Domain dan Range Fungsi Aljabar

Definisi Doman dan Range

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi. Lihat gambar berikut :

Domain atau daerah asal suatu fungsi adalah semua nilai masukan yang menyebabkan fungsi tersebut terdefinisi. Domain suatu fungsi dinotasikan dengan Df.

Range atau daerah hasil adalah semua kemungkinan nilai keluaran yang dihasilkan dari semua nilai masukan. Range suatu fungsi dinotasikan dengan Rf.

Contoh dan Pembahasan Soal

Contoh

Tentukan Domain dan Range dari fungsi berikut

1. $f(x)=x,x\in \mathbb{R}$

Jawab

Fungsi $f(x)=x,x\in \mathbb{R}$ terdefinisi di semua nilai $x\in \mathbb{R}$ , sehingga :

Domain atau daerah asal dari fungsi $f(x)=x,x\in \mathbb{R}$ adalah

$D_{f}=\left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \}$

Karena Fungsi $f(x)=x,x\in \mathbb{R}$ terdefinisi di semua nilai $x\in \mathbb{R}$ , sehingga f(x) memiliki nilai di semua nilai $x\in \mathbb{R}$ , maka daerah hasil dari fungsi $f(x)=x,x\in \mathbb{R}$ adalah :

$R_{f}=\left \{ y|y\in \mathbb{R} \right \}$

2. f(x) = 2x + 3, $x\in \mathbb{R}$

Jawab

Fungsi f(x) = 2x + 3, $x\in \mathbb{R}$ terdefinisi di semua nilai $x\in \mathbb{R}$ maka :

Domain = $D_{f}=\left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \}$

Range = $R_{f}=\left \{ y|y\in \mathbb{R} \right \}$

3. $f(x)=x^{2},x\in \mathbb{R}$

Jawab

Fungsi $f(x)=x^{2},x\in \mathbb{R}$ terdefinisi di semua nilai $x\in \mathbb{R}$ maka :

Domain = $D_{f}=\left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \}$

Cara 1 menentukan range Daerah Hasil

Grafik fungsi $f(x)=x^{2},x\in \mathbb{R}$ berbentuk parabola terbuka ke atas dan memiliki nilai minimal y = 0, maka

Daerah hasil atau range adalah

$R_{f}=\left \{ y|y\geq 0,y\in \mathbb{R} \right \}$

Cara 2 menentukan range Daerah Hasil

Ubah fungsi diatas menjadi variabel terikat x dan variabel bebas y

$y=x^{2}$

$x=\sqrt{y}$

Dari persamaan terakhir bahwa $\sqrt{y}$ akan memiliki nilai jika $y\geq 0$

Jadi Daerah hasilnya adalah

$R_{f}=\left \{ y|y\geq 0,y\in \mathbb{R} \right \}$

4. $f(x)=-x^{2},x\in \mathbb{R}$

Jawab

Fungsi $f(x)=-x^{2},x\in \mathbb{R}$ terdefinisi di semua nilai $x\in \mathbb{R}$ maka :

Domain = $D_{f}=\left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \}$

Cara 1 menentukan range Daerah Hasil

Grafik fungsi $f(x)=-x^{2},x\in \mathbb{R}$ berbentuk parabola terbuka ke bawah dan memiliki nilai maksimal y = 0, maka daerah hasilnya adalah

$R_{f}=\left \{ y|y\leq 0,y\in \mathbb{R} \right \}$

Cara 2 menentukan range Daerah Hasil

$y=-x^{2}$

$x^{2}=-y$

$x=\sqrt{-y}$

Dari persamaan yang terakhir bahwa $\sqrt{-y}$ akan memiliki nilai jika $y\leq 0$

Maka daerah hasilnya adalah

$R_{f}=\left \{ y|y\leq 0,y\in \mathbb{R} \right \}$

5. $f(x)=x^{2}+2,x\in \mathbb{R}$

Jawab

Fungsi $f(x)=x^{2}+2,x\in \mathbb{R}$ terdefinisi di semua nilai $x\in \mathbb{R}$ maka :

Domain = $D_{f}=\left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \}$

Grafik fungsi $f(x)=x^{2}+2,x\in \mathbb{R}$ berbentuk parabola terbuka ke atas dan memiliki nilai minimal

$y=\frac{-\left ( b^{2}-4ac \right )}{4a}$

$=\frac{-\left ( 0^{2}-4.1.2 \right )}{4.1}$

$=\frac{-\left ( -8 \right )}{4}=2$

maka daerah hasil atau range dari fungsi $f(x)=x^{2}+2,x\in \mathbb{R}$ adalah

$R_{f}=\left \{ y|y\geq 2,y\in \mathbb{R} \right \}$

6. $f(x)=x^{2}-2x-8,x\in \mathbb{R}$

Jawab

Fungsi $f(x)=x^{2}-2x-8,x\in \mathbb{R}$ memiliki nilai disemua nilai x, maka daerah asalahnya adalah

$D_{f}=\left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \}$

Perhatikan bahwa nilai minimum dari $f(x)=x^{2}-2x-8,x\in \mathbb{R}$ adalah

$y=\frac{-\left ( b^{2}-4ac \right )}{4a}$

$=\frac{-\left ( \left ( -2 \right )^{2}-4.1-\left ( -8 \right ) \right )}{4.1}$

$=\frac{-(4-32)}{4}$

$=\frac{-\left ( (-2)^{2}-4.1\left ( -8 \right ) \right )}{4.1}$

$=\frac{-(4+32)}{4}$

$=\frac{-(36)}{4}=-9$

Maka daerah hasilnya adalah

$R_{f}=\left \{ y|y\geq -9,y\in \mathbb{R} \right \}$

7. $f(x)=\frac{1}{x},x\in \mathbb{R}$

Jawab

Perhatikan bahwa bentuk $\frac{1}{x}$ akan memiliki nilai disemua nilai x kecuali nol atau $x\neq 0$

Maka daerah asal dari fungsi tersebut adalah

$D_{f}=\left \{ x|x\neq 0,x\in \mathbb{R} \right \}$

Untuk mencari daerah hasil ubah fungsi diatas menjadi fungsi dengan variabel terikat x dan variabel bebas y

$y=\frac{1}{x}$

$x=\frac{1}{y}$

Perhatikan bentuk terakhir diatas bahwa $\frac{1}{y}$ memiliki nilai untuk semua nilai y kecuali nol atau $y\neq 0$

maka daerah hasil dari fungsi diatas adalah

$R_{f}=\left \{ y|y\neq 0,y\in \mathbb{R} \right \}$

8. $f(x)=\frac{1}{x^{2}},x\in \mathbb{R}$

Jawab

Perhatikan grafik fungsi $f(x)=\frac{1}{x^{2}},x\in \mathbb{R}$ berikut

Fungsi $f(x)=\frac{1}{x^{2}},x\in \mathbb{R}$ memiliki nilai atau terdefinisi di semua nilai x kecuali nol atau $x\neq 0$ , sehingga daerah asalnya adalah

$D_{f}=\left \{ x|x\neq 0,x\in \mathbb{R} \right \}$

Jika dililihat dari grafik fungsi $f(x)=\frac{1}{x^{2}},x\in \mathbb{R}$ diatas bahwa grafik tidak pernah memotong sumbu x, hanya mendekati sumbu x, maka Daerah hasil dari fungsi tersebut adalah

$R_{f}=\left \{ y|y>0,x\in \mathbb{R} \right \}$

Atau dengan mengubah variabel terikatnya x dan variabel bebasnya y diperoleh :

$y=\frac{1}{x^{2}}$

$x^{2}=\frac{1}{y}$

$x=\sqrt{\frac{1}{y}}$

Perhatikan bahwa $\sqrt{\frac{1}{y}}$ akan terdefinisi jika y > 0, maka daerah hasilnya adalah

$R_{f}=\left \{ y|y>0,x\in \mathbb{R} \right \}$

9. $f(x)=\frac{1}{x+1},x\in \mathbb{R}$

Jawab

Perhatikan bahwa $f(x)=\frac{1}{x+1},x\in \mathbb{R}$ akan terdefinisi jika $x+1\neq 0$ , maka

$x+1\neq 0$

$x\neq -1$

sehingga daerah asalnya adalah

$D_{f}=\left \{ x|x\neq -1,x\in \mathbb{R} \right \}$

Dari fungsi diatas

$y=\frac{1}{x+1}$

$y(x+1)=1$

$yx+y=1$

$yx=1-y$

$x=\frac{1-y}{y}$

dari bentuk terakhir diatas $x=\frac{1-y}{y}$ akan terdefinisi jika $y\neq 0$ , maka daerah hasil dari fungsi $f(x)=\frac{1}{x+1},x\in \mathbb{R}$ adalah

$R_{f}=\left \{ y|y\neq 0,y\in \mathbb{R} \right \}$

10. $f(x)=\sqrt{x-8},x\in \mathbb{R}$

Jawab

Perhatikan bahwa $\sqrt{x-8}$ akan terdefinisi jika $x-8\geq 0$ , maka

$x-8\geq 0$

$x\geq 8$

Sehingga daerah asalnya adalah

$D_{f}=\left \{ x|x\geq 8,x\in \mathbb{R} \right \}$

Karena $f(x)=\sqrt{x-8},x\in \mathbb{R}$ terdefinisi jika $x-8\geq 0$ ini artinya bahwa f(x) = $y\geqslant 0$ , sehingga daerah hasilnya adalah

$R_{f}=\left \{ y|y\geqslant 0,y\in \mathbb{R} \right \}$

11. $f(x)=\frac{3}{\sqrt{x-2}},x\in \mathbb{R}$

Jawab

Fungsi $f(x)=\frac{3}{\sqrt{x-2}},x\in \mathbb{R}$ terdifinisi jika $\sqrt{x-2}\neq 0$ , tetapi $\sqrt{x-2}$ terdefinisi jika $x-2\geqslant 0$ , sehingga fungsi f(x) akan terdefinisi jika $x-2> 0$ , maka diperoleh :

$x-2> 0$

$x>-2$

Maka daerah asal dari fungsi f(x) adalah :

$D_{f}=\left \{ x|x>0,x\in \mathbb{R} \right \}$

Perhatikan bahwa f(x) tidak mungkin bernilai 0 karena pembilangnya selalu bernilai 3 dan f(x) tidak mungkin bernilai negatif karena 3 selalu positif dan $\sqrt{x-2}$ selalu positif sehingga daerah hasilnya adalah

$R_{f}=\left \{ y|y>0,x\in \mathbb{R} \right \}$

12. $f(x)=\frac{\sqrt{1+x}}{4-x}$