(x,y) didilatasi dengan pusat P(p,q) dan skala k menghasilkan bayangan A'(x',y'), ditulis dengan

$A(x,y)\xrightarrow[]{D_{((p,q),k)}}A'(x',y')$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=k\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

SOAL DAN PEMBAHASAN

Soal 1

Tentukan koordinat titik-titik oleh dilatasi D dengan skala k dan pusat P berikut

a. Titik A(2,1) didilatasi dengan pusat P(0,0) dan skala 2

b. Titik B(-1,3) didilatasi dengan pusat P(1,1) dan skala -2

c. Titik C(-2,-1) didilatasi dengan pusat P(2,-1) dan skala 3

d. Titik D(3,-5) didilatasi dengan pusat P(-2,3) dan skala -1

e. Titik E(2,2) didilatasi dengan pusat P(-1,2) dan skala 2

Pembahasan

a. Koordinat bayangan titik A(2,1) didilatasi dengan pusat P(0,0) dan skala k = 2

diketahui : x = 2, y = 1, p = 0, q = 0 dan k = 2

maka

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=k\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}$

sehingga diperoleh

x' = 4 dan y' = 2

Jadi koordinat bayangan titik A(2,1) didilatasi dengan pusat P(0,0) dan skala k = 2 adalah A'(4,2)

b. Koordinat bayangan titik B(-1,3) didilatasi dengan pusat P(1,1) dan skala k = -2

Diketahui x = -1, y = 3, p = 1, q = 1 dan k = -2

maka

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=k\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix} -1-1\\ 3-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix} -2\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2(-2)+1\\ -2.2+1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ -3 \end{pmatrix}$

sehingga diperoleh x' = 5 dan y' = -3.

Jadi koordinat bayangan titik B(-1,3) didilatasi dengan pusat P(1,1) dan skala k = -2 adalah B'(5,-3)

c. Koordinat bayangan titik C(-1,3) didilatasi dengan pusat P(2,-1) dan skala k = 3

Diketahui x = -1, y = 3, p = 2, q = -1 dan k = 3

maka

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=k\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=3\begin{pmatrix} -1-2\\ 3-(-1) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=3\begin{pmatrix} -3\\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -9\\ 12 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7\\ 11 \end{pmatrix}$

Jadi koordinat bayangan titik C(-1,3) didilatasi dengan pusat P(2,-1) dan skala k = 3 adalah C'(-7,11)

d. Koordinat bayangan titik D(3,-5) didilatasi dengan pusat P(-2,3) dan skala -1

Diketahui x = 3, y = 5, p = -2, q = 3 dan k = -1

maka

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=k\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix} 3-(-2)\\ 5-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5\\ -2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7\\ 1 \end{pmatrix}$

Jadi koordinat bayangan titik D(3,5) didilatasi dengan pusat P(-2,3) dan skala k = -1 adalah D'(-7,1)

e. Koordinat bayangan titik E(2,2) didilatasi dengan pusat P(-1,2) dan skala 2

Diketahui x = 2, y = 2, p = -1, q = 2 dan k = 2

maka

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=k\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 2-(-1)\\ 2-2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix}$

Jadi koordinat bayangan titik E(2,2) didilatasi dengan pusat P(-1,2) dan skala k = 2 adalah E'(5,2)

Soal 2

Tentukan bentuk persamaan oleh dilatasi D dengan skala k dan pusat P berikut.

a. 2y - 3x + 6 = 0, k = 2 dan P(0,0)

b. 3y - 4x - 6 = 0, k = -2 dan P(1,1)

c. $y=x^{2}-2x+6$ , k = 3 dan P(2,-1)

d. $y=-2x^{2}-x+2$ , k = -1 dan P(-2,3)

e. $x^{2}+y^{2}-4=0$ , k = 2 dan P(-1,-2)

Pembahasan

a. 2y - 3x + 6 = 0, k = 2 dan P(0,0)

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=k\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2x\\ 2y \end{pmatrix}$

dari persamaan matriks diatas diperoleh

$x=\frac{1}{2}x'$

$y=\frac{1}{2}y'$

Subtitusi nilai x dan y ke persamaan garis 2y - 3x + 6 = 0

$2\left ( \frac{1}{2}y' \right )-3\left ( \frac{1}{2}x' \right )+6=0$

$y'-\frac{3}{2}x'+6=0$

$2y'-3x'+12=0$

Jadi bentuk persamaan hasil dilatasi adalah 2y - 3x + 12 = 0

b. 3y - 4x - 6 = 0, k = -2 dan P(1,1)

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=k\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix} x-1\\ y-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2x+2\\ -2y+2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2x+3\\ -2y+3 \end{pmatrix}$

Dari persamaan matriks diatas diperoleh

x' = -2x + 3

$x=\frac{-x'+3}{2}$

y' = -2y + 3

$y=\frac{-y'+3}{2}$

Subtitusi nilai x dan y dari persamaan diatas ke persamaan garis 3y - 4x - 6 = 0

3y - 4x - 6 = 0

$3\left ( \frac{-y'+3}{2} \right )-4\left ( \frac{-x'+3}{2} \right )-6=0$

$3\left ( {-y'+3} \right )-4\left ( {-x'+3} \right )-12=0$

$-3y'-9+4x'-12-12=0$

$-3y'+4x'-33=0$

$3y'-4x'+33=0$

Jadi bentuk persamaan hasil dilatasi adalah 3y - 4x + 33 = 0

c. $y=x^{2}-2x+6$ , k = 3 dan P(2,-1)

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=k\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=3\begin{pmatrix} x-2\\ y+1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3x-6\\ 3y+3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3x-4\\ 3y+2 \end{pmatrix}$

Dari persamaan matriks diatas diperoleh

x' = 3x - 4

$x=\frac{x'+4}{3}$

y' = 3y + 2

$y=\frac{y'-2}{3}$

Substitusi persamaan x dan y ke persamaan parabola $y=x^{2}-2x+6$

$y=x^{2}-2x+6$

$\frac{y'-2}{3}=\left ( \frac{x'+4}{3} \right )^{2}-2\left ( \frac{x'+4}{3} \right )+6$

$\frac{y'-2}{3}=\frac{(x')^{2}+8x'+16}{9}-\left ( \frac{2x'+8}{3} \right )+6$

$3y'-6=(x')^{2}+8x'+16-(6x'+24)+54$

$3y'=(x')^{2}+8x'+16-6x'-24+54+6$

$3y'=(x')^{2}+2x'+52$

$y'=\frac{(x')^{2}+2x'+52}{3}$

$y'=\frac{1}{3}(x')^{2}+\frac{2}{3}x'+\frac{52}{3}$

Jadi persamaan parabola hasil dilatasi adalah $y=\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{52}{3}$

d. $y=-2x^{2}-x+2$ , k = -1 dan P(-2,3)

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=k\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} x-(-2)\\ y-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x-2\\ -y+3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x-4\\ -y+6 \end{pmatrix}$

Dari persamaan matriks diatas diperoleh

x' = -x - 4

x = -x' - 4

y' = -y + 6

y = -y' + 6

Substitusi persamaan x dan y ke persamaan parabola $y=-2x^{2}-x+2$

$y=-2x^{2}-x+2$

$-y'+6=-2\left ( -x'-4 \right )^{2}-(-x'-4)+2$

$-y'+6=-2\left ( (x')^{2}+8x'+16 \right )+x'+4+2$

$-y'=-2(x')^{2}-16x'+x'-32$

$-y'=-2(x')^{2}-15x'-32$

$y'=2(x')^{2}+15x'+32$

Jadi persamaan parabola hasil dilatasi adalah $y=2x^{2}+15x+32$

e. $x^{2}+y^{2}-4=0$ , k = 2 dan P(-1,-2)

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=k\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} x+1\\ y+2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2x+2\\ 2y+4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2x+1\\ 2y+2 \end{pmatrix}$

Dari persamaan matriks diatas diperoleh

x' = 2x + 1

$x=\frac{x'-1}{2}$

y' = 2y + 2

$y=\frac{y'-2}{2}$

Substitusi persamaan x dan y ke persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-4=0$

$x^{2}+y^{2}-4=0$

$\left ( \frac{x'-1}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{y'-2}{2} \right )^{2}-4=0$

$\frac{(x'-1)^{2}}{4}+\frac{(y'-2)^{2}}{4}-4=0$

$(x'-1)^{2}+(y'-2)^{2}-16=0$

$(x'-1)^{2}+(y'-2)^{2}=16$

Jadi persamaan lingkaran hasil dilatasi adalah $(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=16$

Demikian pembahasan konsep dilatasi matriks dan pembahasan soal, semoga bermanfaat. Amiin.

Konsep Dilatasi Matriks Transformasi dan Pembahasan Soal

Sifat-sifat pada Dilatasi (Perkalian)

Rumus Dilatasi (Perkalian)

SOAL DAN PEMBAHASAN

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Konsep Dilatasi Matriks Transformasi dan Pembahasan Soal

Sifat-sifat pada Dilatasi (Perkalian)

Rumus Dilatasi (Perkalian)

SOAL DAN PEMBAHASAN

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form