Konsep Rotasi (Perputaran) Matriks Transformasi Geometri dan Pembahasan Soal

Pada kehidupan sehari-hari banyak sekali obyek yang bergerak berputar, seperti jarum jam yang bergerak, kincir angin, kipas angin, roda kendaraan dan lainnya. Pada konsep rotasi (perputaran matriks transformasi geometri ini akan dibahan gerak berputar (rotasi) suatu obyek dengan sudut putaran dan pusat putaran  pada bidang koordinat yang dipadukan dengan pengetahuan konsep matriks serta pembahasan berbagai pemecahan soal yang berkaitan dengan rotasi ini.

SIFAT DAN RUMUS PADA ROTASI (PERPUTARAN)

Sifat

Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran

Rumus

Titik A(x,y) diputar dengan pusat P(p,q) dan sudut menghasilkan bayangan A'(x',y'), ditulis dengan





Catatan : Sudut dihitung berlawan arah jarum jam dan sebaliknya - jika searah jarum jam


CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

Soal 1

Tentukan koordinat titik-titik oleh rotasi R dengan sudut  dan pusat P serta arah rotasi berikut.

a. Titik A(2,1), dengan sudut  berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(0,0)

b. Titik B(-1,3) dengan sudut  searah jarum jam dan pusat rotasi P(1,1)

c. Titik C(-2,-1) dengan sudut  berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(2,-1)

d. Titik D(3,-5) dengan sudut  berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(-2,3)

e. Titik E(2,2) dengan sudut  searah jarum jam dan pusat rotasi P(-1,-2)

Pembahasan

a. Koordinat bayangan Titik A(2,1), dengan sudut  berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(0,0)

Diketahui x = 2, y = 1, , p = 0, q = 0, maka  

 

Jadi koordinat bayangan Titik A(2,1), dengan sudut  berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(0,0) adalah A'(-1,2).


b. Koordinat bayangan titik B(-1,3) dengan sudut  searah jarum jam dan pusat rotasi P(1,1)

Diketahui x = -1, y = 3, p = 1 dan q = 1. Karena rotasi searah jarum jam maka maka sudut bernilai negarif atau 

Ingat bahwa :  dan 

Jadi Koordinat bayangan titik B(-1,3) dengan sudut  searah jarum jam dan pusat rotasi P(1,1) adalah B'(3,3)





c. Koordinat bayangan titik C(-2,-1) dengan sudut  berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(2,-1)

Diketahui x = -2, y = -1, , p = 2 dan q = -1 maka

Jadi koordinat bayangan titik C(-2,-1) dengan sudut  berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(2,-1) adalah C'(6,-1).


d. Koordinat bayangan titik D(3,-5) dengan sudut  berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(-2,3)

Diketahui x = 3, y = -5, , p = -2 dan q = 3, maka

Jadi koordinat bayangan titik D(3,-5) dengan sudut  berlawanan arah jarum jam dan pusat rotasi P(-2,3) adalah D'(-10,-2)


e. Koordinat bayangan titik E(2,2) dengan sudut  searah jarum jam dan pusat rotasi P(-1,-2)

Diketahui x = 2, y = 2, , p = -1 dan q = -2 maka

Jadi Koordinat bayangan titik E(2,2) dengan sudut  searah jarum jam dan pusat rotasi P(-1,-2) adalah 


Soal 2

Tentukan bentuk persamaan oleh rotasi R dengan sudut  dan pusat P serta arah rotasi seperti pada soal berikut.

a. Garis 2y - 3x + 6 = 0 dirotasi dengan pusat P(0,0), sudut  searah jarum jam

b. Garis 3y - 4x - 6 = 0 dirotasi dengan pusat P(1,1), sudut  berlawanan arah jarum jam

c. Parabola  dirotasi dengan pusat P(2,-1), sudut  berlawanan arah jarum jam

d. Parabola  dirotasi dengan pusat P(-2,3)  berlawanan arah jarum jam

e. Lingkaran  dirotasi dengan pusat P(-1,2), sudut  searah jarum jam





Pembahasan

a. Persamaan bayangan garis 2y - 3x + 6 = 0 dirotasi dengan pusat P(0,0), sudut  searah jarum jam

Diketahui p = 0, q = 0 dan , maka

dari persamaan matriks diatas diperolah

x' = y

y' = -x

x = -y'

Substitusi nilai x dan y ke persamaan garis 

2y - 3x + 6 = 0

2(x') - 3(-y') + 6 = 0

2x' + 3y + 6 = 0

Jadi persamaan bayangan garis 2y - 3x + 6 = 0 dirotasi dengan pusat P(0,0), sudut  searah jarum jam adalah 2x + 3y + 6 = 0


b. Persamaan bayangan garis 3y - 4x - 6 = 0 dirotasi dengan pusat P(1,1), sudut  berlawanan arah jarum jam

Diketahui p = 1, q = 1 dan , maka

dari persamaan matriks diatas diperoleh

x' = -y + 2

y = -x' + 2 ............ (1)

y' = x

x = y' ..................(2)

Substitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan garis

3y - 4x - 6 = 0

3(-x' + 2) - 4y' - 6 = 0

-3x' + 6 - 4y' - 6 = 0

-3x' - 4y' = 0

3x' + 4y' = 0

Jadi Persamaan bayangan garis 3y - 4x - 6 = 0 dirotasi dengan pusat P(1,1), sudut  berlawanan arah jarum jam adalah 3x + 4y = 0





c. Persamaan bayangan parabola  dirotasi dengan pusat P(2,-1), sudut  berlawanan arah jarum jam

Diketahui p = 2, q = -1 dan , maka

dari persamaan matriks diatas diperoleh

x' = -x + 4

x = -x' + 4 ......... (1)

y' = -y - 2

y = -y' - 2 ...........(2)

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan parabola

Jadi ersamaan bayangan parabola  dirotasi dengan pusat P(2,-1), sudut  berlawanan arah jarum jam adalah 


d. Persamaan bayangan parabola  dirotasi dengan pusat P(-2,3)  berlawanan arah jarum jam

Diketahui p = -2, q = 3 dan , maka

Dari persamaan matriks diatas diperoleh

x' = y - 5

y = x' + 5 .......... (1)

y' = -x + 1

x = -y' + 1 .......... (2)

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan parabola

Jadi persamaan  bayangan parabola  dirotasi dengan pusat P(-2,3)  berlawanan arah jarum jam adalah 


e. Persamaan bayangan Lingkaran  dirotasi dengan pusat P(-1,-2), sudut  searah jarum jam

Diketahui p = -1, q = 2 dan  searah jarum jam maka

Dari persamaan matriks diatas diperoleh

x' = y + 1

y = x' - 1 ......... (1)

y' = -x - 3

x = -y' - 3 ........ (2)

Subsitusikan persamaan (1) dan (2)  ke persamaan lingkaran

Jadi persamaan bayangan Lingkaran  dirotasi dengan pusat P(-1,-2), sudut  searah jarum jam adalah 

Post a Comment

Terimakasih untuk anda telah berkomentar di postingan ini

Previous Post Next Post