Konsep Rotasi Matriks Transformasi dan Pembahasan Soal

Pada kehidupan sehari-hari banyak sekali obyek yang bergerak berputar, seperti jarum jam yang bergerak, kincir angin, kipas angin, roda kendaraan dan lainnya. Pada konsep rotasi (perputaran matriks transformasi geometri ini akan dibahan gerak berputar (rotasi) suatu obyek dengan sudut putaran dan pusat putaran pada bidang koordinat yang dipadukan dengan pengetahuan konsep matriks serta pembahasan berbagai pemecahan soal yang berkaitan dengan rotasi ini.

SIFAT DAN RUMUS PADA ROTASI (PERPUTARAN)

Sifat
Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran
Rumus
Titik A(x,y) diputar dengan pusat P(p,q) dan sudut $\alpha$ menghasilkan bayangan A'(x',y'), ditulis dengan

$A(x,y)\xrightarrow[]{R_{(P(p,q),\alpha )}}A'(x',y')$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

Catatan : Sudut $\alpha$ dihitung berlawan arah jarum jam dan sebaliknya - $\alpha$ jika searah jarum jam

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

Soal 1

Tentukan koordinat titik-titik oleh rotasi R dengan sudut $\alpha$ dan pusat P serta arah rotasi berikut.

a. Titik A(2,1), dengan sudut $\alpha =90^{o}$ berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(0,0)

b. Titik B(-1,3) dengan sudut $\alpha =90^{o}$ searah jarum jam dan pusat rotasi P(1,1)

c. Titik C(-2,-1) dengan sudut $\alpha =180^{o}$ berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(2,-1)

d. Titik D(3,-5) dengan sudut $\alpha =270^{o}$ berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(-2,3)

e. Titik E(2,2) dengan sudut $\alpha =45^{o}$ searah jarum jam dan pusat rotasi P(-1,-2)

Pembahasan

a. Koordinat bayangan Titik A(2,1), dengan sudut $\alpha =90^{o}$ berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(0,0)

Diketahui x = 2, y = 1, $\alpha =90^{o}$ , p = 0, q = 0, maka

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\, 90^{o} & -sin\, 90^{^{o}}\\ sin\, 90^{o} & cos\, 90^{o} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}$

Jadi koordinat bayangan Titik A(2,1), dengan sudut $\alpha =90^{o}$ berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(0,0) adalah A'(-1,2).

b. Koordinat bayangan titik B(-1,3) dengan sudut $\alpha =90^{o}$ searah jarum jam dan pusat rotasi P(1,1)

Diketahui x = -1, y = 3, p = 1 dan q = 1. Karena rotasi searah jarum jam maka maka sudut bernilai negarif atau $\alpha =-90^{o}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\, (-90^{o}) & -sin\, (-90^{o})\\ sin\, (-90^{o}) & cos\, (-90^{o}) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1-1\\ 3-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$

Ingat bahwa : $cos(-\alpha )=cos\alpha$ dan $sin(-\alpha )=-sin\alpha$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\, 90^{o} & sin\, 90^{o}\\ -sin\, 90^{o} & cos\, 90^{o} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}$

Jadi Koordinat bayangan titik B(-1,3) dengan sudut $\alpha =90^{o}$ searah jarum jam dan pusat rotasi P(1,1) adalah B'(3,3)

c. Koordinat bayangan titik C(-2,-1) dengan sudut $\alpha =180^{o}$ berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(2,-1)

Diketahui x = -2, y = -1, $\alpha =180^{o}$ , p = 2 dan q = -1 maka

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\, 180^{o} & -sin\, 180^{o} \\ sin\, 180^{o} & cos\, 180^{o} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2-2\\ -1+1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -4\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\ -1 \end{pmatrix}$

Jadi koordinat bayangan titik C(-2,-1) dengan sudut $\alpha =180^{o}$ berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(2,-1) adalah C'(6,-1).

d. Koordinat bayangan titik D(3,-5) dengan sudut $\alpha =270^{o}$ berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(-2,3)

Diketahui x = 3, y = -5, $\alpha =270^{o}$ , p = -2 dan q = 3, maka

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\, 270^{o} & -sin\, 270^{o} \\ sin\, 270^{o} & cos\, 270^{o} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3+2\\ -5-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5\\ -8 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8\\ -5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10\\ -2 \end{pmatrix}$

Jadi koordinat bayangan titik D(3,-5) dengan sudut $\alpha =270^{o}$ berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(-2,3) adalah D'(-10,-2)

e. Koordinat bayangan titik E(2,2) dengan sudut $\alpha =45^{o}$ searah jarum jam dan pusat rotasi P(-1,-2)

Diketahui x = 2, y = 2, $\alpha =-45^{o}$ , p = -1 dan q = -2 maka

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\, 45^{o} & sin\, 45^{o} \\ -sin\, 45^{o} & cos\, 45^{o} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2+1\\ 2+2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{7}{2}\sqrt{2}\\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{7}{2}\sqrt{2}-1\\\frac{1}{2}\sqrt{2}-2 \end{pmatrix}$

Jadi Koordinat bayangan titik E(2,2) dengan sudut $\alpha =45^{o}$ searah jarum jam dan pusat rotasi P(-1,-2) adalah $E'\left ( \frac{7}{2}\sqrt{2}-1,\frac{1}{2}\sqrt{2}-2 \right )$

Soal 2

Tentukan bentuk persamaan oleh rotasi R dengan sudut $\alpha$ dan pusat P serta arah rotasi seperti pada soal berikut.

a. Garis 2y - 3x + 6 = 0 dirotasi dengan pusat P(0,0), sudut $\alpha =90^{o}$ searah jarum jam

b. Garis 3y - 4x - 6 = 0 dirotasi dengan pusat P(1,1), sudut $\alpha =90^{o}$ berlawanan arah jarum jam

c. Parabola $y=x^{2}-2x+6$ dirotasi dengan pusat P(2,-1), sudut $\alpha =180^{o}$ berlawanan arah jarum jam

d. Parabola $y=-2x^{2}-x+2$ dirotasi dengan pusat P(-2,3) $\alpha =270^{o}$ berlawanan arah jarum jam

e. Lingkaran $x^{2}+y^{2}-4=0$ dirotasi dengan pusat P(-1,2), sudut $\alpha =90^{o}$ searah jarum jam

Pembahasan

a. Persamaan bayangan garis 2y - 3x + 6 = 0 dirotasi dengan pusat P(0,0), sudut $\alpha =90^{o}$ searah jarum jam

Diketahui p = 0, q = 0 dan $\alpha =-90^{o}$ , maka

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\, 90^{o} & sin\, 90^{o} \\ -sin\, 90^{o} & cos\, 90^{o} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y\\ -x \end{pmatrix}$

dari persamaan matriks diatas diperolah

x' = y

y' = -x

x = -y'

Substitusi nilai x dan y ke persamaan garis

2y - 3x + 6 = 0

2(x') - 3(-y') + 6 = 0

2x' + 3y + 6 = 0

Jadi persamaan bayangan garis 2y - 3x + 6 = 0 dirotasi dengan pusat P(0,0), sudut $\alpha =90^{o}$ searah jarum jam adalah 2x + 3y + 6 = 0

b. Persamaan bayangan garis 3y - 4x - 6 = 0 dirotasi dengan pusat P(1,1), sudut $\alpha =90^{o}$ berlawanan arah jarum jam

Diketahui p = 1, q = 1 dan $\alpha =90^{o}$ , maka

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-p\\ y-p \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\, 90^{o} & -sin\, 90^{o} \\ sin\, 90^{o} & cos\, 90^{o} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1\\ y-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1\\ y-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -y+1\\ x-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -y+2\\ x \end{pmatrix}$

dari persamaan matriks diatas diperoleh

x' = -y + 2

y = -x' + 2 ............ (1)

y' = x

x = y' ..................(2)

Substitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan garis

3y - 4x - 6 = 0

3(-x' + 2) - 4y' - 6 = 0

-3x' + 6 - 4y' - 6 = 0

-3x' - 4y' = 0

3x' + 4y' = 0

Jadi Persamaan bayangan garis 3y - 4x - 6 = 0 dirotasi dengan pusat P(1,1), sudut $\alpha =90^{o}$ berlawanan arah jarum jam adalah 3x + 4y = 0

c. Persamaan bayangan parabola $y=x^{2}-2x+6$ dirotasi dengan pusat P(2,-1), sudut $\alpha =180^{o}$ berlawanan arah jarum jam

Diketahui p = 2, q = -1 dan $\alpha =180^{o}$ , maka

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\, 180^{o} & -sin\, 180^{o} \\ sin\, 180^{o} & cos\, 180^{o} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-2\\ y+1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-2\\ y+1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x+2\\ -y-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x+4\\ -y-2 \end{pmatrix}$

dari persamaan matriks diatas diperoleh

x' = -x + 4

x = -x' + 4 ......... (1)

y' = -y - 2

y = -y' - 2 ...........(2)

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan parabola

$y=x^{2}-2x+6$

$-y'-2=(-x'+4)^{2}-2(-x'+4)+6$

$-y'-2=x'^{2}-8x'+16+2x'-8+6$

$-y'=x'^{2}-6x'+16$

$y'=-x'^{2}+6x'-16$

Jadi ersamaan bayangan parabola $y=x^{2}-2x+6$ dirotasi dengan pusat P(2,-1), sudut $\alpha =180^{o}$ berlawanan arah jarum jam adalah $y=-x^{2}+6x-16$

d. Persamaan bayangan parabola $y=-2x^{2}-x+2$ dirotasi dengan pusat P(-2,3) $\alpha =270^{o}$ berlawanan arah jarum jam

Diketahui p = -2, q = 3 dan $\alpha =270^{o}$ , maka

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\, 270^{o} & -sin\, 270^{o} \\ sin\, 270^{o} & cos\, 270^{o} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x+2\\ y-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x+2\\ y-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y-3\\ -x-2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y-5\\ -x+1 \end{pmatrix}$

Dari persamaan matriks diatas diperoleh

x' = y - 5

y = x' + 5 .......... (1)

y' = -x + 1

x = -y' + 1 .......... (2)

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan parabola

$y=-2x^{2}-x+2$

$x'+5=-2(-y'+1)^{2}-(-y'+1)+2$

$x'=-2\left ( y'^{2}-2y'+1 \right )+y'-1+2-5$

$x'=-2y'^{2}+4y'-2+y'-4$

$x'=-2y'^{2}+5y'-6$

Jadi persamaan bayangan parabola $y=-2x^{2}-x+2$ dirotasi dengan pusat P(-2,3) $\alpha =270^{o}$ berlawanan arah jarum jam adalah $x=-2y^{2}+5y-6$

e. Persamaan bayangan Lingkaran $x^{2}+y^{2}-4=0$ dirotasi dengan pusat P(-1,-2), sudut $\alpha =90^{o}$ searah jarum jam

Diketahui p = -1, q = 2 dan $\alpha =90^{o}$ searah jarum jam maka

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-p\\ y-q \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\, 90^{o} & sin\, 90^{o} \\ -sin\, 90^{o} & cos\, 90^{o} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x+1\\ y+2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x+1\\ y+2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y+2\\ -x-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y+1\\ -x-3 \end{pmatrix}$

Dari persamaan matriks diatas diperoleh

x' = y + 1

y = x' - 1 ......... (1)

y' = -x - 3

x = -y' - 3 ........ (2)

Subsitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan lingkaran

$x^{2}+y^{2}-4=0$

$(-y-3)^{2}+(x-1)^{2}-4=0$

$y^{2}+6y+9+x^{2}-2x+1-4=0$

$x^{2}+y^{2}-2x+6y+6=0$

Jadi persamaan bayangan Lingkaran $x^{2}+y^{2}-4=0$ dirotasi dengan pusat P(-1,-2), sudut $\alpha =90^{o}$ searah jarum jam adalah $x^{2}+y^{2}-2x+6y+6=0$

Demikian pembahasan konsep rotasi matriks trsnsformasi dan pembahasan soal, semoga bermabnfaat. Amiin.

Konsep Rotasi Matriks Transformasi dan Pembahasan Soal

SIFAT DAN RUMUS PADA ROTASI (PERPUTARAN)

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Konsep Rotasi Matriks Transformasi dan Pembahasan Soal

SIFAT DAN RUMUS PADA ROTASI (PERPUTARAN)

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form