Konsep Operasi Perkalian Matriks dan Pembahasan Soal

Perkalian Matriks dengan Skalar

Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo 𝑚 𝑥 𝑛 adalah sebuah matriks yang berordo 𝑚 𝑥 𝑛 dengan elemen-elemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen matriks A.

Sifat perkalian matriks dengan skalar

1. k(B + C) = kB + kC

2. k(B - C) = kB - kC

3. (a + b)C = aC + bC

4. (a - b)C = aC - bC

5. (ab)C = a(bC)

Contoh dan Pembahasan Soal

Contoh Soal 1

Jika $A=\begin{pmatrix} 12 & 30 & 15\\ 0 & 24 & 18\\ 3 & -3 & -12 \end{pmatrix}$

Hitunglah

a. 2A

b. $\frac{1}{3}A$

c. $\frac{1}{3}A+4A$

Pembahasan

a. $2A=2\begin{pmatrix} 12 & 30 & 15\\ 0 & 24 & 18\\ 3 & -3 & -12 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 2x12 & 2x30 & 2x15\\ 2x0 & 2x24 & 2x18\\ 2x3 & 2x(-3) & 2x(-12) \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 24 & 60 & 30\\ 0 & 48 & 36\\ 6 & -6 & -24 \end{pmatrix}$

b. $\frac{1}{3}A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 12 & 30 & 15\\ 0 & 24 & 18\\ 3 & -3 & -12 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} \frac{1}{3}x12 & \frac{1}{3}x30 & \frac{1}{3}x15\\ \frac{1}{3}x0 & \frac{1}{3}x24 & \frac{1}{3}x18\\ \frac{1}{3}x3 & \frac{1}{3}x(-3) & \frac{1}{3}x(-12) \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 4 & 10 & 5\\ 0 & 8 & 6\\ 1 & -1 & -4 \end{pmatrix}$

c. $\frac{1}{3}A+4A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 12 & 30 & 15\\ 0 & 24 & 18\\ 3 & -3 & -12 \end{pmatrix}+4\begin{pmatrix} 12 & 30 & 15\\ 0 & 24 & 18\\ 3 & -3 & -12 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 4 & 10 & 5\\ 0 & 8 & 6\\ 1 & -1 & -4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 48 & 120 & 60\\ 0 & 96 & 72\\ 12 & -12 & -48 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 52 & 130 & 65\\ 0 & 104 & 78\\ 13 & -13 & -52 \end{pmatrix}$

Operasi Perkalian Dua Matriks

Perkalian matriks A dan matriks B diperoleh dengan mengalikan baris pada matriks A dengan kolom pada matriks B. Perkalian matriks A dengan matriks B ditulis dengan A.B. Perkalian matriks A dengan matriks B akan mungkin jika jumlah anggota pada kolom matriks A sama dengan jumlah anggota pada baris matriks B.

Matriks A berordo 𝑚 × 𝑛 jika dikalikan dengan matriks B berordo 𝑛 × 𝑝 akan menghasilkan matriks C yang berordo 𝑚 × 𝑝.

$A_{mxn}.B_{nxp}=C_{mxp}$

Cara mengalikan matriks A dan matriks B yaitu dengan menjumlahkan setiap perkalian elemen pada baris matriks A dengan elemen kolom matriks B dan hasilnya diletakkan sesuai dengan baris dan kolom pada matriks C (matriks hasil perkalian).

Misal $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} p & q\\ r & s \end{pmatrix}$ , maka

$A.B=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q\\ r & s \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} ap+br & aq+bs\\ cp+dr & cq+ds \end{pmatrix}$

Sifat perkalian matriks

1. AB $\neq$ BA (tidak komutatif)

2. (A.B)C = A(B.C)

3. A(B + C) = A.B + A.C

4. (B + C)A = B.A + C.A

5. A(B - C) = A.B - A.C

6. (B - C)A = B.A - C.A

7. k(BC) = (kB)C = B(kC)

8. Jika AB = 0 belum tentu A = 0 atau B = 0

9. Jika AB = AC belum tentu B = C

10. AI = IA = A, I = Matriks identitas

11. Apabila A suatu matriks persegi maka

$A^{2}=A.A$

$A^{3}=A^{2}.A$

$A^{4}=A^{3}.A$

dan seterusnya.

Contoh 2 (Soal UN Tahun 2017)

Diketahui matriks $K=\begin{pmatrix} k & l\\ m & n \end{pmatrix}$ , $A=\begin{pmatrix} 2\\ 0 \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} 8\\ -2 \end{pmatrix}$ , $C=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$ , $D=\begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix}$ . Jika KA = B, KC = D, nilai $K\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}$ adalah ....

A. $\begin{pmatrix} -6\\ 5 \end{pmatrix}$

B. $\begin{pmatrix} 5\\ -4 \end{pmatrix}$

C. $\begin{pmatrix} 12\\ -5 \end{pmatrix}$

D. $\begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix}$

E. $\begin{pmatrix} -14 \\ 7 \end{pmatrix}$

Pembahasan

KA = B

$\begin{pmatrix} k & l\\ m & n \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 2\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\\ -2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} k.2+l.0\\ m.2+n.0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\\ -2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2k\\ 2m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\\ -2 \end{pmatrix}$

Dari kesamaan matriks diatas diperoleh

$2k=8$

$k=\frac{8}{2}=4$

dan

$2m=-2$

$m=\frac{-2}{2}=-1$

KC = D

$\begin{pmatrix} k & l\\ m & n \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} k.1+l.1\\ m.1+n.1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} k+l\\ m+n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix}$

Dari kesamaan diatas diperoleh :

k + l = 6

4 + l = 6

l = 6 - 4 = 2

dan

m + n = 2

-1 + n = 2

n = 2 + 1 = 3

sehingga diperoleh matriks $K=\begin{pmatrix} 4 & 2\\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ , maka

$K\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 4 & 2\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 4.(-2)+2.1 \\ -1.(-2)+3.1 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} -8+2 \\ 2+3 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} -6 \\ 5 \end{pmatrix}$

Kunci Jawaban : A

Contoh Soal 3 (Soal UN Tahun 2017)

Nilai 2x - y dari persamaan matriks

$\begin{pmatrix} 5 & 3x\\ y-1 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 & 1-2y\\ 2x & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -4 & 8 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 0 & 3\\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

adalah ....

A. -7

B. -1

C. 1

D. 7

E. 8

Pembahasan

$\begin{pmatrix} 5 & 3x\\ y-1 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 & 1-2y\\ 2x & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -4 & 8 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 0 & 3\\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -2 & 3x+2y-1\\ y-2x-1 & -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 20\\ -8 & -4 \end{pmatrix}$

Dari kesamaan diatas diperoleh

3x + 2y - 1 = 20

3x + 2y = 21 .....(1)

y - 2x - 1 = -8

y = 2x - 7 ......(2)

Substituasi (2) ke (1)

3x + 2y = 21

3x + 2(2x - 7) = 21

3x + 4x - 14 = 21

7x = 21 + 14

7x = 35

x = 5

substitusi x = 5 ke persamaan (2)

y = 2x - 7

= 2.5 - 7

= 10 - 7

= 3

Maka nilai dari 2x - y = 2.5 - 3 = 10 - 3 = 7

Kunci Jawaban : D

Contoh Soal 4 (Soal USBK Tahun 2020)

Arman membeli 5 pensil dan 3 penghapus, sedangkan Susi membeli 4 pensil dan 2 penghapus di toko yang sama. Di kasir Arman membayar Rp. 11.500.00,- sedangkan Susi membayar Rp. 9.000,00,-. Persamaan matriks yang sesuai dengan permasalahan diatas adalah ....

A. $\begin{pmatrix} 5 & 3\\ 4 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11.500\\ 9.000 \end{pmatrix}$

B. $\begin{pmatrix} 5 & 4\\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11.500\\ 9.000 \end{pmatrix}$

C. $\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 4 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11.500\\ 9.000 \end{pmatrix}$

D. $\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11.500\\ 9.000 \end{pmatrix}$

E. $\begin{pmatrix} 4 & 5\\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11.500\\ 9.000 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Untuk lebih memudahkan permasalahan diatas dimasukkan ke dalam tabel berikut.

Misalkan pensil = x dan penghapus = y

Nama	Pensil	Penghapus	Jumlah bayar
Arman	5	3	11.500
Susi	4	2	9.00

dari tabel diatas bisa dibuat dalam bentuk persamaan linier dua variabel berikut

5x + 3y = 11.500

4x + 2y = 9.000

dan jika diubah kedalam matriks sebagai berikut

$\begin{pmatrix} 5 & 3\\ 4 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11.500\\ 9.000 \end{pmatrix}$

Kunci Jawaban : A

Sebagai tambahan pengetahuan baca juga Pembahasan Soal-Soal Matariks

Sebagai acuan dalam menyelesaikan operasi pada matriks dapat menggunakan aplikasi geogebra. Untuk mempelajarinya dapat dilihat dari link https://www.sambimatika.my.id/2022/10/menggunakan-aplikasi-geogebra-pada.html. Selamat mencoba, tetap semangat dan semoga kesuksesan selalu menyertai kita. Amiin....

Konsep Operasi Perkalian Matriks dan Pembahasan Soal

Perkalian Matriks dengan Skalar

Sifat perkalian matriks dengan skalar

Contoh dan Pembahasan Soal

Operasi Perkalian Dua Matriks

Sifat perkalian matriks

Post a Comment

إرسال تعليق

نموذج الاتصال

Konsep Operasi Perkalian Matriks dan Pembahasan Soal

Perkalian Matriks dengan Skalar

Sifat perkalian matriks dengan skalar

Contoh dan Pembahasan Soal

Operasi Perkalian Dua Matriks

Sifat perkalian matriks

You might like

Post a Comment

إرسال تعليق

نموذج الاتصال