Invers Matriks Ordo 2x2 dan Pembahasan Soal

Adjoint Matriks Ordo 2x2

Sebelum membicarakan Invers matriks 2x2 terlebih dahulu kita akan membicarakan Adjoint.

Jika diketahui $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka $Adj\, A=\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$

Invers Matriks Ordo 2x2

Diberikan sebuah matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$

Invers dari matriks A adalah

$A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}Adj\, A$

$A^{-1}=\frac{1}{ab-cd}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$

Contoh dan Pembahasan Soal

Contoh Soal 1 (Soal Ujian Nasional Tahun 2017)

Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} -5 & -2\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ , dan C = A.B. Matriks $C^{-1}$ adalah invers matriks C, maka $C^{-1}$ adalah ....

A. $\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -2\\ 3 & -1 \end{pmatrix}$

B. $\frac{1}{4}\begin{pmatrix} -2 & 2\\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

C. $\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 2\\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

D. $\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

E. $\frac{1}{4}\begin{pmatrix} -3 & 2\\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

Pembahasan

C = A.B

$=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 3 & 4 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} -5 & -2\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 2(-5)+3.3 & 2(-2)+3.2\\ 3(-5)+4.3 & 3(-2)+4.2 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ -3 & 2 \end{pmatrix}$

Maka :

$C^{-1}=\frac{1}{\left | C \right |}Adj\, C$

$=\frac{1}{(-1)2-2(-3)}\begin{pmatrix} 2 & -2\\ 3 & -1 \end{pmatrix}$

$=\frac{1}{-2+6}\begin{pmatrix} 2 & -2\\ 3 & -1 \end{pmatrix}$

$=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -2\\ 3 & -1 \end{pmatrix}$

Kunci Jawaban : A

Contoh Soal 2 (Soal Ujian Nasional Tahun 2018)

Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , dan matriks $B=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ . Matriks $\left ( AB \right )^{-1}$ adalah ....

A. $\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & 7\\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

B. $\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & -7\\ 1 & 7 \end{pmatrix}$

C. $\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4 & -7\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

D. $\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & 3\\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

E. $\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -8 & -1\\ -5 & 1 \end{pmatrix}$

Pembahasan

$AB=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 2.1+3(-1) & 2.2+3.1\\ 1.1+2(-1) & 1.2+2.1 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 2-3 & 4+3\\ 1-2 & 2+2 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} -1 & 7\\ -1 & 4 \end{pmatrix}$

Maka :

$\left ( AB \right )^{-1}=\frac{1}{det(AB)}Adj(AB)$

$=\frac{1}{(-1)4-7(-1)}\begin{pmatrix} 4 & -7\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

$=\frac{1}{-4+7}\begin{pmatrix} 4 & -7\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

$=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4 & -7\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

Kunci Jawaban : C

Contoh Soal 3 (Soal Ujian Nasional Tahun 2019)

Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 5\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ , $C=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ , dan D = 2A - B + C. Invers matriks D adalah ....

A. $D^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 2 & -3\\ 1 & -5 \end{pmatrix}$

B. $D^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 5 & -3\\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

C. $D^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -7 & 8\\ 3 & -3 \end{pmatrix}$

D. $D^{-1}=\frac{1}{13}\begin{pmatrix} 2 & -3\\ 1 & -5 \end{pmatrix}$

E. $D^{-1}=\frac{1}{13}\begin{pmatrix} 5 & -3\\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

Pembahasan

D = 2A - B + C

$=2\begin{pmatrix} 2 & 5\\ 1 & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 2.2-1+0 & 2.5-3+1\\ 2.1-2+3 & 2.3-1+2 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 3 & 8\\ 3 & 7 \end{pmatrix}$

Maka :

$D^{-1}=\frac{1}{\left | D \right |}Adj\, D$

$=\frac{1}{3.7-8.3}\begin{pmatrix} 7 & -8\\ -3 & 3 \end{pmatrix}$

$=\frac{1}{21-24}\begin{pmatrix} 7 & -8\\ -3 & 3 \end{pmatrix}$

$=\frac{1}{-3}\begin{pmatrix} 7 & -8\\ -3 & 3 \end{pmatrix}$

$=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -7 & 8\\ 3 & -3 \end{pmatrix}$

Kunci Jawaban : C

Contoh Soal 4 (Soal Ujian Nasional Tahun 2018)

Jumlah umur kakak dan dua kali umur adik adalah 27 tahun. Selisih umur kakak dan umur adik adalah 3 tahun. Jika umur kakak x tahun dan umur adik y tahun, persamaan matriks yang sesuai dengan permasalahan tersebut adalah ....

A. $\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9\\ 1 \end{pmatrix}$

B. $\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9\\ 1 \end{pmatrix}$

C. $\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9\\ 1 \end{pmatrix}$

D. $\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9\\ 1 \end{pmatrix}$

E. $\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -2\\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9\\ 1 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Misal umur kakak x tahun dan umur umur adik y tahun.

Jumlah umur kakak dan dua kali umur adik adalah 27 tahun kalimat matematikanya adalah 𝑥 + 2𝑦 = 27.

Selisih umur kakak dan umur adik adalah 3 tahun kalimat matematikanya adalah 𝑥 - 𝑦 = 3

Sistem persamaan linier dua variabel dari persamaan diatas adalah

$\left\{\begin{matrix} x+2y=27\\ x-y=3 \end{matrix}\right.$

Jika sistem persamaan diatas disajikan dalam bentuk matriks menjadi :

$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 27\\ 3 \end{pmatrix}$

Dari bentuk diatas bahwa

A.B = C

B = $A^{-1}$ .C

$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\frac{1}{\left | A \right |}Adj\, A.C$

$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\frac{1}{-3}\begin{pmatrix} -1 & -2\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 27\\ 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & -2\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9\\ 1 \end{pmatrix}$

Kunci Jawaban : C

Sebagai tambahan pengetahuan baca juga Pembahasan Soal-Soal Matariks

Sebagai acuan dalam menyelesaikan operasi pada matriks dapat menggunakan aplikasi geogebra. Untuk mempelajarinya dapat dilihat dari link https://www.sambimatika.my.id/2022/10/menggunakan-aplikasi-geogebra-pada.html. Selamat mencoba, tetap semangat dan semoga kesuksesan selalu menyertai kita. Amiin....

Invers Matriks Ordo 2x2 dan Pembahasan Soal

Adjoint Matriks Ordo 2x2

Invers Matriks Ordo 2x2

Contoh dan Pembahasan Soal

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Invers Matriks Ordo 2x2 dan Pembahasan Soal

Adjoint Matriks Ordo 2x2

Invers Matriks Ordo 2x2

Contoh dan Pembahasan Soal

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form