Pembahasan Soal Ujian Sekolah Matematika Wajib Kelas 12 SMA/MA

Soal 1

Kompetensi Dasar	Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel.
Materi	Persamaan nilai mutlak dari bentuk linier satu variabel
Indikator Soal	Siswa dapat menyelesaikan persamaan nilai mutlak dari bentuk linier satu variabel
Bentuk Soal	Pilihan Ganda

Rumusan Soal

Nilai x yang memenuhi persamaan -5|x - 7| + 2 = -13 adalah ....

A. x = -4 atau x = 10

B. x = 4 atau x = 10

C. x = 4 atau x = -10

D. x = -4 atau x = -10

E. x = 24/5 atau x = -12

Pembahasan

-5|x - 7| + 2 = -13

-5|x - 7| = -13 - 2

-5|x - 7| = -15

$\left | x-7 \right |=\frac{-15}{-5}$

|x - 7| = 3

Cara 1

Dari definisi persamaan nilai mutlak $\left | a \right |=\left\{\begin{matrix} a,a\geq 0\\ -a,a<0 \end{matrix}\right.$ diperoleh :

untuk x $\geq$ 7

x - 7 = 3

x = 3 + 7

x = 10

Untuk x < 7

-(x - 7) = 3

-x + 7 = 3

-x = 3 - 7

-x = -4

x = 4

Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = 4 atau x = 10

Cara 2

|x - 7| = 3

$\left ( x-7 \right )^{2}=3^{2}$

$x^{2}-14x+49=9$

$x^{2}-14x+40=0$

$(x-4)(x-10)=0$

x - 4 = 0 atau x - 10= 0

x = 4 x = 10

Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = 4 atau x = 10

Kunci Jawaban : B

Soal 2

Kompetensi Dasar	Menjelaskan dan menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan dua variabel (linear-linear).
Materi	Petidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier satu variabel
Indikator Soal	Siswa dapat menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier satu variabel
Bentuk Soal	Pilihan Ganda

Rumusan Soal

Himpunan penyelesaian dari $\left | x+3 \right |\leqslant \left | 2x-3 \right |$ adalah ....

A. {x| x < 0 atau x > 6}

B. {x| x $\leq$ 0 atau x > 6}

C. {x| x $\leq$ 0 atau x $\geq$ 6}

D. {x| x < 0 atau x $\geq$ 6}

E. {x| x $\leq$ 0 atau x $\leq$ 6}

Pembahasan

$\left | x+3 \right |\leqslant \left | 2x-3 \right |$

$\left ( x+3 \right )^{2}\leqslant\left ( 2x-3 \right )^{2}$

$x^{2}+6x+9\leqslant4x^{2}-12x+9$

$x^{2}-4x^{2}+6x+12x+9-9\leqslant0$

$-3x^{2}+18x\leqslant0$

$x^{2}-6x\geq 0$

$x(x-6)\geq 0$

Pembuat nol fungsi

x(x - 6) = 0

x = 0 atau x - 6 = 0

x = 6

dengan menggunakan garis bilangan diperoleh

Maka diperoleh nilai x yang memenuhi adalah x $\leq$ 0 atau x $\geq$ 6

Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan diatas adalah {x| x $\leq$ 0 atau x $\geq$ 6}

Kunci Jawaban : C

Soal 3

Kompetensi Dasar	Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel.
Materi	Sistem persamaan linier dua variabel
Indikator Soal	Siswa dapat menentukan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier dua variabel
Bentuk Soal	Pilihan Ganda

Rumusan Soal

Harga 3 kg beras dan 2 kg gula di Toko A adalah Rp. 17.000,00; sedangkan di Toko B harga 4 kg beras dan 5 kg gula adalah Rp. 32.000,00. Pada saat itu harga beras dan gula di Toko A dan Toko B sama. Model matematika dari permasalahan tersebut adalah....

A. $\left\{\begin{matrix} 3x+2y=17.000\\ 4x+5y=32.000 \end{matrix}\right.$

B. $\left\{\begin{matrix} 3x+4y=17.000\\ 2x+5y=32.000 \end{matrix}\right.$

C. $\left\{\begin{matrix} 2x+3y=17.000\\ 4x+5y=32.000 \end{matrix}\right.$

D. $\left\{\begin{matrix} 3x+5y=17.000\\ 2x+4y=32.000 \end{matrix}\right.$

E. $\left\{\begin{matrix} 4x+5y=17.000\\ 3x+2y=32.000 \end{matrix}\right.$

Pembahasan

Misal beras = x dan gula = y

maka permasalahan diatas dapat dibuatkan tabel berikut

Dari tabel diatas persamaan linier dua variabelnya adalah

3x + 2y = 17.000

4x + 5y = 32.000

Sehingga sistem persamaan liniernya adalah

$\left\{\begin{matrix} 3x+2y=17.000\\ 4x+5y=32.000 \end{matrix}\right.$

Kunci jawaban : A

Soal 4

Kompetensi Dasar	Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel.
Materi	Sistem pertidaksamaan linier dua variabel
Indikator Soal	Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier dua variabel
Bentuk Soal	Pilihan Ganda

Rumusan Soal

Dua tahun yang lalu umur ayah adalah 7 kali umur anaknya. Empat tahun yang akan datang jumlah umur mereka adalah 44 tahun. Maka umur anak sekarang adalah …. Tahun

A. 3

B. 4

C. 6

D. 7

E. 9

Pembahasan

Misal umur ayah = x dan umur anak = y

Dari pernyataan Dua tahun yang lalu umur ayah adalah 7 kali umur anaknya, diperoleh persamaan

x - 2 = 7(y - 2)

x - 2 = 7y - 14

x = 7y - 12 ...... (1)

Dari pernyataan Empat tahun yang akan datang jumlah umur mereka adalah 44 tahun, diperoleh persamaan

x + 4 + y + 4 = 44

x + y = 36 .........(2)

Substitusikan (1) ke (2)

x + y = 36

7y - 12 + y = 36

8y = 36 + 12

8y = 48

y = 6

substitusi y = 6 ke (1)

x = 7y - 12

= 7.6 - 12

= 42 - 12

= 30

Jadi umur anak sekarang adalah 6 tahun dan umur ayah 30 tahun.

Kunci Jawaban : C

Soal 5

Kompetensi Dasar	Menjelaskan dan menentukan fungsi (terutama fungsi linear, fungsi kuadrat, dan fungsi rasional) secara formal yang meliputi notasi, daerah asal, daerah hasil, dan ekspresi simbolik, serta sketsa grafiknya
Materi	Fungsi
Indikator Soal	Siswa dapat menentukan daerah asal suatu fungsi aljabar
Bentuk Soal	Pilihan Ganda

Rumusan Soal

Daerah asal dari $f(x)=\frac{\sqrt{3x+6}}{x+2}$ fungsi adalah....

A. $\left \{ x|x\geq -2,x\neq -2,x\in \mathbb{R} \right \}$

B. $\left \{ x|x\geq -3,x\neq -2,x\in \mathbb{R} \right \}$

C. $\left \{ x|x\geq 2,x\neq -2,x\in \mathbb{R} \right \}$

D. $\left \{ x|x\geq 2,x\neq -2,x\in \mathbb{R} \right \}$

E. $\left \{ x|x\geq -2,x\in \mathbb{R} \right \}$

Pembahasan

Langkah-langkah mencari daerah asal dari bentuk $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ adalah :

1. Tentukan daerah asal dari pembilang

Menentukan Daerah asalah dari $g(x)=\sqrt{3x+6}$

g(x) boleh sama dengan 0

$\sqrt{3x+6}$ memiliki nilai jika $3x+6\geq 0$ , dan x bilangan real maka

$3x+6\geq 0$

$3x\geq -6$

$x\geq \frac{-6}{3}$

$x\geq -2$

2.Tentukan daerah asal dari penyebut

x + 2 memiliki nilai untuk setiap x bilangan real, tetapi $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ tidak memiliki nilai bilangan real jika h(x) = 0, maka

$x+2\neq 0$

$x\neq -2$

Perhatikan bahwa penyebut tidak boleh bernilai 0.

Jadi daerah asal dari $f(x)=\frac{\sqrt{3x+6}}{x+2}$ adalah $\left \{ x|x\geq -2,x\neq -2,x\in \mathbb{R} \right \}$

Kunci Jawaban : A

Soal 6

Kompetensi Dasar	Menjelaskan operasi komposisi pada fungsi dan operasi invers pada fungsi invers serta sifat-sifatnya serta menentukan eksistensinya
Materi	Komposisi Fungsi dan Invers
Indikator Soal	Siswa dapat menentukan komposisi fungsi
Bentuk Soal	Pilihan Ganda

Rumusan Soal

Diketahui f(x) = x - 5 dan $g(x)=x^{2}+3x$ . Fungsi komposisi $(gof)(x)$ adalah …

A. $x^{2}+7x+10$

B. $x^{2}-7x+10$

C. $x^{2}-7x-10$

D. $x^{2}-13x+10$

E. $x^{2}-13x-10$

Pembahasan

$(gof)(x)=g(f(x))$

$=(f(x))^{2}+3(f(x))$

$=(x-5)^{2}+3(x-5)$

$=x^{2}-10x+25+3x-15$

$=x^{2}-10x+3x+25-15$

$=x^{2}-7x+10$

Kunci Jawaban : B

Soal 7

Kompetensi Dasar	Menjelaskan operasi komposisi pada fungsi dan operasi invers pada fungsi invers serta sifat-sifatnya serta menentukan eksistensinya
Materi	Komposisi Fungsi dan Invers
Indikator Soal	Siswa dapat menentukan invers dari suatu fungsi aljabar
Bentuk Soal	Pilihan Ganda

Rumusan Soal

Diketahui $f(x)=\frac{8x+3}{x+5},x\neq -5$ . Invers dari fungsi f(x) adalah ....

A. $\frac{x-5}{8x-3},x\neq \frac{3}{8}$

B. $\frac{x+5}{8x+3},x\neq -\frac{3}{8}$

C. $\frac{5x+3}{x-8},x\neq 8$

D. $\frac{3-5x}{x-8},x\neq 8$

E. $\frac{5x-3}{x-8},x\neq 8$

Pembahasan

Cara 1

$y=\frac{8x+3}{x+5}$

$y(x+5)=8x+3$

$yx+5y=8x+3$

$yx-8x=-5y+3$

$(y-8)x=-5y+3$

$x=\frac{-5y+3}{y-8}$

Jadi invers dari fungsi diatas adalah $\frac{-5x+3}{x-8},x\neq 8$

Cara 2

1. Jika $f(x)=ax+b,a\neq 0$ , maka $f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a},a\neq 0$

2. Jika $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},x\neq -\frac{d}{c}$ , maka $f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a},x\neq \frac{a}{c}$

Dari soal diatas $f(x)=\frac{8x+3}{x+5},x\neq -5$ , diketahui

a = 8, b = 3, c = 1 dan d = 5, maka

$f^{-1}(x)=\frac{-5x+3}{x-8},x\neq 8$

Kunci Jawaban : D

Soal 8

Kompetensi Dasar	Menjelaskan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segi tiga siku-siku.
Materi	Rasio Trigonometri
Indikator Soal	Siswa dapat menentukan nilai dari perbandingan trigonomteri
Bentuk Soal	Pilihan Ganda

Rumusan Soal

Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dan $sinA=\frac{4}{5}$ . Nilai sin C adalah ....

A. $\frac{3}{5}$

B. $\frac{4}{5}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{2}{5}$

E. $\frac{7}{5}$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut

Dari soal diatas diketahui bahwa $sinA=\frac{4}{5}$ .

Jika digambarkan segitiga siku-sikunya seperti gambar berikut.

Akan dicari panjang x dengan menggunakan teorema pythagoras

$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}$

$=\sqrt{5^{2}-4^{2}}$

$=\sqrt{25-14}$

$=\sqrt{9}=3$

Maka

$sinC=\frac{sisi\, depan \, sudut}{sisi\, miring}$

$=\frac{x}{r}=\frac{3}{5}$

Kunci Jawaban : A

Soal 9

Kompetensi Dasar	Menjelaskan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segi tiga siku-siku.
Materi	Rasio Trigonometri
Indikator Soal	Siswa dapat menghitung nilai sudut istimewa trigonometri
Bentuk Soal	Pilihan Ganda

Rumusan Soal

Nilai dari $sin\, 210^{o}+tan\, 225^{o}$ adalah ....

A. 1

B. 1/2

C. 0

D. -1/2

E. -1

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut

Berdasarkan gambar diatas diperoleh

$210^{o}$ berada di kuadran III dan sin bernilai negatif dan $225^{o}$ terletak di kuadran III dan tan bernilai positif, maka

$sin\, 210^{o}+tan\, 225^{o}=sin(180+30)^{o}+tan(180+45)^{o}$

$=-sin\, 30^{o}+tan\, 45^{o}$

$=-\frac{1}{2}+1$

$=\frac{1}{2}$

Kunci Jawaban : B

Soal 10

Kompetensi Dasar	Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan sinus dan cosinus.
Materi	Aturan sinus
Indikator Soal	Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan sinus
Bentuk Soal	Pilihan Ganda

Rumusan Soal

Diketahui segitiga ABC memiiki luas 6 $cm^{2}$ . Jika panjang AB = 3 cm dan BC = 4 cm, maka besar $\angle$ ABC adalah ....

A. $90^{\circ}$

B. $60^{\circ}$

C. $50^{\circ}$

D. $45^{\circ}$

E. $30^{\circ}$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut

Dari gambar diatas diperoleh :

Misal $\angle ABC=\theta$ , maka

$sin\theta =\frac{CD}{BC}$

$CD=BC.sin\theta$

Sementara luas segitiga ABC adalah

$L\bigtriangleup =\frac{1}{2}AB.CD$

$L\bigtriangleup =\frac{1}{2}AB.BC.sin\theta$

$6=\frac{1}{2}3.4.sin\theta$

$sin\theta=1$

$\theta=sin^{-1}1$

$\theta=90^{\circ}$

Karena $\angle ABC=\theta$ , maka besar $\angle ABC$ = $90^{\circ}$

Kunci Jawaban : A

Soal 11

Kompetensi Dasar	Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan sinus dan cosinus.
Materi	Aturan cosinus
Indikator Soal	Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan aturan cosinus
Bentuk Soal	Pilihan Ganda

Rumusan Soal

Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 60 mil dengan arah $40^{\circ}$ dari A, kemudian berputar haluan dilanjutkan ke pelabuhan C sejauh 90 mil dengan arah $160^{\circ}$ dari B. Jarak terdekat dari pelabuhan A ke pelabuhan C adalah....

A. $30\sqrt{2}$

B. $30\sqrt{3}$

C. $30\sqrt{5}$

D. $30\sqrt{7}$

E. $30\sqrt{10}$

Pembahasan

Arah kapal dapat digambar sebagai berikut

Perhatikan bahwa

$\angle ABC=180^{\circ} -160^{\circ}=20^{\circ}$

Dengan menggunakan aturan cosinus diperoleh

$AC^{2}=60^{2}+90^{2}-2.60.90.cos(180-60)^{\circ}$

Ingat bahwa pada kuadran kedua cosinus bernilai negatif, sehingga

$AC^{2}=60^{2}+90^{2}+2.60.90.cos60^{\circ}$

$AC^{2}=3600+8100+2.5400.\frac{1}{2}$

$AC^{2}=17100$

$AC=\sqrt{17100}=\sqrt{900.19}$

$AC=30\sqrt{19}$

Jadi jarak terpendek dari pelabuhan A ke pelabuhan B adalah $AC=30\sqrt{19}$ mil

Kunci Jawaban : Tidak ada yang benar

Soal 12

Kompetensi Dasar	Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linier dua varaibel.
Materi	Program linier dua variabel
Indikator Soal	Disajikan grafik sistem pertidaksamaan linier dua variabel, siswa dapat menentukan nilai optimum fungsi obyektif
Bentuk Soal	Pilihan Ganda

Rumusan Soal

Perhatikan gambar berikut.

Nilai maksimum dari fungsi obyektif Z = 2x + y adalah ....

A. 10

B. 16

C. 20

D. 40

E. 50

Pembahasan

Dari gambar diatas kita tidak perlu mencari persamaan garis dan titik potong kedua garis, karena titik potong kedua garis terletak di luar daerah penyelesaian.

Langkah 1. Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu koordinat

Titik potong grafik terhadap sumbu koordinat adalah (2,0), (10,0), (0,8) dan (0,10)

Langkah 2. Substitusi semua titik potong ke fungsi obyektif

(2,0) diperoleh Z = 2.2 + 0 = 4

(10,0) diperoleh Z = 2.10 + 0 = 20

(0,8) diperoleh Z = 2.0 + 8 = 8

(0,10) diperoleh Z = 2.0 + 10 = 10

Terlihat bahwa nilai maksimum fungsi obyektif adalah Z = 20

Kunci Jawaban : C

Soal 13

Kompetensi Dasar	Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah kontekstual dan melakukan operasi pada matriks yang meliputi penjumlahan dan pengurangan, perkalian skalar, perkalian dan transpose matriks.
Materi	Matriks
Indikator Soal	Siswa dapat menentukan hasil opersi campuran matriks
Bentuk Soal	Pilihan Ganda

Rumusan Soal

Diketahui matris $A=\begin{pmatrix}5 & 2 \\3 & x \\\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}y & -4 \\0 & 2 \\\end{pmatrix}$ , dan $C=\begin{pmatrix}-7 & 1 \\3 & 5 \\\end{pmatrix}$ . Jika A - B = Adj C, maka nilai x + y adalah....

A. -5

B. 2

C. 6

D. 11

E. 12

Pembahasan

A - B = Adj C

$\begin{pmatrix}5 & 2 \\3 & x \\\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}y & -4 \\0 & 2 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & -1 \\-3 & -7 \\\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}5-y & 2+4 \\3-0 & x-2 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & -1 \\-3 & -7 \\\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}5-y & 6 \\3 & x-2 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & -1 \\-3 & -7 \\\end{pmatrix}$

Dari kesamaan matriks diatas diperoleh :

5 - y = 5

y = 0

x - 2 = -7

x = -7 + 2

x = -5

Jadi x + y = - 5+ 0 = -5

Kunci Jawaban : A

Soal 14

Kompetensi Dasar	Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah kontekstual dan melakukan operasi pada matriks yang meliputi penjumlahan dan pengurangan, perkalian skalar, perkalian dan transpose matriks.
Materi	Matriks
Indikator Soal	Siswa dapat menentukan hasil opersi campuran matriks
Bentuk Soal	Pilihan Ganda

Rumusan Soal

Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}2 & 3 \\5 & 1 \\\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}-1 & -4 \\2 & 3 \\\end{pmatrix}$ , dan $C=\begin{pmatrix}2 & 3n+2 \\5 & -8 \\\end{pmatrix}$ . Nilai n yang memenuhi persamaan $AxB=C+A^{T}$ adalah ....

A. $-6\frac{1}{3}$

B. -2

C. $\frac{2}{3}$

D. 2

E. $2\frac{2}{3}$

Pembahasan

$AxB=C+A^{T}$

$\begin{pmatrix}2 & 3 \\5 & 1 \\\end{pmatrix}x\begin{pmatrix}-1 & -4 \\2 & 3 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 3n+2 \\5 & -8 \\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 & 5 \\3 & 1 \\\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}-2+6 & -8+9 \\-5+2 & -20+3 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+2 & 3n+2+5 \\5+3 & -8+1 \\\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}4 & 1 \\-3 & -17 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 3n+7 \\8 & -7 \\\end{pmatrix}$

Dari kesamaan matriks diatas diperoleh

1 = 3n + 7

3n = 1 - 7

3n = -6

n = -2

Kunci Jawaban : B

Soal 15

Kompetensi Dasar	Menganalisis sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo 2x2 dan penerapan dalam transformasi (dan komposisi transformasi) geometris
Materi	Matriks dan Transformasi
Indikator Soal	Siswa dapat menentukan invers matriks
Bentuk Soal	Pilihan Ganda

Rumusan Soal

Jika matriks $A=\begin{pmatrix}2 & 5 \\1 & 3 \\\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}5 & 4 \\1 & 1 \\\end{pmatrix}$ dan $P=AxB$ . Invers dari matriks P adalah ....