Persamaan Nilai Mutlak Matematika Wajib Kelas 10

Definisi Nilai Mutlak

Alternatif penyelesaian dari bentuk persamaan nilai mutlak

$\begin{vmatrix} ax+b \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} cx+d \end{vmatrix}$

$\left ( ax+b \right )^{2}=\left ( cx+d \right )^{2}$

Soal Persamaan Nilai Mutlak

Hitunglah Nilai x yang memenuhi persamaan nilai mutlak berikut

1. $\begin{vmatrix} 4-3x \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix}$

Pembahasan

Cara 1

$\begin{vmatrix} 4-3x \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 4-3x \end{vmatrix}=4$

Berdasarkan definisi dari nilai mutlak diperoleh

$\begin{vmatrix} 4-3x \end{vmatrix}=\left\{\begin{matrix} 4-3x,x\geq \frac{4}{3}\\-\left ( 4-3x \right ),x< \frac{4}{3} \end{matrix}\right.$

Untuk $x\geq \frac{4}{3}$

4 - 3x = 4

-3x = 4 - 4

-3x = 0

x = 0

Untuk $x< \frac{4}{3}$

-(4 - 3x) = 4

-4 + 3x = 4

3x = 4 + 4

3x = 8

$x= \frac{8}{3}$

Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = 0 atau $x= \frac{8}{3}$

atau

Cara 2

$\begin{vmatrix} 4-3x \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix}$

$\left ( 4-3x \right )^{2}=\left ( -4 \right )^{2}$

$16-24x+9x^{2}=16$

$9x^{2}-24x=0$

$x\left ( 9x-24 \right)=0$

x = 0 atau $\left ( 9x-24 \right )=0$

$9x=24$

$x=\frac{24}{9}$

$x=\frac{8}{3}$

Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = 0 atau $x= \frac{8}{3}$

2. $2\begin{vmatrix} 3x-8 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -10 \end{vmatrix}$

Pembahasan

$2\begin{vmatrix} 3x-8 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -10 \end{vmatrix}$

$2\begin{vmatrix} 3x-8 \end{vmatrix}=10$

$\begin{vmatrix} 3x-8 \end{vmatrix}=5$

Berdasarkan definisi dari nilai mutlak diperoleh

$\begin{vmatrix} 3x-8 \end{vmatrix}=\left\{\begin{matrix} 3x-8,x\geq \frac{8}{3}\\-\left ( 3x-8 \right ),x< \frac{8}{3} \end{matrix}\right.$

Untuk $x\geqslant \frac{8}{3}$

3x - 8 = 5

3x = 5 + 8

3x = 13

$x=\frac{13}{3}$

Untuk $x< \frac{8}{3}$

-(3x-8) = 5

-3x + 8 = 5

-3x = 5 - 8

-3x = -3

x = 1

Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = 1 atau $x=\frac{13}{3}$

3. $2x+\begin{vmatrix} 3x-8 \end{vmatrix}=-4$

Untuk x = 0, tidak ada nilai x yang memenuhi $2x+\begin{vmatrix} 3x-8 \end{vmatrix}=-4$

Untuk x > 0, atau x bernilai positif $2x+\begin{vmatrix} 3x-8 \end{vmatrix}$ bernilai positif, tidak mungkin bernilai negatif.

Untuk x < 0, atau x bernilai negatit, nilai $\begin{vmatrix} 3x-8 \end{vmatrix}$ bernilai positif dan 2x bernilai negatif dan $2x+\begin{vmatrix} 3x-8 \end{vmatrix}$ selalu bernilai positif.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan $2x+\begin{vmatrix} 3x-8 \end{vmatrix}=-4$

4. $5\begin{vmatrix} 2x-3 \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 3-5x \end{vmatrix}$

Pembahasan

$5\begin{vmatrix} 2x-3 \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 3-5x \end{vmatrix}$

$5^{2}\left ( 2x-3 \right )^{2}=2^{2}\left ( 3-5x \right )^{2}$

$25\left ( 4x^{2}-12x+9 \right )=4\left ( 9-30x+25x^{2} \right )$

$100x^{2}-300x+225=36-120x+100x^{2}$

$-300x+120x=36-225$

$-180x=-189$

$x=\frac{189}{180}=\frac{21}{20}$

Jadi nilai x yang memenuhi adalah $x=\frac{21}{20}$

5. $\frac{\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x-2 \end{vmatrix}}=\begin{vmatrix} -10 \end{vmatrix}$

Pembahasan

$\frac{\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x-2 \end{vmatrix}}=\begin{vmatrix} -10 \end{vmatrix}$

$\frac{\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x-2 \end{vmatrix}}=10$

Berdasarkan definisi nilai mutlak diperoleh

$\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}=\left\{\begin{matrix} x,x\geq 0\\-x,x<0 \end{matrix}\right.$

$\begin{vmatrix} x-2 \end{vmatrix}=\left\{\begin{matrix} x-2,x\geq 2\\ -x+2,x<2 \end{matrix}\right.$

dengan menggunakan garis bilangan diperoleh

Dari garis bilangan diatas kita akan bagi menjadi 3 interval

1. Untuk x < 0

$\frac{-x}{-x+2}=10$

$-x=-10x+20$

$-x+10x=20$

$9x=20$

$x=\frac{20}{9}$

2. Untuk $0\leq x<2$

$\frac{x}{-x+2}=10$

$x=-10x+20$

$11x=20$

$x=\frac{20}{11}$

3. Untuk $x\geq 2$

$\frac{x}{x-2}=10$

$x=10x-20$

$-9x=-20$

$x=\frac{20}{9}$

Jadi nilai x yang memenuhi adalah $x=\frac{20}{9}$ dan $x=\frac{20}{11}$

atau dengan cara alternatif

$\frac{\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x-2 \end{vmatrix}}=\begin{vmatrix} -10 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -10 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x-2 \end{vmatrix}$

$x^{2}=\left ( -10 \right )^{2}\left ( x-2 \right )^{2}$

$x^{2}=100\left ( x^{2}-4x+4 \right )$

$x^{2}=100x^{2}-400x+400$

$99x^{2}-400x+400=0$

$99x^{2}-400x=-400$

$x^{2}-\frac{400}{99}x=-\frac{400}{99}$

$x^{2}-\frac{400}{99}x+\left ( \frac{200}{99} \right )^{2}=-\frac{400}{99}+\left ( \frac{200}{99} \right )^{2}$

$\left ( x-\frac{200}{99} \right )^{2}=-\frac{400}{99}+\frac{40000}{9801}$

$\left ( x-\frac{200}{99} \right )^{2}=-\frac{39600}{9801}+\frac{40000}{9801}$

$\left ( x-\frac{200}{99} \right )^{2}=\frac{400}{9801}$

$x-\frac{200}{99}=\pm \sqrt{\frac{400}{9801}}$

$x=\frac{200}{99}\pm \sqrt{\frac{400}{9801}}$

$x=\frac{200}{99}\pm \frac{20}{99}$

$x_{1}=\frac{200}{99}+\frac{20}{99}=\frac{220}{99}=\frac{20}{9}$

atau

$x_{2}=\frac{200}{99}-\frac{20}{99}=\frac{180}{99}=\frac{20}{11}$

Jadi nilai x yang memenuhi adalah $x=\frac{20}{9}$ dan $x=\frac{20}{11}$

6. $\frac{\begin{vmatrix} x-5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2x \end{vmatrix}}=-4$

Tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan ini. Untuk penjelasannya bisa dilihat pembahasan soal no. 3

7. $\begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 5x+6 \end{vmatrix}=\frac{\begin{vmatrix} 10x-8 \end{vmatrix}}{2}$

Pembahasan

$\begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 5x+6 \end{vmatrix}=\frac{\begin{vmatrix} 10x-8 \end{vmatrix}}{2}$

$4\begin{vmatrix} 5x+6 \end{vmatrix}=\frac{\begin{vmatrix} 10x-8 \end{vmatrix}}{2}$

$8\begin{vmatrix} 5x+6 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 10x-8 \end{vmatrix}$

Berdasarkan definisi nilai mutlak diperoleh

$\begin{vmatrix} 5x+6 \end{vmatrix}=\left\{\begin{matrix} 5x+6,x\geqslant -\frac{6}{5}\\ -5x-6,x<-\frac{6}{5} \end{matrix}\right.$

$\begin{vmatrix} 10x-8 \end{vmatrix}=\left\{\begin{matrix} 10x-8,x\geqslant \frac{8}{10}\\ -10x+8,x<\frac{8}{10} \end{matrix}\right.$

Untuk lebih memudahkan pembacaan interval kita buat garis bilangan berikut

Untuk $x<-\frac{6}{5}$

$8\left ( -5x-6 \right )=-10x+8$

$-40x-48=-10x+8$

$-30x=56$

$x=-\frac{56}{30}$

$x=-\frac{28}{15}$

Untuk $-\frac{6}{5}\leq x<\frac{8}{10}$

$8\left ( 5x+6 \right )=-10x+8$

$40x+48=-10x+8$

$50x=-40$

$x=-\frac{4}{5}$

Untuk $x\geqslant \frac{8}{10}$

$8\left ( 5x+6 \right )=10x-8$

$40x+48=10x-8$

$30x=-56$

$x=-\frac{28}{15}$

Jadi nilai x yang memenuhi adalah $x=-\frac{4}{5}$ atau $x=-\frac{28}{15}$

Persamaan Nilai Mutlak Matematika Wajib Kelas 10

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Persamaan Nilai Mutlak Matematika Wajib Kelas 10

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form