Menentukan Nilai Optimum Fungsi Obyektif Dengan Garis Selidik

Langkah menentukan nilai optimum fungsi obyektif / fungsi tujuan / fungsi sasaran Z(x,y) = ax + by menggunakan metode garis selidik adalah sebagai berikut :

1. Buatlah garis selidik, yaitu garis-garis yang sejajar dengan garis ax + by = k, a > 0, b > 0 dan k 
2. Gambarlah garis selidik tersebut pada koordinat cartesius
3. Nilai optimal fungsi sasaran terletak pada titik pada daerah penyelesaian yang dilalui oleh garis selidik. Dengan menggeser garis selidik, akan terlihat apakah nilai fungsi sasaran makin membesar atau mengecil. Untuk fungsi sasaran yang memenuhi bentuk umum Z(x,y) = ax + by, a>0, b>0, maka nilai maksimum terletak pada titik yang terjauh jaraknya terhadap titik pusat (0,0). Sedangkan nilai minimum fungsi obyektif terletak pada titik pada daerah penyelesaian yang dilalui oleh garis selidik dan terdekat jaraknya terhadao titik pusat (0,0).

Contoh 1

Seorang petugas parkir mempunyai tempat parkir yang luasnya 300 meter persegi, digunakan untuk memarkir mobil dan bus. sebuah mobil memerlukan tempat seluas 10 meter persegi dan untuk bus 20 meter persegi dengan daya tampung hanya 24 kendaraan. Biaya parkir untuk mobil Rp. 1.000,00/jam dan untuk bus Rp. 3.000,00/jam. Jika dalam satu jam tempat parkir terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang datang dan pergi, tentukan hasil maksimum petugas tempat parkir itu.

Penyelesaian

Misalkan mobil = x dan bis = y maka permasalahan diatas bisa disajikan dalam bentuk tabel berikut

	Mobil	Bis	Kendala
Banyak kendaraan	x	y	24
Luas lahan	10	20	300

Sehingga diperoleh model matematika dari permasalah diatas adalah :

Dengan fungsi obyektif 

Z(x,y) =1000x+3000y

           = x + 3y (dalam ribuan)

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi

Untuk persamaan x + y =24

Titik potong terhadap sumbu x jika y = 0

x + y = 24

x + 0 = 24

x = 24

Jadi titik potong terhadap sumbu x adalah (24,0)

Titik poton terhadap sumbu y jika x = 0

x + y = 24

0 + y = 24

y = 24

Jadi titik poton terhadap sumbu x = (0,24)

karena pertidaksamaan memiliki tanda "  " maka arsiran grafik ke bawah.

Untuk persamaan x + 2y = 30

Titik potong terhadap sumbu x jika y = 0

x + 2.0 = 30

x = 30

Jadi titik potong terhadap sumbu x adalah (30,0)

Titik potong terhadap sumbu y jika x = 0

0 + 2y = 30

y = 15

Jadi titik potong terhadap sumbu y adalah (0,15)

karena pertidaksamaan memiliki tanda "  " maka arsiran grafik ke bawah.

Titik potong grafik fungsi x + y =24 dan x + 2y = 30

x + y = 24

x = 24 - y

substitusi ke persamaan

x + 2y = 30

24 - y + 2y 30

y = 30 - 24

y = 6

Subtitusi y = 6 ke persamaan

x = 24 - y

x = 24 - 6 = 18

Jadi titik potong kedua grafik adalah (18,6)

Gambar grafiknya adalah

Persamaan garis selidik dari fungsi obyektif Z=x+3y adalah x+3y=k

Di titik (0,0) diperoleh Z = 0, Maka persamaan garis selidik yang pertama adalah 

x + 3y = 0

Di titik (24,0) diperoleh Z = 24, maka persamaan garis selidik yang kedua adalah

x + 3y = 24

Di titik (18,6) diperoleh Z = 36, maka persamaan garis selidik yang ketiga adalah

x + 3y = 36

Di titik (0,15) diperoleh Z = 45, maka persamaan garis selidik yang ketiga adalah

x + 3y = 45 

Gambar grafik dari garis selidik adalah

Dari gambar-gambar garis selidik tersebut terlihat bahwa nilai nilai k maksimum diperoleh dari garis selidik yang melalui titik (0,15) dan tidak ada titik lain di daerah penyelesaian yang dilalui oleh garis selidik tersebut.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai maksimal fungsi obyektif Z hanya terletak pada titik tersebut. Nilai maksimum Z yaitu

Z(x,y)= x + 3y

Z(0,15) = 0 + 3.15 = 45 dalam ribuan = 45.000

Jadi penghasilan maksimum tukang parkir adalah Rp. 45.000,00 yang diperoleh dengan menampung 15 buah bis untuk parkir.

Contoh Soal 2

Suatu perusahaan produsen kalkulator berencana membangun dua tipe pabrik untuk memproduksi dua model kalkulator. Pabrik tipe pertama setiap harinya dapat memproduksi sebanyak 140 kalkulator model A dan 35 kalkulator model B. Pabrik tipe kedua setiap harinya dapat memproduksi 60 kalkulator model A dan 90 kalkulator model B. Perusahaan harus memproduksi sedikitnya 460 kalkulator model A dan 340 kalkulator model B. Jika biaya operasional harian pabrik tipe pertama Rp12.000.000,00 dan biaya operasional harian pabrik tipe kedua Rp9.000.000,00, tentukan biaya operasional minimal yang harus dikeluarkan perusahaan tersebut. Berapa banyak masing-masing tipe pabrik yang harus dimiliki perusahaan tersebut agar biaya operasional minimal?

Pembahasan

Jika permasalahan diatas disajikan dalam tabel berikut

Misal Perusahaan Tipe 1 = x

Perusahaan Tipe 2 = y

Tipe Perusahaan	Kalkulator Model A	Kalkulator Model B	Variabel
Tipe 1	140	35	x
Tipe 2	60	90	y
Banyak Produksi	460	340

Model Matematika dari permasalahan diatas jika ditampilkan dalam bentuk sistem pertidaksamaan linier dua variabel sebagai berikut.

atau bisa disederhanakan menjadi

Fungsi obyektif

Z(x,y) = 12.000.000x + 9.000.000y

          = 4x +3y (dalam juta)

Untuk persamaan 7x + 2y = 23

Titik potong terhadap sumbu x jika y = 0

7x + 2.0 = 23

7x = 23

Jadi titik potong terhadap sumbu x adalah 

Titik potong terhadap sumbu y jika x = 0

7.0 + 2y = 23

2y = 23

Jadi titik potong terhadap sumbu y adalah 

Karena pertidaksamaan memiliki tanda "  " maka grafik diarsir ke atas

Untuk persamaan 7x + 18y = 68

Titik potong terhadap sumbu x jika y = 0

7x + 18.0 = 68

7x = 68

Jadi titik potong terhadap sumbu x adalah 

Titik potong terhadap sumbu y jika x = 0

7.0 + 18y = 68

18y = 68

Jadi titik potong terhadap sumbu y adalah 

Titik potong kedua grafik fungsi adalah  atau 

Untuk perhitungan sehingga mendapatkan titik diatas diserahkan ke pembaca

Gambar grafik fungsinya adalah 

Untuk titik  diperoleh Z = , maka persamaan garis selidik pertama adalah

4x + 3y = 

Untuk titik  diperoleh Z = , maka persamaan garis selidik yang kedua adalah 

4x + 3y = 

Untuk titik  diperoleh Z = , maka persamaan garis selidik yang kedtiga adalah

4x + 3y = 

Jika digambarkan grafiknya menjadi seperti gambar berikut

Jika dilihat dari grafik diatas bahwa garis selidik 4x + 3y =  berada paling bawah sehingga nilai minimum fungsi obyektif diperoleh dari titik  atau (2,48 ; 2,56) atau (2,2) jika dibulatkan kebawah karena ini sebuah perusahaan atau (3,3) jika mengabaikan sebuah perusahaan tetapi fokus ke pembulatan bilangan sehingga diperoleh

Z minimum =  dalam juta = Rp. 32.428.571

Jadi biaya operasional minimal yang harus dikeluarkan perusahaan sebesar Rp. 32.428.571 dengan jumlah perusahaan 2 perusahaan tipe 1 dan 2 perusahaan tipe 2 atau 3 perusahaan tipe 1 dan 3 perusahaan tipe 2.

Demikian pembahasan cara menentukan nilai optimum fungsi obyektif dengan metode garis selidik. Berikutnya pembahasan soal ujian program linier bisa dipelajari di LINK INI.